駱成路,王群京,4,武思傲,李國(guó)麗

(1. 安徽大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院,安徽 合肥 230601;2. 高節(jié)能電機(jī)及控制技術(shù)國(guó)家地方聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室,安徽 合肥 230601;3. 工業(yè)節(jié)電與用電安全安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,安徽 合肥 230601;4. 工業(yè)節(jié)電與電能質(zhì)量控制安徽省級(jí)協(xié)同創(chuàng)新中心,安徽 合肥230601)

1 引言

永磁球形電機(jī)是一種能夠?qū)崿F(xiàn)三自由度運(yùn)動(dòng)的電磁執(zhí)行裝置,它因具有體積小、精度高、結(jié)構(gòu)新穎的優(yōu)點(diǎn)而備受諸多領(lǐng)域所關(guān)注[1-3]。

在球形電機(jī)軌跡規(guī)劃領(lǐng)域,天津理工大學(xué)的吳鳳英等人利用不同算法針對(duì)轉(zhuǎn)子在給定軌跡下的最短運(yùn)行時(shí)間和加速度沖擊做了運(yùn)動(dòng)學(xué)上的優(yōu)化[4,5],但是其提出的算法并未考慮電機(jī)轉(zhuǎn)子體動(dòng)力學(xué)因素對(duì)其運(yùn)行軌跡造成的影響。安徽大學(xué)的李紳采用三次樣條插值的方法實(shí)現(xiàn)了球形電機(jī)的連續(xù)軌跡規(guī)劃,并利用基于正弦加速度的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)規(guī)劃算法推導(dǎo)出對(duì)應(yīng)的通電控制策略[6],但該策略并未考慮轉(zhuǎn)子運(yùn)行時(shí)的速度特性。Cheon H, Wang L等人研究了多自由度機(jī)器人與機(jī)械臂在三維空間中的軌跡規(guī)劃算法[7,8],為球形電機(jī)的軌跡規(guī)劃提供了一定理論基礎(chǔ)。

S形曲線的軌跡規(guī)劃算法最早應(yīng)用在數(shù)控機(jī)床的控制中,該算法最顯著的特點(diǎn)是對(duì)應(yīng)的加減速曲線形如字母S形的走勢(shì),平滑的速度規(guī)劃方式使得系統(tǒng)在運(yùn)行時(shí)更加具有柔性,但其階躍變化的加加速度仍然會(huì)對(duì)系統(tǒng)造成一定的沖擊,從而引起機(jī)床的振動(dòng)影響控制精度[9]。在S形曲線的應(yīng)用領(lǐng)域,Chen Qizhi,Zhe Liu等人推導(dǎo)了S形曲線的加減速原理,利用S形曲線平滑連續(xù)的特性實(shí)現(xiàn)了其在數(shù)控系統(tǒng)領(lǐng)域中的高精度控制[10,11]。Fang, Yi和Fang, SX利用分段連續(xù)的加加速度算法改進(jìn)了S形加減速曲線,進(jìn)而提高了工業(yè)機(jī)器人在運(yùn)行過(guò)程中的柔性[12,13],為改進(jìn)S形曲線在球形電機(jī)中的應(yīng)用提供了理論依據(jù)。

本文提出了的軌跡規(guī)劃方法創(chuàng)新點(diǎn)在于,將S形曲線與球形電機(jī)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型結(jié)合,相比與文獻(xiàn)[4,5],實(shí)現(xiàn)了其在球形電機(jī)動(dòng)力學(xué)層面上的應(yīng)用;利用正弦函數(shù)無(wú)限可導(dǎo)的特點(diǎn)擬合改進(jìn)S形曲線,相比與文獻(xiàn)[9],使球形電機(jī)輸出速度呈現(xiàn)S形的平滑加減速趨勢(shì),提高了球形電機(jī)在運(yùn)行時(shí)的穩(wěn)定性。

2 永磁球形電機(jī)的結(jié)構(gòu)與控制轉(zhuǎn)矩描述

2.1 永磁球形電機(jī)的結(jié)構(gòu)

本文所研究的球形電機(jī)具體結(jié)構(gòu)如圖1所示[14],該電機(jī)本體主要由定子和球狀轉(zhuǎn)子組成,其中定子線圈結(jié)構(gòu)分布為2/24方式,即上下兩層定子外殼各內(nèi)嵌12個(gè)線圈,由12塊驅(qū)動(dòng)電路板單獨(dú)供電;轉(zhuǎn)子體上永磁體分布為4/40方式,且永磁體由釹鐵硼材料加工而成,二者交替排列于轉(zhuǎn)子體上。當(dāng)不同序列線圈通電后,線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)與永磁體的磁場(chǎng)相互作用產(chǎn)生不同方向的控制轉(zhuǎn)矩,驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)子實(shí)現(xiàn)三自由度運(yùn)動(dòng)。

圖1 永磁球形電機(jī)本體結(jié)構(gòu)圖

2.2 永磁球形電機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型

(1)

由剛體坐標(biāo)變換原理與拉格朗日第二方程可得球形電機(jī)的動(dòng)力學(xué)方程為

(2)

(3)

其中Jx,Jy,Jz是轉(zhuǎn)子體在X、Y、Z軸方向上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,將轉(zhuǎn)子模型導(dǎo)入ADAMS軟件中經(jīng)計(jì)算其三軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量滿足

(4)

于是離心和哥氏力項(xiàng)可表示為

(5)

2.3 基于坐標(biāo)分解的永磁球形電機(jī)控制轉(zhuǎn)矩描述

根據(jù)剛體在空間中的坐標(biāo)變換原理,本文采用XYZ的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)次序描述球形電機(jī)末端位置的姿態(tài)角,即在三維坐標(biāo)空間中轉(zhuǎn)子輸出軸末端A點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)約束范圍內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)φ角到B點(diǎn)都可以視為其先繞X軸旋轉(zhuǎn)α角度到A1(YOZ平面內(nèi)),再繞Y軸旋轉(zhuǎn)β角度到A2(XOZ平面內(nèi)),最后再繞Z軸旋轉(zhuǎn)γ角度到B點(diǎn)(XOY平面內(nèi))。具體旋轉(zhuǎn)角φ的分解如圖2所示。且令A(yù)的坐標(biāo)為(xA,yA,zA),B的坐標(biāo)為(xB,yB,zB),R為球心到輸出軸末端的距離(本電機(jī)中R=105mm)。

圖2 旋轉(zhuǎn)角φ的坐標(biāo)分解

經(jīng)過(guò)三次坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換,并通過(guò)轉(zhuǎn)子末端姿態(tài)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解,即可得到輸出軸末端空間直角坐標(biāo)與對(duì)應(yīng)歐拉旋轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系為

(6)

此坐標(biāo)分解方法有利于求解球形電機(jī)的控制轉(zhuǎn)矩,具體分析如下。當(dāng)轉(zhuǎn)子繞X軸由A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至A1點(diǎn)時(shí),此時(shí)旋轉(zhuǎn)角β與γ及其角速度、角加速度均為零,則有

(7)

將其帶入式(2),可得X軸方向上的控制轉(zhuǎn)矩為

(8)

同理可求出輸出軸末端由A1旋轉(zhuǎn)至A2,由A2旋轉(zhuǎn)至B時(shí)的控制轉(zhuǎn)矩分別為

Ty=TA1-A2=[0,J*,0]T

(9)

(10)

因此由式(8)、(9)、(10)可知,對(duì)球形電機(jī)軌跡規(guī)劃的問(wèn)題可視為對(duì)已知運(yùn)行路徑的加速度進(jìn)行規(guī)劃。

3 平滑S形曲線的永磁球形電機(jī)軌跡規(guī)劃

3.1 S形曲線的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性及規(guī)劃策略設(shè)計(jì)

S形加減速曲線的由來(lái)是因?yàn)殡姍C(jī)在加減速階段的速度曲線呈現(xiàn)為S形,典型S形曲線在運(yùn)行過(guò)程中分為7段:加加速段(I)、均加速段(II)、減加速段(III)、勻速段(IV)、加減速段(V)、勻減速段(VI)和減減速段(VII)。現(xiàn)給出7段S形曲線的加速度方程

(11)

(12)

再次積分得到完整S形曲線對(duì)應(yīng)的角位移:

(13)

針對(duì)球形電機(jī)的控制轉(zhuǎn)矩描述,設(shè)計(jì)適用于其動(dòng)力學(xué)方程的速度規(guī)劃策略為:

1) 轉(zhuǎn)子啟停時(shí)刻速度均為零,即加速階段速度由0加速到最大值曲線呈現(xiàn)為S形,減速階段由最大值減速到0亦為S形;

2) 為最大程度減小控制轉(zhuǎn)矩的不對(duì)稱性對(duì)系統(tǒng)造成的影響,令每個(gè)階段的加減速持續(xù)時(shí)長(zhǎng)相等;

3) 由式(10)可知,加速度為0時(shí)控制轉(zhuǎn)矩也為零,因此對(duì)球形電機(jī)的動(dòng)力學(xué)規(guī)劃不考慮勻速階段。

考慮上述約束,設(shè)一個(gè)規(guī)劃周期的時(shí)長(zhǎng)為T(mén),總角位移為ω,則在該規(guī)劃策略約束下的S形曲線對(duì)應(yīng)的加速度方程為

(14)

將式(14)帶入轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程,即可得到角位移ω與規(guī)劃周期T約束下的三軸控制轉(zhuǎn)矩。

3.2 正弦函數(shù)擬合改進(jìn)S形速度曲線

對(duì)式(11)求導(dǎo)可得S形曲線的加加速度方程,經(jīng)分析該規(guī)劃方式下加加速度的值一直在Jmax,0,-Jmax之間呈階躍形變化,當(dāng)系統(tǒng)加減速形式發(fā)生轉(zhuǎn)變時(shí),此形狀的加加速度會(huì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生沖擊,使得系統(tǒng)不具有柔性,這在高精度控制系統(tǒng)中是不被允許的[15]。正弦函數(shù)本身具有無(wú)限可導(dǎo)的特點(diǎn),若將其用于擬合改進(jìn)原S形曲線的速度參數(shù),則不僅使得轉(zhuǎn)子輸出角速度仍然為S形,且經(jīng)過(guò)二次求導(dǎo)后的加加速度仍然可導(dǎo),即不僅消除了加加速度的階躍現(xiàn)象,而且使得系統(tǒng)能夠更加穩(wěn)定的運(yùn)行。設(shè)擬合S形速度曲線的多階正弦函數(shù)為

(15)

其中ai,bi,ci為待求擬合參數(shù),為防止過(guò)擬合現(xiàn)象,設(shè)擬合階數(shù)為j(j=1,2,3)。

現(xiàn)根據(jù)式(14)設(shè)計(jì)輸出軸末端由原始點(diǎn)在5秒內(nèi)沿X軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)20度的動(dòng)力學(xué)方案,以確定適用于改進(jìn)S形曲線的擬合階數(shù),進(jìn)而規(guī)劃更為復(fù)雜的軌跡。將運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的角速度與時(shí)間的信息提取并進(jìn)行擬合得到各階擬合曲線及擬合誤差曲線如圖3、圖4所示。其中圖4中的Errorj2與Errorj3分別為j=2與j=3時(shí)的擬合數(shù)據(jù)與源數(shù)據(jù)的差值。

圖3 多階正弦函數(shù)擬合曲線圖

圖4 擬合誤差曲線圖

由圖3可知,j為1時(shí)對(duì)應(yīng)的擬合速度曲線不滿足S形的加減速趨勢(shì),j為2,3時(shí)雖已經(jīng)達(dá)到S形的加減速效果,然而對(duì)比圖4可知,j為3時(shí)的最大擬合誤差較j為2時(shí)的大,且總體趨勢(shì)不如j=2時(shí)的誤差波動(dòng)范圍小。于是選擇j為2時(shí)的擬合階數(shù),作為改進(jìn)后的速度規(guī)劃方式,結(jié)合式(15),改進(jìn)后的角速度輸入信號(hào)為

(16)

對(duì)式(16)求導(dǎo)可得對(duì)應(yīng)的加速度方程

(17)

將式(17)帶入球形電機(jī)動(dòng)力學(xué)方程即可求出改進(jìn)后各旋轉(zhuǎn)角所對(duì)應(yīng)的控制轉(zhuǎn)矩。

4 動(dòng)力學(xué)仿真驗(yàn)證

本文仿真驗(yàn)證平臺(tái)選用ADAMS動(dòng)力學(xué)仿真軟件,首先將轉(zhuǎn)子體模型以一定格式導(dǎo)入ADAMS/VIEW模塊進(jìn)行可視化仿真,觀察規(guī)劃路徑;其次在Post-processing 后處理模塊導(dǎo)出轉(zhuǎn)子輸出角速度、角加加速度數(shù)據(jù)并進(jìn)行分析。現(xiàn)給定球形電機(jī)末端關(guān)鍵點(diǎn)位置信息如表1所示,旋轉(zhuǎn)次序?yàn)锳-B-C-D。

表1 關(guān)鍵點(diǎn)空間直角坐標(biāo)信息

將上述關(guān)鍵點(diǎn)之間的歐拉旋轉(zhuǎn)角求解出后,設(shè)每?jī)牲c(diǎn)之間運(yùn)行時(shí)間為2s,總時(shí)長(zhǎng)為6s。經(jīng)式(14)、(17)可求出改進(jìn)前后軌跡規(guī)劃策略所對(duì)應(yīng)的加速度方程,進(jìn)而得到兩種方式的控制轉(zhuǎn)矩如圖5所示。其中S-TX、S-TY、S-TZ與SinS-TX、SinS-TY、SinS-TZ分別表示改進(jìn)前與經(jīng)正弦函數(shù)擬合改進(jìn)后轉(zhuǎn)子體在X、Y、Z軸方向上的控制轉(zhuǎn)矩。

圖5 兩種方式的控制轉(zhuǎn)矩圖

由上圖可以看出,原S形曲線對(duì)應(yīng)的控制轉(zhuǎn)矩為梯形,因此在轉(zhuǎn)子加減速切換時(shí)刻會(huì)有轉(zhuǎn)矩拐點(diǎn)的出現(xiàn),不利于系統(tǒng)的流暢運(yùn)行。然而經(jīng)過(guò)改進(jìn)后的轉(zhuǎn)矩曲線可以看出,二階正弦函數(shù)的改進(jìn)方式平滑了原曲線的拐點(diǎn),有利于轉(zhuǎn)子加減速方式的平滑切換。將上圖中的控制轉(zhuǎn)矩輸入至ADAMS軟件建立的永磁球形電機(jī)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)虛擬樣機(jī)中,得到表1對(duì)應(yīng)的仿真軌跡曲線如圖6所示。

圖6 動(dòng)力學(xué)仿真軌跡

為進(jìn)一步分析改進(jìn)前后轉(zhuǎn)子末端的速度特性,經(jīng)ADAMS后處理模塊導(dǎo)出該軌跡的速度曲線如圖7所示,圖中S-VX、S-VY、S-VZ與SinS-VX、SinS-VY、SinS-VZ分別表示改進(jìn)前與經(jīng)正弦函數(shù)擬合改進(jìn)后轉(zhuǎn)子體在X、Y、Z軸方向上的輸出角速度。

圖7 輸出軸末端角速度曲線

可以看出在每2s的規(guī)劃周期內(nèi),無(wú)論是改進(jìn)前還是改進(jìn)后,輸出軸末端速度在加速和減速階段均呈現(xiàn)為S形的趨勢(shì),且運(yùn)行過(guò)程符合本文所設(shè)計(jì)的速度規(guī)劃策略。再者由于本文采用二階正弦擬合的方式改進(jìn)原S形曲線,由圖7知,改進(jìn)后速度曲線與原S形曲線幾近重合,說(shuō)明擬合改進(jìn)的結(jié)果是正確的。為進(jìn)一步體現(xiàn)改進(jìn)后的方式對(duì)轉(zhuǎn)子運(yùn)行過(guò)程中沖擊的優(yōu)化,現(xiàn)導(dǎo)出轉(zhuǎn)子末端加加速度曲線如圖8所示,其中S-JX、S-JY、S-JZ與SinS-JX、SinS-JY、SinS-JZ分別表示原S形曲線與經(jīng)正弦函數(shù)擬合改進(jìn)后轉(zhuǎn)子體在X、Y、Z軸方向上的輸出角加加速度。

圖8 輸出軸末端角加加速度曲線

角加加速度反映了系統(tǒng)的沖擊特性,在圖7的每個(gè)規(guī)劃周期內(nèi),原S形曲線對(duì)應(yīng)的階躍形狀的加加速度被改進(jìn)后的速度規(guī)劃策略所優(yōu)化,使得轉(zhuǎn)子體在運(yùn)行過(guò)程中更加具有柔性,保證了球形電機(jī)的平穩(wěn)運(yùn)行。此外考慮到剛體的建模誤差與改進(jìn)算法的擬合誤差,設(shè)ErrorX、ErrorY、ErrorZ分別為轉(zhuǎn)子體在X、Y、Z軸方向上的角位移仿真數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)的差值,記為角位移誤差(Error),經(jīng)計(jì)算分析其誤差曲線如圖9所示。

圖9 輸出軸末端角位移誤差曲線

由圖9可知即使存在建模誤差與擬合誤差,然而在整個(gè)規(guī)劃周期內(nèi),第5秒時(shí)達(dá)到的最大誤差也不足0.01rad,說(shuō)明了本文提出改進(jìn)算法的可行性。

5 結(jié)論

本文提出了一種基于平滑S形速度曲線的永磁球形電機(jī)軌跡規(guī)劃方法,在控制轉(zhuǎn)矩、角速度、角加加速度和角位移誤差四個(gè)方面進(jìn)行改進(jìn)前后軌跡規(guī)劃的仿真分析,可以得到以下結(jié)論:

1) 利用二階正弦函數(shù)改進(jìn)后軌跡規(guī)劃算法獲得了較為平滑的控制轉(zhuǎn)矩和加減速度曲線。實(shí)現(xiàn)了速度的平滑輸出。

2) 解決了原S形速度曲線存在的加加速度階躍現(xiàn)象的問(wèn)題,減小了對(duì)系統(tǒng)造成的沖擊。

3) 通過(guò)誤差分析得到誤差控制在0.01rad以下,證明了此算法的可行性。

通過(guò)對(duì)特定軌跡的仿真分析,驗(yàn)證了本文所提出軌跡規(guī)劃方案的有效性與優(yōu)越性,為球形電機(jī)的高精度控制奠定了基礎(chǔ)。