王 智，王 鵬，何 磊，白文露，夏 川

(北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076)

0 引言

飛行器落點(diǎn)散布由一系列彼此獨(dú)立的隨機(jī)干擾因素引起。雖無法事先確定每種干擾因素的具體數(shù)值，但其均符合一定的統(tǒng)計(jì)特性。按照概率論中心極限定理[1-3]：對于大量隨機(jī)變量之和，如果每個(gè)隨機(jī)變量對總和的作用是微小的，且彼此不相關(guān)，則此和式近似于正態(tài)分布。因此，可以認(rèn)為落點(diǎn)偏差的概率分布遵循正態(tài)分布規(guī)律。

在點(diǎn)目標(biāo)假設(shè)下，表征飛行器二維精度的常用指標(biāo)是均方根誤差和圓概率偏差。在不同的應(yīng)用場景，二維精度指標(biāo)需用概率偏差表示。

本文在點(diǎn)目標(biāo)的假設(shè)下，應(yīng)用概率論正態(tài)分布理論，在二維圓概率偏差線性公式的基礎(chǔ)上，給出了基于縱橫向均方根誤差分段的圓概率偏差精確公式，同時(shí)對二維精度指標(biāo)體系及相互轉(zhuǎn)換關(guān)系進(jìn)行了研究。

1 落點(diǎn)散布坐標(biāo)系

要描述飛行器落點(diǎn)C圍繞目標(biāo)點(diǎn)T的分布，須要明確落點(diǎn)偏差量的表示方法，規(guī)定落點(diǎn)散布平面為目標(biāo)點(diǎn)T處的水平面，以T為原點(diǎn)Oc，用發(fā)射點(diǎn)O矢徑ro與目標(biāo)點(diǎn)T矢徑rt所組成的平面與散布平面的截線順飛行方向?yàn)棣軸，即縱向，從O點(diǎn)指向T點(diǎn)的方向?yàn)檎?；在散布平面?nèi)與T點(diǎn)相垂直的方向?yàn)棣軸，即橫向，指向ΔL軸右方為正。飛行器落點(diǎn)C在落點(diǎn)散布坐標(biāo)系Oc-ΔLΔH中的ΔL，ΔH即為縱向落點(diǎn)偏差和橫向落點(diǎn)偏差，如圖1所示。

圖1 落點(diǎn)散布坐標(biāo)系示意圖Fig.1 Schematic diagram of falling point dispersion coordinate system

2 二維精度指標(biāo)體系及相互關(guān)系

2.1 均方根誤差

若瞄準(zhǔn)點(diǎn)為目標(biāo)中心，則其縱向ΔL、橫向ΔH分布規(guī)律的二維正態(tài)分布為

(1)

式中，μΔL，μΔH為系統(tǒng)性偏差；σΔL，σΔH為隨機(jī)誤差和均方根誤差；ρ為縱橫向相關(guān)系數(shù)，0≤ρ<1。

考慮沒有系統(tǒng)性誤差，即μΔL=μΔH=0，并且縱橫向獨(dú)立，則(ΔL，ΔH)的密度函數(shù)分別為

(2)

(3)

假定σΔL=σΔH=σ，即落點(diǎn)為圓散布，此時(shí)有

(4)

ΔL和ΔH的聯(lián)合概率密度函數(shù)分布如圖2所示。

圖2 聯(lián)合概率密度圖Fig.2 Joint probability density

2.2 概率偏差

隨機(jī)變量ΔL，ΔH的概率偏差BΔL，BΔH也稱為公算偏差。公算偏差BΔL，BΔH對稱于散布中心，落點(diǎn)出現(xiàn)于其中的概率等于0.5區(qū)間長度的一半，即

P{|ΔL|

(5)

P{|ΔH|

(6)

根據(jù)拉普拉斯函數(shù)

(7)

則有

(8)

(9)

由拉普拉斯表可知[4]

(10)

(11)

2.3 圓概率偏差

圓概率偏差(Circular Error Probable，CEP)是以散布中心為圓心，以R為半徑畫圓，飛行器落在該圓內(nèi)的概率為50%，此R亦稱為半數(shù)必中圓半徑。

滿足下式的R即為CEP

P=

=0.5

(12)

在點(diǎn)目標(biāo)假設(shè)的條件下，以瞄準(zhǔn)點(diǎn)為圓心，假設(shè)落點(diǎn)偏差服從正態(tài)分布且縱橫向獨(dú)立，即ρ=0，則CEP可表示為[5-8]

=0.5

(13)

2.4 指標(biāo)體系相互關(guān)系

當(dāng)落點(diǎn)散布具有圓散布特性，即

(14)

則有[9]

(15)

進(jìn)而有

CEP=1.177 4σ=1.745 6B

(16)

式(16)為圓散布情況下圓概率偏差CEP、均方根誤差σ和概率偏差B之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系。

在滿足一定計(jì)算精度的情況下，為快速計(jì)算CEP，可建立CEP的擬合公式[10-11]。通過數(shù)值計(jì)算確定CEP與σΔL，σΔH的擬合關(guān)系如下

CEP=

(17)

式中

σmin=min(σΔL,σΔH)
σmax=max(σΔL,σΔH)

(18)

CEP與σmin/σmax的關(guān)系如圖3所示。圖中紅色實(shí)線為σmin/σmax∈(0，1)時(shí)CEP/σmax與σmin/σmax的關(guān)系曲線，藍(lán)色虛線為σmin/σmax∈(0，0.3)時(shí)采用線性擬合公式CEP=0.562σmax+0.615σmin所得的CEP/σmax與σmin/σmax的關(guān)系曲線。

圖3 CEP與σmin/σmax關(guān)系曲線圖Fig.3 The relationship between CEP and σmin/σmax

從圖3可見，在0<σmin/σmax≤0.3時(shí)，采用線性擬合公式較采用二次曲線擬合公式會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，且隨著σmin/σmax減小，計(jì)算誤差增大，最大時(shí)誤差可達(dá)17%。因此為準(zhǔn)確表征CEP，應(yīng)采用分段擬合公式，即在0<σmin/σmax≤0.3時(shí)采用二次曲線擬合公式，在0.3<σmin/σmax<1時(shí)采用線性擬合公式。

CEP與概率偏差的擬合關(guān)系如下

CEP=

(19)

式中

Bmin=min(BΔL,BΔH)
Bmax=max(BΔL,BΔH)

(20)

CEP與Bmin/Bmax的關(guān)系如圖4所示。圖中紅色實(shí)線為Bmin/Bmax∈(0，1)時(shí)CEP/Bmax與Bmin/Bmax的關(guān)系曲線，藍(lán)色虛線為Bmin/Bmax∈(0，0.3)時(shí)采用線性擬合公式CEP=0.833 2Bmax+0.911 8Bmin所得的CEP/Bmax與Bmin/Bmax的關(guān)系曲線。

圖4 CEP與Bmin/Bmax關(guān)系曲線圖Fig.4 The relationship between CEP and Bmin/Bmax

從圖4可見，在0

3 結(jié)論

本文首先給出了點(diǎn)目標(biāo)假設(shè)下均方根誤差、概率偏差和圓概率偏差的定義和計(jì)算公式，然后通過理論推導(dǎo)和數(shù)值計(jì)算給出了二維精度指標(biāo)相互轉(zhuǎn)換的擬合公式，實(shí)現(xiàn)二維精度的快速評估計(jì)算。