王 瑤，盧蕓瀟，劉 淼，2*

（1.伊犁師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆伊寧 835000；2.伊犁師范大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，新疆伊寧 835000）

0 引言

新疆位于我國(guó)西北邊疆，是我國(guó)荒漠面積最大、生態(tài)環(huán)境較為脆弱的地區(qū)；同時(shí)也是我國(guó)森林資源較少的省區(qū)之一，并且林地面積小、結(jié)構(gòu)不合理、分布不均勻.火災(zāi)干擾在新疆的生態(tài)系統(tǒng)中起著主導(dǎo)作用，改變了森林演替、生物地球化學(xué)循環(huán)和碳存儲(chǔ).

尋找統(tǒng)計(jì)模型來(lái)描述這一地理區(qū)域火災(zāi)和燃燒面積的年數(shù)趨勢(shì)是森林科學(xué)家非常感興趣的問(wèn)題.事實(shí)上，對(duì)這些模型的詳細(xì)分析可能會(huì)揭示火災(zāi)發(fā)生模式的新方面，并就火災(zāi)機(jī)理提出重要的想法.有幾種統(tǒng)計(jì)方法可以根據(jù)火災(zāi)數(shù)據(jù)揭示前兆地震活動(dòng).曼達(dá)拉茲和Ye發(fā)現(xiàn)了泊松概率模型，很好地描述了森林野火燃燒的過(guò)程［1-2］.本文提出簡(jiǎn)單的泊松模型，作為模擬野火發(fā)生的隨機(jī)性的一種實(shí)用方法；還利用復(fù)合泊松模型對(duì)大火災(zāi)造成的損害進(jìn)行了火災(zāi)的總燒毀面積的建模；并通過(guò)二重復(fù)合泊松過(guò)程對(duì)新疆森林火災(zāi)造成的經(jīng)濟(jì)損失進(jìn)行描述，希望所得結(jié)果對(duì)相關(guān)部門今后掌握新疆森林火災(zāi)的變化規(guī)律提供一定的借鑒與參考.

1 時(shí)間序列分析

1.1 基本概念

1.1.1 時(shí)間序列

時(shí)間序列是指某一現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)值按時(shí)間順序所排列的數(shù)據(jù)，時(shí)間序列分析方法用于確定時(shí)間序列的周期、趨勢(shì)和概率結(jié)構(gòu).基于該結(jié)構(gòu)建立的模型通常用于模擬隱含在時(shí)間序列中的過(guò)程，從而對(duì)未來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)，用于解決實(shí)際問(wèn)題.

1.1.2ARIMA模型簡(jiǎn)介

ARIMA(p,d,q)（簡(jiǎn)稱ARIMA模型）全稱為差分自回歸移動(dòng)平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model），是由博克斯（Box）和詹金斯（Jenkins）于20世紀(jì)70年代初提出的一種著名的時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法，所以又稱為Box-Jenkins模型、博克斯-詹金斯法.ARIMA模型是指將非平穩(wěn)時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時(shí)間序列，然后將因變量?jī)H對(duì)它的滯后值，以及隨機(jī)誤差項(xiàng)的現(xiàn)值和滯后值進(jìn)行回歸所建立的模型［3］.

ARIMA模型是自回歸模型（AR模型）和移動(dòng)平均模型（MA模型）的混合模型.其中，p為自回歸項(xiàng)；q為移動(dòng)平均項(xiàng)；d為時(shí)間序列變成平穩(wěn)時(shí)間序列時(shí)所做的差分次數(shù).本文所使用的是非季節(jié)性的ARIMA模型，即

或簡(jiǎn)寫為

其中，B為后移算子；?d為向后差分算子；φ(B)=1-φ1B-φ2B2-...-φpBp為自回歸算子；θ(B)=1-θ1B-θ2B2-...-θqBq為移動(dòng)平均算子［4］.

1.2 新疆森林燒毀面積的ARIMA模型

1.2.1 新疆森林燒毀面積的數(shù)據(jù)初步判斷

本文就表1 所示的2003～2019 年新疆森林火災(zāi)年度燒毀面積［5］，建立新疆森林火災(zāi)燒毀面積的ARIMA(p,d,q)模型.

表1 2003～2019新疆森林火災(zāi)數(shù)據(jù)

利用SPSS軟件對(duì)新疆2003～2019年的森林火災(zāi)燒毀面積的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析.

圖1為2003～2019年新疆森林火災(zāi)燒毀面積的時(shí)間序列圖.

圖1 2003～2019年新疆森林火災(zāi)燒毀面積序列圖

從圖1中可以看出，2003～2019年新疆森林火災(zāi)燒毀面積的序列圖是一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列.本文對(duì)數(shù)據(jù)作二階差分后得到一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列，見(jiàn)圖2.由圖2可以看出對(duì)原始序列作二階差分能使該時(shí)間序列基本達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài).

圖2 二階差分后的時(shí)間序列圖

1.2.2 模型的識(shí)別與定階

利用ACF圖、PACF圖與貝葉斯信息準(zhǔn)則（Bayesian Information Criterions，BIC）確定模型的階數(shù)，采用最大似然估計(jì)或最小二乘的方法對(duì)識(shí)別階段提供的模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，并假設(shè)檢驗(yàn)，用以判斷模型是否恰當(dāng)［6］.利用統(tǒng)計(jì)軟件繪制自相關(guān)圖及偏相關(guān)圖（見(jiàn)圖3、圖4），進(jìn)行階數(shù)的初步判斷.

圖3 二階差分后的自相關(guān)圖

圖4 二階差分后的偏相關(guān)圖

對(duì)該時(shí)間序列取不同參數(shù)值來(lái)比較BIC值（BIC值越小越好），以及比較平穩(wěn)的R2值和MAE值，反復(fù)擬合取(p,d,q)=(2,2,0)時(shí)，時(shí)間序列模型的BIC值達(dá)到最小值12.113，R2=0.611，模型擬合效果比較顯著.

1.2.3 模型的參數(shù)估計(jì)

取(p,d,q)=(2,2,0)時(shí)，模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表2所示.由表2可以看出，回歸系數(shù)的p值都小于0.05，接近于0，于是得到結(jié)論：t檢驗(yàn)效果顯著.

表2 參數(shù)估計(jì)值

1.2.4 模型的顯著性檢驗(yàn)

模型的顯著性檢驗(yàn)是對(duì)序列的原始數(shù)據(jù)與擬合數(shù)據(jù)的誤差序列進(jìn)行相關(guān)檢驗(yàn)，看其是否與實(shí)際相吻合，是否能夠很好地反映實(shí)際，對(duì)時(shí)間序列模型的檢驗(yàn)即就是看殘差序列是否為白噪聲序列［7］.本文檢驗(yàn)是否為白噪聲序列的方法選擇觀測(cè)殘差序列的ACF圖和PACF圖進(jìn)行檢驗(yàn)，見(jiàn)圖5.

圖5 ARIMA模型殘差的相關(guān)函數(shù)圖

由圖5可知，殘差的ACF和PACF都是平穩(wěn)的，兩者的數(shù)值都趨向于0，但都不等于0，并且殘差序列數(shù)值之間沒(méi)有相關(guān)性.因此殘差序列近似為白噪聲序列.于是得到的模型ARIMA(2,2,0)能夠較好地用來(lái)擬合新疆2003～2019年森林火災(zāi)燒毀面積的時(shí)間序列.

1.2.5ARIMA(2,2,0)模型的預(yù)測(cè)

利用建立的模型預(yù)測(cè)新疆森林火災(zāi)燒毀面積，得到預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的對(duì)比結(jié)果，如圖6：

圖6 新疆森林火災(zāi)燃燒面積預(yù)測(cè)值與實(shí)際值對(duì)比圖

對(duì)比圖6中的原始序列和實(shí)際序列，模型的預(yù)測(cè)是合適的.使用該模型對(duì)未來(lái)兩年（2020～2021年）新疆森林火災(zāi)燒毀面積進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果如表3 所示.由表3 預(yù)測(cè)得到2020 年新疆森林火災(zāi)燒毀的面積約為37.57 hm2；預(yù)測(cè)2021年新疆森林火災(zāi)所致的燒毀面積約為43.82 hm2.

表3 新疆2020～2021年森林火災(zāi)燒毀面積預(yù)測(cè)值

2 復(fù)合泊松過(guò)程

2.1 預(yù)備知識(shí)

定義1［8］稱計(jì)數(shù)過(guò)程{N(t),t≥0}，為具有參數(shù)λ＞0的泊松過(guò)程，如果{N(t),t≥0} 滿足下列條件：

（1）N(0)=0；

（2）N(t)是獨(dú)立平穩(wěn)增量過(guò)程；

（3）P{N(h)=1}=λh+o(h)；

（4）P{N(h)≥2}=o(h).

定義2［9］設(shè){N(t),t≥0} 是參數(shù)為λ的泊松過(guò)程，若其中{Xn,n=1,2,...} 為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列且與{N(t),t≥0} 獨(dú)立，則稱{Y(t),t≥0} 為復(fù)合泊松過(guò)程.

定義3［10］若{Y(t),t≥0} 是一復(fù)合泊松過(guò)程，{ηn,n=1,2,...} 是獨(dú)立同分布的非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量序列，且{ηn} 與{Y(t)}相互獨(dú)立.令,t≥0，則稱{Z(t),t≥0} 為二重復(fù)合泊松過(guò)程.

2.2 主要結(jié)論

定理1若{N(t),t≥0} 是參數(shù)為λ的泊松過(guò)程，且E(X12)＜∞，則復(fù)合泊松過(guò)程,t≥0的基本數(shù)字特征如下：

（1）特征函數(shù)為gY(t)(u)=exp{λt[gX(u)-1]}，其中g(shù)X(u)是隨機(jī)變量X1的特征函數(shù)，λ表示速率；

（2）均值函數(shù)為E[Y(t)]=λtE(X1)；

（3）方差函數(shù)為D[Y(t)]=λtE(X12).

由于{N(t)≥0,t≥0} 與{Xn,n=1,2,...}，是相互獨(dú)立的，則

（2）根據(jù)特征函數(shù)與矩的關(guān)系得到數(shù)學(xué)期望為

（3）均方值為

于是Y(t)的概率生成函數(shù)為

若s=0，gY(t)(s)的k階導(dǎo)數(shù)如下：

當(dāng)m=1，x=0,1 且n=1,2,...時(shí)，P(Xn=0)=p0，P(Xn=1)=1-p0，此時(shí)易見(jiàn)Y(t)是參數(shù)為λ(1-p0)t的泊松過(guò)程.

當(dāng)m=2時(shí)，Y(t)的概率生成函數(shù)為

當(dāng)m＞2時(shí)，利用上述同樣的方法進(jìn)行微分及代數(shù)運(yùn)算，得到m＞2的概率

通過(guò)歸納得

2.3 實(shí)證分析

2.3.1 模型的建立

從《新疆統(tǒng)計(jì)年鑒》中收集到2003～2019年有關(guān)新疆森林火災(zāi)的數(shù)據(jù)如圖7.

圖7 2003～2019年新疆森林火災(zāi)發(fā)生次數(shù)

利用圖7 中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析.令{N(t),t≥0} 為某一給定季節(jié)內(nèi)新疆地區(qū)森林火災(zāi)發(fā)生次數(shù)的齊次泊松過(guò)程，則相應(yīng)的森林火災(zāi)的燒毀面積Xn,n=1,2,...為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，且與{N(t),t≥0} 獨(dú)立，則在[0,t]時(shí)間段內(nèi)，新疆森林火災(zāi)燒毀的總面積可看作一個(gè)復(fù)合泊松過(guò)程Y(t)=X1+X2+...+XN(t)=當(dāng)每次新疆地區(qū)森林火災(zāi)燃燒面積相互獨(dú)立時(shí)，即可確定新疆森林火災(zāi)燒毀總面積的概率密度函數(shù).在t時(shí)間段內(nèi)新疆森林火災(zāi)造成的經(jīng)濟(jì)損失可看成一個(gè)二重復(fù)合泊松過(guò)程.當(dāng)每一單位面積燒毀造成的經(jīng)濟(jì)損失相互獨(dú)立時(shí)，便可得到新疆森林火災(zāi)造成總經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)模型.

2.3.2 模型檢驗(yàn)

本文利用Kolmogoroν‐Smirnoν檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(ρ=0.095)，得到{N(t),t≥0} 是一個(gè)齊次泊松過(guò)程，λ=36.88（年），這意味著每年新疆森林火災(zāi)預(yù)期達(dá)到36.88次.從圖8和Kolmogoroν-Smirnoν檢驗(yàn)中得到了新疆森林火災(zāi)燃燒面積的頻率分布，隨機(jī)變量Xn,n=1,2,...為對(duì)數(shù)正態(tài)分布.根據(jù)Spearman-ρ檢驗(yàn)（Spearman-ρ=0.204；p=0.433），滿足獨(dú)立性假設(shè)條件.因此得到是一個(gè)復(fù)合泊松過(guò)程.利用隨機(jī)變量Xn與N(t)的分布特性同樣可得新疆森林火災(zāi)燒毀總面積的復(fù)合泊松過(guò)程的概率函數(shù).

圖8 新疆森林年度燃燒面積圖

通過(guò)Kolmogoroν-Smirnoν檢驗(yàn)得到隨機(jī)變量ηn,n=1,2,...為一個(gè)正態(tài)分布.根據(jù)Spearman-ρ檢驗(yàn)（Spearman-ρ=0.074；p=0.859），我們接受獨(dú)立性假設(shè).因此我們認(rèn)為是一個(gè)二重復(fù)合泊松過(guò)程.

3 結(jié)束語(yǔ)

本文首先介紹了一種時(shí)間序列模型，用于對(duì)新疆未來(lái)兩年森林火災(zāi)的燃燒面積進(jìn)行預(yù)測(cè)；同時(shí)提出了一種復(fù)合泊松模型，用于模擬給定季節(jié)內(nèi)新疆森林火災(zāi)的年度燃燒面積和火災(zāi)次數(shù)的分布.利用新疆2003～2019年森林火災(zāi)的歷史數(shù)據(jù)來(lái)擬合模型，最后得到新疆森林火災(zāi)燃燒總面積的復(fù)合泊松過(guò)程的數(shù)字模型和新疆森林火災(zāi)所造成經(jīng)濟(jì)損失的二重復(fù)合泊松過(guò)程的數(shù)學(xué)模型，從而說(shuō)明建立復(fù)合泊松模型，可以很好地對(duì)新疆森林火災(zāi)燃燒總面積和燃燒次數(shù)進(jìn)行概率擬合.本研究中得到的新疆森林火災(zāi)的分布規(guī)律對(duì)于未來(lái)相關(guān)部門防控和管理新疆森林火災(zāi)系統(tǒng)有一定的參考價(jià)值.