付澤豪 李耀輝 胡超棋

摘? 要： 提出利用Groebner基方法對(duì)射影不變曲線的構(gòu)造方程進(jìn)行求解。首先構(gòu)造出二次曲線的一般方程且其系數(shù)用參數(shù)表示；然后，利用拉格朗日乘子法得到滿(mǎn)足最優(yōu)擬合曲線時(shí)的條件，該問(wèn)題由7個(gè)三次方程構(gòu)成，其一般形式的解最多可以達(dá)到2187個(gè)。利用多項(xiàng)式環(huán)字典序下的Groebner基具有消元的性質(zhì)將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角型方程組，進(jìn)而求解。討論了兩組點(diǎn)集通過(guò)該類(lèi)方法擬合出的不變曲線，并用實(shí)例分析了曲線在射影變換時(shí)具有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和次數(shù)不變性。

關(guān)鍵詞： 射影不變性； 擬合曲線； 拉格朗日函數(shù)； Groebner基

中圖分類(lèi)號(hào)：TP301.6? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ?文章編號(hào)：1006-8228（2023）06-01-06

Construction of projective invariant curve based on Groebner basis method

Fu Zehao， Li Yaohui， Hu Chaoqi

（School of Information Technology Engineering， Tianjin University of Technology and Education， Tianjin 300222， China）

Abstract： In this paper， the Groebner basis method is proposed to solve the construction equations of projective invariant curves. First， the general equation of conic is constructed and its coefficients are expressed by parameters. Then， using the Lagrange multiplier method， the conditions for satisfying the optimal fitting curve are obtained. The problem consists of seven cubic equations， and the general form of the solution can reach 2187 at most. The original problem is transformed into a trigonometric system of equations by using the elimination property of Groebner basis under the dictionary order of polynomial rings. The invariant curves fitted by two point sets using this method are discussed， and the topological structure and degree invariance of curves in projective transformation are analyzed with examples.

Key words： projective invariance; fitting curve; Lagrange function; Groebner basis

0 引言

計(jì)算機(jī)視覺(jué)中，邊界曲線擬合是一個(gè)經(jīng)典的問(wèn)題，它在人臉識(shí)別，物體形狀匹配等領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用[1-4]。常用的邊界曲線的擬合方法有：直接最小二乘法、最小平方中值法和卡爾曼濾波擬合法[5-7]。但是在模式識(shí)別中，擬合的曲線必須具有射影不變性，即射影點(diǎn)集的擬合曲線恰好是原始點(diǎn)集擬合曲線的射影，我們稱(chēng)這類(lèi)曲線為射影不變曲線[8]。射影不變曲線能夠避免攝像機(jī)視點(diǎn)的變化以及物體運(yùn)動(dòng)對(duì)目標(biāo)識(shí)別產(chǎn)生的影響。而上述方法擬合的曲線均不具備射影不變性這一特征而不被模式識(shí)別所采用。因此，構(gòu)造出射影不變曲線有其現(xiàn)實(shí)需要。

目前射影不變曲線的擬合方法大多采用代數(shù)距離作為擬合誤差的測(cè)度，對(duì)最小代數(shù)距離進(jìn)行逼近來(lái)實(shí)現(xiàn)擬合過(guò)程。文獻(xiàn)[9]提出將給定變換的絕對(duì)不變量的函數(shù)作為約束，通過(guò)計(jì)算最小代數(shù)距離下的參數(shù)得到擬合曲線。該方法雖然可以獲得符合要求的曲線，但是有些變換下不存在絕對(duì)不變量，方法不具備普適性。文獻(xiàn)[10]給出了用相對(duì)不變量作為約束條件的定理，同樣可以通過(guò)計(jì)算最小代數(shù)距離下的參數(shù)得到擬合曲線。該方法解決了擬合曲線普適性問(wèn)題，但在后續(xù)參數(shù)的計(jì)算問(wèn)題上，無(wú)法避免高次非線性方程組的求解，計(jì)算量較為龐大。

本文將曲線的系數(shù)矩陣作為約束條件，在給定變換群下，對(duì)系數(shù)矢量規(guī)格化，將曲線擬合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問(wèn)題，并且利用多項(xiàng)式環(huán)字典序下Groebner基具有的消元性質(zhì)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角型方程組進(jìn)行求解，計(jì)算出擬合曲線的參數(shù)，最終對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果擬合曲線的射影不變性進(jìn)行驗(yàn)證與分析。

1 Groebner基方法

當(dāng)給出一系列點(diǎn)擬合邊界曲線時(shí)，一方面期望保留原圖形或圖像的主要特征，另一方面期望曲線的計(jì)算簡(jiǎn)單且能夠良好的逼近。因此，擬合時(shí)采用二次曲線進(jìn)行擬合。我們主要研究當(dāng)給定一組點(diǎn)集時(shí)，滿(mǎn)足上述要求的曲線有多少條且它們滿(mǎn)足什么樣的性質(zhì)。該問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為非線性方程組的求解問(wèn)題。為了解決該問(wèn)題采用Groebner基方法實(shí)現(xiàn)。

Groebner基理論屬于計(jì)算代數(shù)幾何理論。該理論于1964年由Hirona-ka H首先引入并稱(chēng)其為標(biāo)準(zhǔn)基。1965年Buchberger首次提出多項(xiàng)式理想的Groebner基算法，在隨后的幾十年里，不斷地改進(jìn)優(yōu)化，其理論在研究過(guò)程中一般將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線性多項(xiàng)式問(wèn)題，然后利用Groebner基理論對(duì)所轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行求解。下面給出Groebner基的定義：

定義1 在多項(xiàng)式環(huán)[k[x1，…，xn]]，一個(gè)有限子集[G={g1，…，gn}]的理想[I?k[x1，…，xn]]，若[LT（g1），…，LT（gt）]

[=LT（I）]，則[G]是一個(gè)Groebner基，其中[LTg1]表示按照某種排序（多為字典序）的多項(xiàng)式[g1]的首項(xiàng)。[LTg1，…，LTgt]表示以[LTg1，…，LTgt]為元素所生成的理想，[LTI]表示[I]中所有元素的首項(xiàng)組成的集合。

直觀來(lái)說(shuō)，Groebner基是理想的代表元素，若計(jì)算出理想的一組Groebner基，那么理想的一些好的性質(zhì)可以更為方便的研究。

多項(xiàng)式理想保持了系統(tǒng)零點(diǎn)的不變性，即：最后得到多項(xiàng)式系統(tǒng)的解就是原多項(xiàng)式系統(tǒng)的解。具體來(lái)說(shuō)，假設(shè)有一個(gè)多項(xiàng)式方程組：

[a11xp111+a12xp122+…+a1nxp1nn=0a21xp211+a22xp222+…+a2nxp2nn=0……an1xpn11+an2xpn22+…+annxpnnn=0]? ⑴

通過(guò)利用Groebner基可以對(duì)部分元素進(jìn)行消元處理，可以將原多項(xiàng)式系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為：

[a'11xp'111+a'12xp'122+…+a'1nxp'1nn=0a'21xp'211+…+a'2n-1xp'2n-1n-1=0? ………? ? ? ? ? ? ? ?a'n1xp'n11+m=0? ? ? ? ? ? ? ? ?]? ?⑵

通過(guò)計(jì)算式⑴的Groebner基，并能保證這兩個(gè)方程組的解相同，且稱(chēng)式⑵為三角型方程組。在對(duì)于復(fù)雜的多元多項(xiàng)式方程的求解過(guò)程中，可以先確定字典序，然后求得其多項(xiàng)式理想的Groebner基，最后計(jì)算Groebner基中多項(xiàng)式的根，即為原本多元多項(xiàng)式方程的解。

在構(gòu)造平面二次曲線的過(guò)程中，需要建立拉格朗日方程求解曲線的多個(gè)參數(shù)值，即要解決高次多變?cè)匠探M的求解。這類(lèi)問(wèn)題在參數(shù)以及約束過(guò)多的情況下難以計(jì)算。引入Groenber基方法，其理論在研究過(guò)程中將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線性多項(xiàng)式問(wèn)題，利用Groebner基理論消元的性質(zhì)求解擬合方程的系數(shù)，該方法不需要迭代，直接可以求出非線性方程組的解。

2 射影不變性曲線的構(gòu)造

對(duì)于邊界曲線的擬合，首先給定平面上的點(diǎn)集S，它是由[xi，yi1iN]的集合，然后利用點(diǎn)集的數(shù)據(jù)擬合出可以代表點(diǎn)集的閉合曲線，并且保證其具有射影不變性。良好的擬合曲線，需要滿(mǎn)足兩個(gè)性質(zhì)：①曲線良好逼近，數(shù)據(jù)小的變化只會(huì)導(dǎo)致擬合曲線小的變化；②射影不變性，即射影點(diǎn)集的擬合曲線恰好是原始點(diǎn)集擬合曲線的射影。

2.1 二次不變曲線擬合理論

設(shè)所要求的二次曲線為：

[Q2x，y=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0] ⑶

該曲線也可以表示為矩陣及矢量相乘的形式，即[Q2x，y=v'Pv]，其中[v]表示變?cè)蛄?，[v]是[v]的轉(zhuǎn)置且[v=[x，y，1]]；[P]是系數(shù)矩陣，為：

[P=AB2D2B2CE2D2E2F]? ? ⑷

為了擬合曲線，將任一點(diǎn)[xi，yi]到曲線[Q2x，y]的距離定義為[Q22xi，yi]，點(diǎn)集到該曲線的距離為[1Ni=1NQ22xi，yi]。若要擬合出性質(zhì)良好的二次曲線需要保證射影不變性及其對(duì)原曲線的良好逼近兩點(diǎn)性質(zhì)。為了滿(mǎn)足第二個(gè)性質(zhì)需要使點(diǎn)集到給定曲線的距離盡可能??；雖然[Q2x，y]與k[Q2x，y]表示同一條曲線，但是曲線外一點(diǎn)[xi，yi]到曲線的代數(shù)距離會(huì)隨著k值的不同而不同。為了保證點(diǎn)集上任一點(diǎn)到曲線代數(shù)距離的惟一性，構(gòu)造不變射影曲線時(shí)增加約束條件即要求擬合時(shí)二次曲線系數(shù)矩陣的行列式[|P|=1]。最終，將二次曲線的不變性擬合轉(zhuǎn)化為帶有約束條件的優(yōu)化問(wèn)題，若給定點(diǎn)集S，就可以得到：

[mini=1NQ22xi，yis.t. P=1]? ? ⑸

利用拉格朗日乘子法，將帶有約束條件的優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)為無(wú)約束條件的優(yōu)化問(wèn)題：

[L=i=1NQ22xi，yi+λ（P-1）]? ?⑹

其中，[λ]為拉格朗日乘子，可得到一個(gè)七元三次非線性方程組：

[?L?A=2i=1Nx2i*Q2xi，yi+λCF-E24=0?L?B=2i=1Nxiyi*Q2xi，yi+λDE4-BF2=0?L?C=2i=1Ny2i*Q2xi，yi+λAF-D24=0?L?D=2i=1Nxi*Q2xi，yi+λBE4-CD2=0?L?E=2i=1Nyi*Q2xi，yi+λBD4-AE2=0?L?F=2i=1NQ2xi，yi+λAC-B22=0P=ACF+BDE4-CD24-AE24-B2F4-1=0] ⑺

由于上述方程組是非線性的，直接消元非常困難，采用數(shù)值法求解不能保證得到滿(mǎn)足上述方程的所有解，根據(jù)前述的Groebner基理論得知其具有消元的性質(zhì)，若計(jì)算非線性方程組生成理想在變?cè)值湫蛳碌腉roebner基會(huì)得到另一個(gè)非線性方程組且是一個(gè)三角型方程組，這樣我們就容易求出其中的單變?cè)匠痰慕?，然后將該變?cè)慕獯牒袃蓚€(gè)變?cè)姆匠糖蟪隽硪粋€(gè)變?cè)慕猓詈?，?jì)算出所有變?cè)慕?。具體計(jì)算時(shí)，首先將式⑺中的變?cè)醋值湫蚺判驗(yàn)閇{λ，A，B，C，D，E，F(xiàn)}]，再將式⑺中方程組左側(cè)的各項(xiàng)構(gòu)建系統(tǒng)的理想，然后計(jì)算該理想的Groebner基，可得到如下一般形式的方程組：

[k=0Na1kFk=0k=0Na2kFk+b2E=0k=0Na3kFk+b3D=0k=0Na4kFk+b4C=0k=0Na5kFk+b5B=0k=0Na6kFk+b6A=0k=0Na7kFk+b7λ=0]? ? ? ?⑻

該方程組第一個(gè)方程只含有變?cè)狥，因此求解過(guò)程只需要先求出F，再將F的值代入第二個(gè)方程求解出E的解，這樣逐一得到其他所有變?cè)闹?。?shí)際上，有時(shí)在計(jì)算Groebner基時(shí)并非得到的方程數(shù)和變?cè)粯佣?，后面具體實(shí)例中可以看到，有時(shí)我們得到的方程組中方程的個(gè)數(shù)并不是七個(gè)而是八個(gè)，但是變?cè)獋€(gè)數(shù)仍然只有七個(gè)。這種情況，必有一個(gè)方程和其他方程的變?cè)獋€(gè)數(shù)一樣多，計(jì)算時(shí)，取這兩個(gè)方程的任一個(gè)計(jì)算新增加變?cè)慕?，用另外一個(gè)方程進(jìn)行驗(yàn)證，去掉不滿(mǎn)足這兩個(gè)方程的解。這樣，可以排除非擬合曲線的解，在計(jì)算后面其他變?cè)慕鈺r(shí)可以大大降低非線性方程組的求解復(fù)雜度。這是一種特殊的形式，相比一般形式可以節(jié)約一定的算力。

根據(jù)代數(shù)方程組的一般定理可知七元三次方程組在復(fù)數(shù)域上最多可以有2187個(gè)解，其中很多解可能是復(fù)數(shù)解并且對(duì)于實(shí)際擬合曲線無(wú)意義，因此，討論一般情況下的射影曲線的形式與參數(shù)之間的關(guān)系也會(huì)非常復(fù)雜。在實(shí)際的邊界擬合問(wèn)題上，并非要計(jì)算出方程組的全部解，我們只需要在全部實(shí)數(shù)解中得到與點(diǎn)集距離最近的那一條曲線。而且在求解變?cè)倪^(guò)程中，變?cè)猍λ]也并非是曲線所需要的參數(shù)，因此可以不作計(jì)算，來(lái)達(dá)到減輕工作量的目的，下面通過(guò)實(shí)例來(lái)討論點(diǎn)集曲線擬合所得到的解。

2.2 不變曲線擬合的實(shí)例討論

為了計(jì)算具體的不變擬合曲線，假設(shè)目標(biāo)邊界過(guò)點(diǎn)[q1：5，0，q2：0，5，q3：-5，0，][q4：0，-5，q5：3，4，q6：-3，-3]。采用前述計(jì)算二次曲線的理論擬合該目標(biāo)邊界曲線，使其滿(mǎn)足射影不變性。

將點(diǎn)集坐標(biāo)代入式⑺可以得到如下非線性方程組：

[2824A+ 378B + 450C + 18E+ 136F+λCF -E24=0378A + 450B+546C+18D+42E+42F + λDE4-BF2=0450A+545B+3174C+42D+74E+150F + λAF-D24=018B+42C+136D+42E+λBE4-CD2=018A+42B+74C+42D+150E+2F+λBD4-AE2=0136A+42B+150C+2 E+12F+λAC-B22=0ACF+BDE4-CD24-AE24-B2F4-1=0] ⑼

將式⑼方程組左側(cè)的各多項(xiàng)式作為集合，構(gòu)造多項(xiàng)式理想，確定變?cè)淖值湫驗(yàn)閇[λ， A， B， C， D， E， F]]，計(jì)算該序下的Groebner基。為了構(gòu)造二次曲線，當(dāng)選定6個(gè)點(diǎn)構(gòu)成點(diǎn)集，通過(guò)計(jì)算Groebner基，恰能生成七個(gè)變?cè)娜切头匠探M。我們先得到多項(xiàng)式系統(tǒng)生成理想，然后計(jì)算該理想在字典序[{λ，A，B，C，D，E，F(xiàn)}]下的Groebner基，得到消元理想，其中含有七個(gè)多項(xiàng)式，其形式如下：

[G1=f1FG2=f2E，F(xiàn)G3=f3D，F(xiàn)G4=f4C，F(xiàn)G5=f5B，F(xiàn)G6=f6A，F(xiàn)G7=f7λ，F(xiàn)]? ⑽

由式⑽可以看出新得到的多項(xiàng)式系統(tǒng)自上至下每個(gè)多項(xiàng)式新增一個(gè)變?cè)?，令系統(tǒng)等于0得到三角型方程組，其中第一個(gè)多項(xiàng)式[G1]只含有單變?cè)狥且各項(xiàng)的次數(shù)如下：

[G1=a69F69+a66F66+…+a3F3+a0=0]? ⑾

其中，[a0，a3，…，a69]是各此項(xiàng)的系數(shù)且均為常數(shù)，因其為單變?cè)匠坦室椎玫紽的解。根據(jù)代數(shù)基本定理，其最多有69個(gè)解（重根以重?cái)?shù)計(jì)）。在這69個(gè)解中只有五個(gè)實(shí)數(shù)解。再將F的實(shí)數(shù)解分別代入[G2，G3，G4，G5，G6]，在這些多項(xiàng)式中同樣包含了關(guān)于F的高次項(xiàng)以及其他單一變?cè)膯未雾?xiàng)，因此，每一個(gè)F的解都可以對(duì)應(yīng)其他變?cè)奈┮唤?，由于其他方程過(guò)于冗長(zhǎng)不再一一列舉。最終，可以得到5組實(shí)數(shù)解。而[G7]中的變?cè)猍λ]由于不屬于曲線的參數(shù)，因此不作計(jì)算。5組實(shí)數(shù)解結(jié)果如表1所示。

將上述參數(shù)代入⑶式中，得到五個(gè)方程，分別對(duì)應(yīng)以下五條擬合曲線，如圖1所示。

這五條曲線包含了兩條橢圓，三條拋物線。說(shuō)明通過(guò)點(diǎn)集擬合出的曲線具有不惟一性。并且根據(jù)二次不變曲線擬合理論，這五條擬合曲線均滿(mǎn)足射影不變性的條件。不過(guò)，并非所有不變曲線都可以做到良好逼近，上述例子中所給出的點(diǎn)集分布可以看出，該點(diǎn)集更加適合通過(guò)橢圓來(lái)擬合曲線，通過(guò)比較點(diǎn)集到曲線的代數(shù)距離[1Ni=1NQ22xi，yi]可以驗(yàn)證出這一點(diǎn)，得到4條曲線中最佳逼近的那一條擬合曲線。4條擬合曲線到[q1， q2，q3，q4，q5，q6]的距離如表2所示。

根據(jù)結(jié)果可以明顯比較出曲線5具有更加良好的逼近條件，因此擬合該點(diǎn)集的最佳曲線方程應(yīng)當(dāng)為：[-0.347x2+0.105xy-0.343y2+0.089x+0.101y+8.586=0]。

上例中得到的Groebner基只是一般情況，并非所有擬合點(diǎn)集過(guò)程都可以得到規(guī)整的三角型方程，不過(guò)其方程仍然可以轉(zhuǎn)化為非線性方程組來(lái)計(jì)算。下面將點(diǎn)集中[q6：-3，-3]改為[q7：-3，-4]，進(jìn)行計(jì)算，可以發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象。

將點(diǎn)[q1，q2，q3，q4，q5，q7]的坐標(biāo)代入式⑺可以得到如下非線性方程組：

[2824A+ 432B + 576C + 136F+λCF -E24=0432A + 576B+768C+48F + λDE4-BF2=0576A+768B+3524C+164F + λAF-D24=0136D+48E+λBE4-CD2=048D+164E+λBD4-AE2=0136A+48B+164C+12F+λAC-B22=0ACF+BDE4-CD24-AE24-B2F4-1=0] ⑿

將式⑿方程組左側(cè)的各多項(xiàng)式作為集合，按照相同字典序排列后求出Groebner基含有八個(gè)多項(xiàng)式，其具體形式如下：

[G1=f1FG2=f2E，F(xiàn)G3=f3E，F(xiàn)G4=f4D，E，F(xiàn)G5=f5C，F(xiàn)G6=f6B，F(xiàn)G7=f7A，F(xiàn)G8=f8λ，F(xiàn)] ⒀

其中，[G2]和[G3]都是包含了變?cè)狤和F的多項(xiàng)式，且[G4]含有三個(gè)參數(shù)，但這仍然是非線性方程組，可以先舍棄[G2]的方程組，計(jì)算得到69組解，其中11組為實(shí)數(shù)解。再將這11組解帶入方程[G2=0]進(jìn)行驗(yàn)證，可以發(fā)現(xiàn)均滿(mǎn)足等式，因此這11組解就是式⑿的實(shí)數(shù)解，具體結(jié)果如表3所示。

通過(guò)比較曲線與點(diǎn)集的代數(shù)距離可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)集的所有點(diǎn)均落在擬合曲線[-0.342x2-0.343y2+8.550=0]上，且曲線符合射影不變性特征。

上文兩例可以說(shuō)明該方法對(duì)于擬合不變曲線具有普適性，通過(guò)Groebner基理論轉(zhuǎn)化的非線性方程組都可以更加簡(jiǎn)單得求出原本方程組的解，得到的最優(yōu)解即為最佳擬合曲線的參數(shù)。

2.3 曲線射影不變性分析

上節(jié)所求得曲線應(yīng)當(dāng)保持射影不變性的特征，即射影點(diǎn)集的擬合曲線恰好是原始點(diǎn)集擬合曲線的射影。假設(shè)點(diǎn)集[（xi，yi）（1iN）]的擬合曲線為[Q2x，y=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0]，在經(jīng)過(guò)射影矩陣[τ=a11a12a13a21a22a23a31a32a33]的射影變換后，點(diǎn)集中的點(diǎn)坐標(biāo)改變得：

[x'i=a11xi+a12yi+a13a31xi+a32yi+a33y'i=a21xi+a22yi+a23a31xi+a32yi+a33]? ⒁

點(diǎn)集[（x'i，y'i）（1iN）]即為射影變換后的點(diǎn)集，曲線[Q2x，y]經(jīng)過(guò)τ的射影變換后，得：

[Q'2x，y=A'（x'）2+B'x'y'+C'（y'）2+D'x'+C'y'+F'=0] ⒂

其中[x'=a11x+a12y+a13a31x+a32y+a33y'=a21x+a22y+a23a31x+a32y+a33]，可以解出式⒂的參數(shù)[A'，B'，C'，D'，E'，F(xiàn)']，若式⒂可以擬合出點(diǎn)集[（x'i，y'i）（1iN）]，則說(shuō)明擬合曲線[Q2x，y]具有射影不變性的特征，反之則沒(méi)有。

根據(jù)此判據(jù)，可以通過(guò)一次射影變換對(duì)上節(jié)中兩條曲線的射影不變性進(jìn)行如下驗(yàn)證。

設(shè)邊界點(diǎn)[q1，q2，q3，q4，q5，q6]，[q7]經(jīng)過(guò)變換矩陣τ后變?yōu)閇q'1，q'2，q'3，q'4，q'5，q'6]，[q'7]，射影變換矩陣τ為：

[τ=122212001]

則邊界點(diǎn)的坐標(biāo)變換根據(jù)⒁式可得：

射影變換后的擬合曲線如圖2所示。

可以看出，射影變換后的曲線可以很好的擬合出影射變換后的點(diǎn)集，其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)仍是橢圓，其方程仍是二次方程，故曲線[-0.347x2+0.105xy-0.343y2+0.089x+0.101y+8.586=0]和[-0.342x2-0.343y2+8.550=0]擬合邊界點(diǎn)，不僅滿(mǎn)足曲線的良好逼近，而且具有射影不變曲線的性質(zhì)。證明了本文方法可以高效、準(zhǔn)確地進(jìn)行曲線擬合。

3 總結(jié)

本文構(gòu)造出平面曲線的二次曲線射影不變性擬合一般方法。該方法將擬合過(guò)程中的一般非線性方程通過(guò)計(jì)算變?cè)值湫虻腉roebner基消元得到三角型方程組，然后進(jìn)行求解。該方法克服了Gauss-Seidel迭代只能求解線性方程組，而Newton迭代只能求解單變?cè)蔷€性方程組的問(wèn)題。在計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域，對(duì)運(yùn)動(dòng)與模糊物體的識(shí)別的底層算法進(jìn)行了優(yōu)化。將來(lái)隨著算力的提升，可以利用該方法對(duì)四次曲線的擬合對(duì)這類(lèi)曲線進(jìn)行更精確的擬合。

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