張亞茹 郭 輝 孫玲莉 汪熙婷 程 乾

（上海工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院 上海 201620）

1 引言

聲子晶體由人工復(fù)合材料周期性排布而成，具有獨(dú)特的阻擋某一特殊頻段波傳播的能力［1～5］。這一特殊頻段稱之為帶隙。帶隙特性與組成聲子晶體的材料參數(shù)，結(jié)構(gòu)幾何尺寸和元胞拓?fù)溆忻懿豢煞值年P(guān)系。為了最大程度挖掘帶隙特性，科研人員開(kāi)展了一系列聲子晶體拓?fù)鋬?yōu)化研究［6～10］。

目前關(guān)于聲子晶體元胞拓?fù)鋬?yōu)化的研究工作主要集中于離散像素單元策略，即將聲子晶體元胞離散成為N*N 個(gè)像素單元，通過(guò)優(yōu)化算法（遺傳算法［6～7］，雙向進(jìn)化結(jié)構(gòu)演化算法［8］等）確定各像素單元的材料屬性，進(jìn)而確定元胞拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。在像素型結(jié)構(gòu)優(yōu)化工作中，易出現(xiàn)以下幾個(gè)問(wèn)題：1）優(yōu)化過(guò)程中易出現(xiàn)棋盤(pán)格模式和孤島現(xiàn)象，導(dǎo)致優(yōu)化過(guò)程失穩(wěn)或優(yōu)化結(jié)構(gòu)不具備實(shí)際意義；2）像素單元尺寸過(guò)大導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)構(gòu)邊界粗糙，單元尺寸過(guò)小則會(huì)顯著降低優(yōu)化效率，且微觀結(jié)構(gòu)不易制備；3）基于離散單元策略的優(yōu)化結(jié)構(gòu)，因其隱式參數(shù)特性，無(wú)法直接獲取聲子晶體元胞拓?fù)鋮?shù)，難以在CAD 軟件中建模和分析。

為了解決上述問(wèn)題，本文開(kāi)展了基于可移動(dòng)形變組件法［11～14］的聲子晶體顯式結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化研究。基于若干個(gè)可自由移動(dòng)伸縮變化的組件，組成元胞拓?fù)?，以?shí)現(xiàn)利用構(gòu)件幾何位置傾角參數(shù)顯式表征元胞拓?fù)鋮?shù)的目的。將元胞拓?fù)滢D(zhuǎn)化為數(shù)值表達(dá)后，結(jié)合移動(dòng)漸近線法對(duì)構(gòu)件幾何位置參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。針對(duì)面內(nèi)模式和面外模式，開(kāi)展了元胞拓?fù)鋬?yōu)化工作。顯式表征結(jié)構(gòu)拓?fù)?，有利于聲子晶體建模分析以及加工制備，對(duì)于促進(jìn)聲子晶體的工程應(yīng)用具有一定的意義和價(jià)值。

2 優(yōu)化模型的建立

2.1 能帶結(jié)構(gòu)的計(jì)算

當(dāng)彈性波在均質(zhì)板中傳播時(shí)，其波動(dòng)方程如下所示：

式中，ρ為介質(zhì)密度，u為位移向量，λ和μ是材料拉梅常數(shù)，r是位置矢量。

由于結(jié)構(gòu)的周期性，結(jié)構(gòu)位移可以用以下公式來(lái)描述：

其中k是布洛赫波矢，為便于計(jì)算其在第一布里淵區(qū)的取值，uk(r)是具有與結(jié)構(gòu)同等周期的位移函數(shù)。

采用有限元法進(jìn)行能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算，對(duì)于任意離散單元可以得到如下動(dòng)力學(xué)方程：

其中，是結(jié)構(gòu)全局剛度矩陣，是結(jié)構(gòu)全局質(zhì)量矩陣，u是結(jié)構(gòu)位移幅值矩陣。

將布洛赫波矢k繞不可約布里淵區(qū)邊界掃掠，則可以得到各布洛赫波矢下對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)共振頻率，即得到能帶結(jié)構(gòu)圖。

2.2 可移動(dòng)形變組件法

可移動(dòng)形變組件法中元胞拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)將由以下公式確定：

其中φs(x)是構(gòu)件的拓?fù)涿枋龇匠?，D為結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)域，Ωs為結(jié)構(gòu)內(nèi)部，?Ωs為結(jié)構(gòu)內(nèi)部邊界。其中，φs(x)=max(φ1(x)，…，φn(x))，φi(x)為第i 個(gè)構(gòu)件的拓?fù)涿枋龇匠獭Ｍ負(fù)涿枋龊瘮?shù)是利用水平集算法的思想，用數(shù)個(gè)關(guān)鍵的參數(shù)來(lái)表達(dá)構(gòu)件拓?fù)湫螤畹暮瘮?shù)。在本文中，構(gòu)件的拓?fù)涿枋龊瘮?shù)為

其中，x0和y0為構(gòu)件中心點(diǎn)的坐標(biāo)，L 和t 為構(gòu)件的寬度和高度，θ為構(gòu)件的軸線與水平線的夾角。m 是一個(gè)自定義參數(shù)，在本文中m 值為6。在本文中，采用矩形構(gòu)件建模，于是采用可移動(dòng)形變組件法來(lái)實(shí)現(xiàn)聲子晶體帶隙優(yōu)化可以被表示為

其中，di代表第i 個(gè)設(shè)計(jì)變量di=[xi，yi，Li，ti，θi]，g(d) 為結(jié)構(gòu)優(yōu)化過(guò)程中用來(lái)約束設(shè)計(jì)的約束函數(shù)。在這篇論文中，采用四節(jié)點(diǎn)等參單元來(lái)離散聲子晶體元胞結(jié)構(gòu)。在優(yōu)化過(guò)程中，構(gòu)件的結(jié)合信息作為設(shè)計(jì)變量一直在變化，不斷的更新網(wǎng)格將會(huì)使構(gòu)造全局矩陣的過(guò)程變得更加復(fù)雜。因此，采用固定網(wǎng)格法［14］來(lái)劃分結(jié)構(gòu)。對(duì)于任意一個(gè)單元，只要它的四個(gè)節(jié)點(diǎn)的拓?fù)涿枋鲋凳且阎?，則這個(gè)單元的彈性模量可以被插值為

其中，E 為材料的彈性模量，H 為heaviside 函數(shù)，φei為這個(gè)單元四個(gè)節(jié)點(diǎn)上的拓?fù)涿枋鲋担琿為常數(shù)，在本文中取2。為了縮小誤差以使H函數(shù)具有實(shí)際意義，H函數(shù)為以下公式：

ε是控制歸一化幅值的參數(shù)，α是一個(gè)極小的數(shù)值，來(lái)確保整體剛度矩陣的非奇異性。建立了有限元分析模型之后，采用移動(dòng)漸近線法［16］進(jìn)行設(shè)計(jì)變量數(shù)值優(yōu)化運(yùn)算。為了便于移動(dòng)漸近線法的使用，目標(biāo)函數(shù)可以被等效替換為

于是，目標(biāo)函數(shù)對(duì)于各個(gè)設(shè)計(jì)變量的靈敏度則為

其中：

其中位移矩陣已經(jīng)經(jīng)過(guò)歸一化處理。經(jīng)過(guò)上述計(jì)算后，則可得到各設(shè)計(jì)變量的靈敏度，結(jié)合移動(dòng)漸近線法，即可實(shí)現(xiàn)聲子晶體元胞顯式拓?fù)鋬?yōu)化。

3 結(jié)果與討論

在本文中，使用鉛和硅橡膠來(lái)設(shè)計(jì)聲子晶體拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，具體材料參數(shù)如表1 所示。在利用可移動(dòng)形變組件法進(jìn)行元胞拓?fù)滹@式優(yōu)化中，合理選擇初始結(jié)構(gòu)對(duì)于優(yōu)化效果及優(yōu)化效率具有一定的影響。在優(yōu)化初始階段，建立如下圖所示的網(wǎng)狀拓?fù)涑牧稀?/p>

表1 材料參數(shù)屬性

圖1 初始元胞拓?fù)?/p>

在面內(nèi)模式下，由于高對(duì)稱點(diǎn)Γ 的存在，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)不可能在第一能帶和第二能帶之間打開(kāi)帶隙。為此，在面內(nèi)模式下，拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)函設(shè)置為第三帶隙相對(duì)帶寬：

面外模式下優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)設(shè)置為：

經(jīng)優(yōu)化后，可得到如下圖所示的最優(yōu)結(jié)構(gòu)及其能帶結(jié)構(gòu)圖。從最優(yōu)結(jié)構(gòu)中可以看出，經(jīng)對(duì)稱展開(kāi)后，該元胞結(jié)構(gòu)中間部分存在一個(gè)“日”字形的由鉛組成的散射體，其中左右兩側(cè)較粗，上下兩側(cè)較細(xì)，并且結(jié)構(gòu)中心部分存在一個(gè)較小的硅橡膠孔洞。從其能帶結(jié)構(gòu)圖中可以看出，該結(jié)構(gòu)能夠在373.3Hz～807.1Hz 處打開(kāi)帶隙，相對(duì)帶寬為73.5%。由于z 向振動(dòng)的特殊性，結(jié)構(gòu)能在第一能帶和第二能帶之間打開(kāi)帶隙。從結(jié)構(gòu)圖中可以看出，所有構(gòu)件都聚集在設(shè)計(jì)域的一角。繪制該結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)圖，可以看出，該結(jié)構(gòu)在392.74Hz～1643.5Hz處具有帶隙，其相對(duì)帶寬122.8%。

圖2 優(yōu)化結(jié)構(gòu)及其對(duì)應(yīng)能帶結(jié)構(gòu)圖

為了驗(yàn)證可移動(dòng)形變組件法優(yōu)化的有效性，針對(duì)面內(nèi)模式第三帶隙優(yōu)化結(jié)構(gòu)構(gòu)建傳輸特性損耗模型。具體模型如圖3所示。

圖3 傳輸特性損耗模型

針對(duì)面內(nèi)模態(tài)最優(yōu)結(jié)構(gòu)模型，在結(jié)構(gòu)左側(cè)施加機(jī)理，并在模型右側(cè)提取加速度值，根據(jù)兩者比值繪制傳輸特性譜，所得傳輸特性曲線譜如圖4所示。

圖4 傳輸特性曲線譜

從圖4 中可以看出，傳輸特性譜在對(duì)應(yīng)的帶隙區(qū)間內(nèi)有明顯的下降趨勢(shì)，即表明結(jié)構(gòu)在對(duì)應(yīng)的頻段處具有良好的彈性波衰減能力，驗(yàn)證了優(yōu)化方法的有效性。

4 結(jié)語(yǔ)

本文采用可移動(dòng)形變組件法，開(kāi)展了聲子晶體元胞拓?fù)鋬?yōu)化工作。相比于遺傳算法，雙向進(jìn)化結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法等優(yōu)化算法，基于靈敏度分析策略的可移動(dòng)形變組件法能大幅提高優(yōu)化效率，且優(yōu)化效果良好。針對(duì)聲子晶體元胞面內(nèi)模態(tài)第三帶隙和面外模式第一帶隙開(kāi)展優(yōu)化工作，分別獲得了373.3Hz～807.1Hz 和392.74Hz～1643.5Hz 的帶隙，其相對(duì)帶寬值分別為73.5%和122.8%。相比于其他優(yōu)化算法，可移動(dòng)形變組件法具有優(yōu)化效率高，顯式拓?fù)鋮?shù)，便于建模和分析等優(yōu)點(diǎn)，具有良好的理論意義和工程應(yīng)用價(jià)值。