林小紅

［摘 要］錯誤是學(xué)習(xí)過程中的產(chǎn)物，是特殊的教學(xué)資源，可以“變廢為寶”，促進(jìn)教學(xué)優(yōu)化。在教學(xué)中針對學(xué)生出現(xiàn)的錯誤，教師不能以“錯答—改正”這種單一的、淺層次的、簡單的方式進(jìn)行改錯，而應(yīng)因勢利導(dǎo)、深入挖掘、深度探究，引導(dǎo)學(xué)生析錯究理，讓錯答糾改成為教師教學(xué)的新亮點，不斷引發(fā)學(xué)生深度思考，進(jìn)而提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

［關(guān)鍵詞］錯答；析錯究理；學(xué)會思考；提升能力

［中圖分類號］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）11-0093-03

布魯姆說過：“學(xué)生的錯誤都是有價值的?！睂W(xué)習(xí)就是不斷糾錯的過程，學(xué)生出錯不僅折射出他們對知識點理解的欠缺，還間接反映出教師教學(xué)的漏洞。教師引導(dǎo)學(xué)生剖析錯誤原因，讓學(xué)生理解知識點并糾正錯誤，既有利于學(xué)生掌握知識、形成正確的思維方式，又能促進(jìn)教師改進(jìn)教學(xué)策略，對癥下藥，提高教學(xué)效率，對教師的教和學(xué)生的學(xué)都有十分重要的意義。

本文從教學(xué)中常見的錯答出發(fā)，談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生分析錯答，剖析錯誤原因，提出教學(xué)對策，以提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力。

一、概念理解不透徹——要講究本質(zhì)性理解

1.錯答案例

【問題】9-3=（? ?）+4=（? ?）-5=（? ?）+2

【錯答】9-3=（6）+4=（10）-5=（5）+2

2.原因分析

小學(xué)生受年齡特征、知識基礎(chǔ)、思維方式等影響，思維活動呈現(xiàn)單一、靜態(tài)、固化等的特點，對數(shù)學(xué)知識的理解簡單、膚淺、片面，容易對數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生誤解。在數(shù)學(xué)練習(xí)中，容易表現(xiàn)出想當(dāng)然的主觀臆斷，或斷章取義、張冠李戴等。上述案例正是錯在學(xué)生在平時的計算學(xué)習(xí)中接觸的更多是形如“9-3=6”的算式，即“=”左邊寫算式，“=”右邊寫得數(shù)，對“=”的理解局限于其表示運算結(jié)果的單方向性認(rèn)識，忽視了對“=”表示左右兩邊相等的等價性認(rèn)識，缺乏對算式的整體把握。

3.解決方案

要講究本質(zhì)性理解。教師要基于數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)內(nèi)涵，暴露學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動過程，讓數(shù)學(xué)概念外顯且可視化。比如，教師可運用舉反例、對比、說理、直觀等手段，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解、深化基本概念，把握概念的本質(zhì)屬性，讓學(xué)生不僅知其然，而且知其所以然。教學(xué)時，應(yīng)強化“=”表示兩邊相等，豐富學(xué)生對“=”的理解及認(rèn)識。

教師可以通過以下問題，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、討論、發(fā)現(xiàn)等。

（1）5+3=8中，等號左右兩邊的位置能調(diào)換嗎？能寫成8=5+3嗎？

（2）（? ?）=6+4，括號里填幾？10=（? ?）-6，括號里又填幾？

（3）9-3=（? ?）-4中，括號里能寫左邊算式的得數(shù)嗎？它們的得數(shù)要寫在哪里？

（4）9-3=（? ?）+4=（? ?）-5=（? ?）+2，這四道算式有什么聯(lián)系？

通過問題引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“=”兩邊得數(shù)相等（“=”代表等價），等式的讀法和寫法都具有可逆性，等式表示兩邊相等，等號兩邊都可以寫算式，兩邊的兩個算式的得數(shù)一定相等，從而明白“=”實質(zhì)表示兩邊的“相等關(guān)系”，這樣才能讓學(xué)生從本質(zhì)上理解“=”的含義。

二、模型建立不清晰——要重視精準(zhǔn)性品析

1.錯答案例

【問題】8.4545454…的循環(huán)節(jié)是（? ?）。

【錯答1】8.4545454…的循環(huán)節(jié)是（54）。

【錯答2】45和54都可以，因為45和54都在依次不斷重復(fù)出現(xiàn)。

2.原因分析

學(xué)生對“循環(huán)小數(shù)”“循環(huán)節(jié)”等概念的本質(zhì)含義理解不到位，僅認(rèn)識“循環(huán)小數(shù)”和“循環(huán)節(jié)”的“形”，沒有領(lǐng)會其“神”，即學(xué)生建立的“循環(huán)小數(shù)”“循環(huán)節(jié)”的數(shù)學(xué)模型不清晰。

3.解決方案

要重視精準(zhǔn)性品析。數(shù)學(xué)模型是對事物一般關(guān)系的反映，是將思維過程用語言、符號外化后的結(jié)果。建立數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)特征的反映。學(xué)生學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的一些錯誤，是因為他們在頭腦中建立的知識模型不清晰。針對錯誤，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有針對性的矯正訓(xùn)練，如辨析、改錯等，同時，根據(jù)學(xué)生出錯情況制訂可行的教學(xué)方案，調(diào)整教學(xué)手段。

要引導(dǎo)學(xué)生品析概念的本質(zhì)含義，建立起清晰的“循環(huán)節(jié)”的數(shù)學(xué)模型，可以先引導(dǎo)學(xué)生閱讀課本。數(shù)學(xué)課本是專家精心編寫而成的，教師要加強學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)課本的方法指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生對課本中的數(shù)學(xué)概念逐句逐字地推敲、剖析，直到理解其真正含義。首先，要引導(dǎo)學(xué)生閱讀“循環(huán)節(jié)”的定義：一個循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字就是循環(huán)節(jié)。讓學(xué)生邊讀邊畫出關(guān)鍵字“依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字”，提問：“8.4545454…中，45和54都在‘依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，那么45和54是不是都是它的循環(huán)節(jié)呢？”其次，要進(jìn)一步探究、理解“循環(huán)節(jié)”的本質(zhì)，應(yīng)將它放到它所處的概念系統(tǒng)中，還要結(jié)合“循環(huán)小數(shù)”的定義去理解。因此要引導(dǎo)學(xué)生閱讀“循環(huán)小數(shù)”的定義：一個數(shù)的小數(shù)部分，從某一位起，一個數(shù)字或者幾個數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，這樣的小數(shù)叫循環(huán)小數(shù)。引導(dǎo)學(xué)生理解“起”就是起點、開始，8.4545454…的小數(shù)部分中，第一個開始不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字是“4”，即起點是“4”，而不是“5”。很顯然，8.4545454…是以“4”為起點開始循環(huán)的，所以循環(huán)小數(shù)8.4545454…的循環(huán)節(jié)是45，而不是54。最后，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生上網(wǎng)查找有關(guān)“循環(huán)節(jié)”的資料，進(jìn)一步驗證一個循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)是唯一的。

三、概念關(guān)系不明朗——要加強結(jié)構(gòu)性辨析

1.錯答案例

【問題】用運算律計算下列算式。

125×（8×4）=? ? ? ? 25×32×125=? ? ? ? 42×（15+6）=

【錯答】125×（8×4）=125×8+125×4

25×32×125=（25×4）+（8×125）

42×（15+6）=42×15+6

學(xué)習(xí)了乘法結(jié)合律后，學(xué)生能理解“三個數(shù)相乘，先乘前兩個數(shù)，或者先乘后兩個數(shù)，積不變”，并能正確完成對應(yīng)練習(xí)，如會算125×8×4=（125×8）×4=125×（8×4）。學(xué)習(xí)乘法分配律后，學(xué)生也能理解“兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，等于這兩個數(shù)分別與這個數(shù)相乘，再把積相加”，并能正確完成對應(yīng)練習(xí)，如125×（8+4）=125×8+125×4。但面對綜合練習(xí)時，麻煩來了，學(xué)生很容易混淆乘法分配律和乘法結(jié)合律，計算錯誤百出。

2.原因分析

數(shù)學(xué)知識相互聯(lián)系，又有區(qū)別。有些知識內(nèi)容非常相似，學(xué)生很容易混淆，特別是受前面所學(xué)知識形成的思維定式的影響，學(xué)習(xí)后面知識或進(jìn)行綜合練習(xí)時，障礙就顯現(xiàn)出來了——知識點混淆了。答錯這三道算式的原因就是學(xué)生對乘法分配律和乘法結(jié)合律的概念內(nèi)涵、關(guān)系理解不透徹。

3.解決方案

加強結(jié)構(gòu)性辨析。學(xué)生理解乘法交換律和乘法結(jié)合律并不難，難的是理解乘法分配律。因此，教師要重視引導(dǎo)學(xué)生從意義上真正理解它，把握乘法分配律的結(jié)構(gòu)，辨析乘法分配律和乘法結(jié)合律的異同，而不是讓學(xué)生僅背誦和記住它的形式。具體有以下策略。

一是加強意義本質(zhì)理解。理解運算律，離不開理解運算的意義，理解乘法分配律的關(guān)鍵正是理解乘法的意義。例如，可先出示算式56×19+56×21，引導(dǎo)學(xué)生說它的意義——這個算式表示19個56加上21個56，一共是（19+21）個56，所以56×19+56×21=56×（19+21）；反之，56×（19+21）表示一共是（19+21）個56，分開加就是56×（19+21）=56×19+56×21，而不是56×（19+21）=56×19+21。再出示多個能運用乘法分配律進(jìn)行計算的算式，根據(jù)這些算式抽象出用字母表示的乘法分配律的結(jié)構(gòu)：（a+b）×c=a×c+b×c或a×（b+c）=a×b+a×c。

二是借助情境直觀理解。生活情境能激起學(xué)生對生活的聯(lián)想，拉近學(xué)生與知識的距離，增進(jìn)學(xué)生對知識本質(zhì)屬性的認(rèn)識。如“學(xué)校新買了100套課桌椅（1張桌子配1把椅子），每張桌子85元，每把椅子36元，一共用了多少錢？”這道題，有的學(xué)生列式（85+36）×100，有的學(xué)生列式85×100+36×100。引導(dǎo)學(xué)生對比分析兩種列式方法，提問：“它們分別是先求什么，再求什么？”學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩種計算方法雖然思路不同，但結(jié)果相同，即（85+36）×100=85×100+36×100。借助實際情境，能讓學(xué)生進(jìn)一步體會和認(rèn)識乘法分配律及其結(jié)構(gòu)，理解其內(nèi)涵。

三是精設(shè)對比練習(xí)，辨析理解。對比練習(xí)是通過形式、內(nèi)容、方法等方面的對比，引導(dǎo)學(xué)生抓聯(lián)系、辨差異，從而鞏固知識、發(fā)展思維、培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。在學(xué)生學(xué)完乘法運算律之后，教師可設(shè)計如下對比練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生比較、思辨。

25×（8×4）? ? ? ?125×（7×8）? ? ?48×（6×5）

25×（8+4）? ? ? ?125×（7+8）? ? ? 48×（6+5）

第一行三題都是三個數(shù)相乘，三個數(shù)相乘可以運用乘法交換律和乘法結(jié)合律簡便計算；第二行三題是兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以運用乘法分配律簡便計算。通過這樣的對比練習(xí)，強化乘法結(jié)合律和乘法分配律結(jié)構(gòu)上的不同，讓學(xué)生在比較中思考、辨析，加深認(rèn)識理解，達(dá)到內(nèi)化。

四是抓典型錯誤，反面加深理解。及時抓住典型錯誤，組織學(xué)生進(jìn)行討論、說理，分析原因，找到正確算法。如用35×（100+1）=35×100+1，64×12=64×10×2這樣的錯答，引導(dǎo)學(xué)生討論、說理，加深學(xué)生對乘法運算律的理解。

四、實踐運用不靈活——要強調(diào)情境性思辨

1.錯答案例

【問題】商店里4種商品：空調(diào)扇405元/臺，電飯煲388元/臺，耳機208元/副，電話機110元/部。李叔叔買了其中2種商品，1種買了1件，付給售貨員550元，正等著找錢。請你根據(jù)商品的價格推測一下，他買了哪兩種商品？

【錯答1】208+110=319（元），319＜550，他買了1副耳機和1部電話機。

【錯答2】388+110=498（元），498＜550，他買了1臺電飯煲和1部電話機。

【錯答3】405+110=515（元），515＜550，他買了1臺空調(diào)扇和1部電話機。

2.原因分析

學(xué)生在解決問題中出現(xiàn)的錯誤，有些并不是“粗心大意”或者是“不認(rèn)真審題”造成的，而是由于學(xué)生知識有限、生活經(jīng)驗不足，使得他們理解現(xiàn)實的能力不足。導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)錯誤的原因有兩個：一是考慮問題不全面，只看錢夠不夠，只要錢不超過550元就認(rèn)為對了；二是科技迅猛發(fā)展，現(xiàn)實生活中購物多用電子支付，較少用到現(xiàn)金支付，導(dǎo)致學(xué)生接觸人民幣的機會少了很多，他們?nèi)狈ΜF(xiàn)實經(jīng)驗，造成解題困難。

3.解決方案

強調(diào)情境性思辨。高效率的課堂是深度與溫度并存的，教師要注重深度教學(xué)，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)更多的思辨機會，提高其思辨能力。教師可創(chuàng)設(shè)“用現(xiàn)金購物”的現(xiàn)實生活情境，讓學(xué)生觀察、思辨、發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生在情境中明白購物總價為319元、498元、515元等時的現(xiàn)金付款方式。

教師準(zhǔn)備100元、50元、20元紙幣各5張，先請一名學(xué)生當(dāng)售貨員，再請另外三名學(xué)生當(dāng)顧客進(jìn)行3次購物。

首先，請購買一副耳機（208元）和一部電話機（110元）的學(xué)生上臺付錢。

其次，請購買一臺電飯煲（388元）和一部電話機（110元）的學(xué)生上臺付錢。

最后，請購買一臺空調(diào)扇（405元）和一部電話機（110元）的學(xué)生上臺付錢。

讓其他學(xué)生先觀察上面三名學(xué)生的付錢行為，再交流討論。學(xué)生發(fā)現(xiàn)：買一副耳機（208元）和一部電話機（110元），共319元，付錢時用不著付550元，可以付320元或350元，最多付400元，就可以等售貨員找錢了。買一臺電飯煲（388元）和一部電話機（110元），共498元，只要付500元，就可以等售貨員找錢。買一臺空調(diào)扇（405元）和一部電話機（110元）共515元，可以付520元或550元，再等售貨員找錢。學(xué)生這才明白李叔叔買了兩件物品，付給售貨員550元，正等著找錢，買的是一臺空調(diào)扇（405元）和一部電話機（110元），共515元。

在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實情境，讓學(xué)生在情境中思辨，不斷豐富他們的閱歷，促進(jìn)思考、頓悟，理解錯因，明白道理，有利于培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力，促進(jìn)學(xué)生提升學(xué)習(xí)能力。

總之，教師要重視研究錯誤資源，要把錯誤資源轉(zhuǎn)化為促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的優(yōu)化資源，加以研究和利用，讓學(xué)生參與找錯、議錯、辨錯、糾錯的全過程，引導(dǎo)分析原因，讓學(xué)生的“錯誤”不是成為困擾教師教學(xué)的“問題”，而是變成學(xué)生提升學(xué)習(xí)能力的寶貴資源。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 徐小秋.讓課堂上的差錯綻放光芒：淺談怎樣對待學(xué)生課堂上的差錯[J].科技信息，2010（5）：291，309.

[2] 劉坤，徐曉陽.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的科學(xué)理念與方法[J].數(shù)學(xué)通報，2005（8）：19-21.

【本文系福建省龍巖市2022年基礎(chǔ)教育教學(xué)研究課題“基于‘雙減背景下打造趣理數(shù)學(xué)課堂的實踐與研究”（課題立項批號：JKYJX22-145）的研究成果之一。】

（責(zé)編 楊偲培）