李涵 李文敬

摘要：針對(duì)鯨魚優(yōu)化算法（WOA） 后期收斂精度差和高維下容易陷入局部最優(yōu)等不足，提出一種基于迭代自適應(yīng)的鯨魚優(yōu)化算法（IAWOA） 。首先用Circle混沌映射鯨魚個(gè)體位置，使個(gè)體鯨魚位置分布得更加均勻；其次隨著迭代自適應(yīng)改變螺旋氣泡網(wǎng)大小，使螺旋氣泡網(wǎng)前期較大而后期慢慢變?。辉僬哂胠evy flight更新個(gè)體隨機(jī)位置，幫助算法跳出局部最優(yōu)；最后，通過12個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)，將IAWOA與其他3種算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，IAWOA有更好的收斂精度和魯棒性。

關(guān)鍵詞：鯨魚優(yōu)化算法；Circle混沌映射；迭代自適應(yīng)；levy flight;基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)

中圖分類號(hào)：TP301? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2023）13-0001-04

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID） ：

0 引言

群智能優(yōu)化算法是一類受自然界動(dòng)物覓食方式等群體行為，為解決實(shí)際的最優(yōu)化問題而提出來的新的計(jì)算方法。像蝴蝶算法[1]、麻雀算法[2]等，鯨魚優(yōu)化算法（Whale Optimization Algorithm，WOA） 是2016年Mirjalili等根據(jù)座頭鯨的捕食行為提出的新的群智能優(yōu)化算法[3]。該算法具有參數(shù)少、易懂易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，目前已被應(yīng)用到圖像分割、路徑優(yōu)化和數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)等領(lǐng)域[4]，并且取得了不錯(cuò)的優(yōu)化效果。

但是，該算法也還存在后期收斂精度差和高維下容易陷入局部最優(yōu)等不足，為此，孟憲猛等人[5]用精英反向?qū)W習(xí)優(yōu)化初始化種群，提高算法全局搜索的時(shí)間和占比，進(jìn)而提高算法全局搜索的能力；李安東等人[6]用卡方分布的逆累積分布函數(shù)更新收斂因子以實(shí)現(xiàn)全局探索和局部開發(fā)的平衡；Tang等人[7]融合了人工蜂群算法的覓食思想提高了鯨魚算法收斂的精度；Chakraborty等人[8]提出饑餓搜索的鯨魚優(yōu)化算法，將饑餓情況下的群體行為和座頭鯨的狩獵行為相結(jié)合，從而避免鯨魚算法過早地陷入局部最優(yōu)；Dereli等人[9]提出平均群的鯨魚改進(jìn)算法，當(dāng)參數(shù)p值低于一定值時(shí)，每個(gè)鯨魚個(gè)體采用群體平均值移動(dòng)到新的位置，從而提高了算法后期的收斂精度。

綜上所述，大多數(shù)的改進(jìn)文獻(xiàn)都是對(duì)鯨魚種群的初始化、收斂因子A等進(jìn)行改進(jìn)，未對(duì)鯨魚優(yōu)化算法螺旋氣泡網(wǎng)的大小進(jìn)行分析，為此本文提出了一種基于迭代自適應(yīng)的鯨魚優(yōu)化算法（IAWOA） ，對(duì)涉及的螺旋氣泡網(wǎng)覓食方式進(jìn)行進(jìn)一步的研究改進(jìn)。

1 鯨魚優(yōu)化算法（WOA）

1.1 包圍獵物

在包圍獵物階段，種群中其他鯨魚不同程度地跟隨最優(yōu)鯨魚，以便能更快地找到食物，其公式如下：

[X（t+1）=X*（t）-A×D]? （1）

[D=|C×X*（t）-X|] （2）

[A=2a×r1-a] （3）

[C=2×r2] （4）

其中t為迭代次數(shù)，X*表示最優(yōu)鯨魚的位置，X表示其他鯨魚的位置。A和C為系數(shù)向量，A的值決定算法是進(jìn)行全局搜索還是局部開發(fā)，C的值表示種群中其他鯨魚跟隨最優(yōu)鯨魚的程度，a為收斂因子，隨著t的迭代，a值由2線性遞減至0，r1和r2為[0，1]之間的隨機(jī)數(shù)。

1.2 螺旋氣泡網(wǎng)攻擊獵物

鯨魚覓食的第二種方式為螺旋氣泡網(wǎng)，具體表述如下：

[X（t+1）=D1×ebh×cos（2πh）+X*t] （5）

其中[D1=|X*t-X（t）|]表示第t次迭代中最優(yōu)鯨魚個(gè)體與當(dāng)前鯨魚個(gè)體之間的距離，b表示螺旋形方程的常數(shù)值為1。h是[-1，1]之間的一個(gè)隨機(jī)數(shù)。假設(shè)鯨魚在追趕獵物的過程中，分別有50%概率選擇包圍獵物和螺旋氣泡網(wǎng)攻擊獵物，且通過p的值進(jìn)行選擇，p為[0，1]之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)p<0.5時(shí)選擇包圍獵物，否則選擇螺旋氣泡網(wǎng)攻擊獵物。

1.3 搜索獵物

當(dāng)|A|>1時(shí)，鯨魚進(jìn)入全局搜索階段。此時(shí)，鯨魚個(gè)體位置的更新改為隨機(jī)跟隨種群中其他的鯨魚，其數(shù)學(xué)模型描述如下：

[D=|C×Xrand-X|] （7）

[X（t+1）=Xrand-A×D] （8）

其中[Xrand]表示當(dāng)前鯨魚種群中隨機(jī)選取的鯨魚個(gè)體位置。

2 鯨魚優(yōu)化算法的改進(jìn)

2.1 鯨魚算法存在的問題與改進(jìn)策略

在實(shí)驗(yàn)中，發(fā)現(xiàn)鯨魚優(yōu)化算法在求解的過程中，存在后期收斂精度差和容易陷入局部最優(yōu)等不足等問題，主要原因有：前期在包圍獵物時(shí)個(gè)體鯨魚位置分布不均勻，不利于算法的快速收斂；在螺旋氣泡網(wǎng)攻擊獵物時(shí)，螺旋氣泡網(wǎng)的大小未隨迭代而變化，導(dǎo)致算法后期收斂精度不足；在進(jìn)行全局搜索時(shí)，鯨魚個(gè)體的隨機(jī)位置容易使其陷入局部最優(yōu)。

為了解決上述問題，本文采用Circle混沌映射鯨魚個(gè)體位置，提高算法前期收斂速度；隨著迭代自適應(yīng)改變螺旋氣泡網(wǎng)大小，用于提高算法后期的收斂精度；levy flight改進(jìn)個(gè)體隨機(jī)位置，幫助算法減少陷入局部最優(yōu)的次數(shù)。

2.2 Circle混沌映射

通過分析公式（2） 可知，個(gè)體鯨魚的位置X的分布也就直接影響鯨魚包圍獵物的效果，為了使鯨魚更快更有效地捕捉到獵物，當(dāng)前個(gè)體鯨魚的位置分布得越均勻越好。在黑猩猩優(yōu)化算法[10]中，用chaos映射的值作為黑猩猩個(gè)體位置的系數(shù)，使之分布得更為均勻，有更大的包圍空間，從而提高算法的性能，受該文獻(xiàn)的啟發(fā)。對(duì)比了常用的幾種映射方法，tent映射、Logistic映射、Sine映射，最后本文選用了遍歷性較好的Circle混沌映射的值作為個(gè)體鯨魚的系數(shù)值，具體公式如下：

[X（t+1）=X*（t）-A×D1] （9）

[D1=|C×X*（t）-ui×X|] （10）

[ui+1=mod（ui+0.2-（0.52π）sin（2π?ui），1）]? （11）

其中mod為求余函數(shù)。

2.3 迭代自適應(yīng)螺旋網(wǎng)

通過對(duì)公式（5） 的分析可以得出，控制螺旋氣泡網(wǎng)的參數(shù)主要是b和h，b為定值1，而h為[-1，1]之間的一個(gè)隨機(jī)值，即這兩個(gè)參數(shù)控制的螺旋氣泡網(wǎng)大小是相對(duì)固定的，雖然說有隨機(jī)值h，但是h的值在迭代過程中，不管是迭代前期還是后期都未隨著迭代t的增加而發(fā)生規(guī)律性的改變，這樣的螺旋氣泡網(wǎng)不利于后期鯨魚的覓食，也會(huì)導(dǎo)致算法后期的收斂精度不足。為了彌補(bǔ)這一不足，采用迭代自適應(yīng)改變螺旋氣泡網(wǎng)的大小，其中k取0.5，這樣有利于平衡算法全局搜索和局部開發(fā)的能力。隨著迭代次數(shù)的增加k1的值從0.5線性減少到0，k2的值從0.5線性增加到1，具體公式如下：

[X（t+1）=k1×D1×ebh×cos（2πh）+k2×X*t] （12）

[k1=（1-k）-（1-k）×ttmax] （13）

[k2=k+1-k×ttmax] （14）

2.4 levy flight改進(jìn)策略

通過分析公式（8） 可得，在全局搜索階段時(shí)，鯨魚隨機(jī)跟隨種群中的其他鯨魚進(jìn)行位置的更新，這樣的跟隨方式容易使其陷入局部最優(yōu)。為此采用levy flight策略改進(jìn)全局的搜索方式。levy flight在行走過程中有相對(duì)較高的概率出現(xiàn)大跨步，將levy flight在空間中隨機(jī)行走的特點(diǎn)和隨機(jī)選取的個(gè)體鯨魚位置相結(jié)合，從而幫助鯨魚優(yōu)化算法減少陷入局部最優(yōu)的次數(shù)，具體公式如下：

[X（t+1）=Xrand×levy（d）-A×D2]? （15）

[D2=|C×Xrand×levy（d）-X|]? （16）

[levyx=0.01×uv1λ] ? （17）

[u～N0，σ2u? ? ? v～N0，σ2v]? （18）

[σu=Г1+λsinπλ2λ×Г1+λ2×2λ-121λ? ? ? ? ?σv=1]? （19）

其中[Г=0+∞e-ttx-1dt] （20）

其中d為向量的維數(shù)。λ的取值一般為[1，3]，在本文中λ=1.5；u和v分別服從如公（18） 所示的正態(tài)分布，其中[σu]和[σv]分別由公式（19） 求得。

2.5 IAWOA算法步驟

基于上面的分析，IAWOA實(shí)現(xiàn)步驟如下：

1） 設(shè)置種群大小N，最大迭代次數(shù)[tmax]；

2） 初始化種群中個(gè)體鯨魚的位置X；

3） 計(jì)算每頭鯨魚對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值，更新參數(shù)A、C、h、p、a、k1、k2；

4） 當(dāng)p<0.5且[A<1]，根據(jù)公式（9） 更新個(gè)體位置；

5） 當(dāng)p<0.5且[|A|≥1]時(shí)，根據(jù)公式（15） 更新個(gè)體位置；

6） 當(dāng)[p≥0.5]時(shí)，根據(jù)公式（12） 更新個(gè)體位置；

7） 計(jì)算適應(yīng)值，并更新當(dāng)前最優(yōu)解；

8） 若[t

3 實(shí)驗(yàn)與分析

為了驗(yàn)證本文改進(jìn)算法的性能，實(shí)驗(yàn)共分為兩個(gè)部分：1） 單策略有效性分析，即分析單一改進(jìn)策略對(duì)算法性能的影響；2） 對(duì)比分析，將IAWOA與其他3種算法進(jìn)行尋優(yōu)對(duì)比；

本文一共選取了鯨魚優(yōu)化算法文獻(xiàn)[3]中F1至F12，12個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)作為測(cè)試函數(shù)，其中，F(xiàn)1～F7為單峰測(cè)試函數(shù)，可用于測(cè)試算法的開發(fā)性能，F(xiàn)8～F12為多峰函數(shù)，可用于測(cè)試算法跳出局部最優(yōu)的能力。為了保證實(shí)驗(yàn)的公平性，實(shí)驗(yàn)環(huán)境統(tǒng)一為：Windows 11，處理器Inter（R） Core（TM） i7-11800H ，運(yùn)行內(nèi)存16 GB以及Matlab R2018a。

3.1 單策略有效性分析

為了驗(yàn)證每一種改進(jìn)策略對(duì)算法性能的影響。將只采用Circle混沌映射改進(jìn)優(yōu)化鯨魚算法（記為aWOA），只采用迭代自適應(yīng)螺旋網(wǎng)改進(jìn)優(yōu)化鯨魚算法（記為bWOA），只采用levy flight改進(jìn)優(yōu)化鯨魚算法（記為cWOA） 。對(duì)比單一改進(jìn)策略和原算法保持一致，其中種群數(shù)N=30、維數(shù)Dim=30、最大迭代次數(shù)[tmax]=500，為了避免偶然性對(duì)實(shí)驗(yàn)造成的影響，4種算法獨(dú)立運(yùn)行30次，取其標(biāo)準(zhǔn)差和平均值。

從表1的數(shù)據(jù)可以看出，3種不同的改進(jìn)策略使算法的尋優(yōu)精度均有所提高，12個(gè)尋優(yōu)函數(shù)中，aWOA在F1、F2、F8和F9尋優(yōu)精度提高較為明顯，bWOA在F1～F4、F7、F9、F11和cWOA在F1、F2、F7、F11尋優(yōu)精度有了較大的提升，綜上可以看出，bWOA對(duì)原算法的改進(jìn)效果較好，aWOA和cWOA對(duì)原算法的改進(jìn)效果不相上下。

3.2 與其他算法對(duì)比分析

為了進(jìn)一步說明迭代自適應(yīng)改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法（IAWOA） 的性能如何，選取了近年來性能較好和應(yīng)用范圍較廣大的黑猩猩算法（CHOA） 和灰狼算法（GWO）[11]進(jìn)行尋優(yōu)對(duì)比。由于實(shí)際問題往往很復(fù)雜，只測(cè)試其在低維下的尋優(yōu)性能是完全不夠的，所以將其分別在維數(shù)Dim=30和Dim=100進(jìn)行了尋優(yōu)對(duì)比（具體見表2），其加粗部分表示30次尋優(yōu)平均值精度最好對(duì)應(yīng)的算法。其對(duì)比算法的參數(shù)設(shè)置都保持和原文一致。

由表2可以得出，宏觀上，在12個(gè)測(cè)試函數(shù)尋優(yōu)精度中，IAWOA在30維時(shí)有9個(gè)函數(shù)尋優(yōu)精度排名第一，在100維時(shí)有11個(gè)函數(shù)尋優(yōu)精度排名第一，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了傳統(tǒng)的WOA?？梢姼倪M(jìn)IAWOA算法在尋優(yōu)精度有了較大的提高。再者，在算法獨(dú)立運(yùn)行30次的過程中，IAWOA算法的標(biāo)準(zhǔn)差在30維和100維分別有10次和8次是最小的，其中有2次為0，標(biāo)準(zhǔn)差明顯小于其他對(duì)比算法，可見改進(jìn)后的算法有更好的魯棒性。微觀上，在單峰函數(shù)F1～F4中，不管是在低維還是在高維，IAWOA都能保持較高的尋優(yōu)精度，而且在高維下，其他對(duì)比算法精度下降較快，但是IAWOA在高維和低維下尋優(yōu)精度相差不大，可見IAWOA不管是在低維還是在高維情況下都有更強(qiáng)的開發(fā)性能；對(duì)于多峰函數(shù)F8～F12，IAWOA在30維和100維分別有4次和5次尋優(yōu)精度最優(yōu)，可見IAWOA比WOA有更強(qiáng)跳出局部最優(yōu)的能力，從而找到全局最優(yōu)。

4 結(jié)論

針對(duì)鯨魚優(yōu)化算法存在后期收斂精度差和高維下容易陷入局部最優(yōu)等不足，本文提出一種基于迭代自適應(yīng)的鯨魚優(yōu)化算法（IAWOA） 。首先，用Circle混沌映射鯨魚個(gè)體位置，使個(gè)體鯨魚分布得更均勻；其次，隨著迭代自適應(yīng)改變螺旋氣泡網(wǎng)大小，使螺旋氣泡網(wǎng)前期較大而后期慢慢變??；再者，用levy flight改進(jìn)個(gè)體隨機(jī)位置，減少算法陷入局部最優(yōu)次數(shù)。最后，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文改進(jìn)的算法有更好的收斂精度和魯棒性。在今后的學(xué)習(xí)中，計(jì)劃將IAWOA應(yīng)用到物流配送路徑優(yōu)化上，通過實(shí)際問題進(jìn)一步驗(yàn)證IAWOA的性能。

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【通聯(lián)編輯：唐一東】