吳奕東，李妮妮，曹偉，劉祎晗

1.華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院，廣東廣州 510641；2.廣州機(jī)械科學(xué)研究院有限公司，廣東廣州 510535；3.中汽檢測(cè)技術(shù)有限公司，廣東廣州 510535

0 引言

對(duì)于機(jī)械構(gòu)件的可靠性分析，通常采用威布爾分布來描述機(jī)械產(chǎn)品的壽命分布情況[1]。因?yàn)闄C(jī)械構(gòu)件的制造工藝、加載工況、構(gòu)件的初始缺陷及材料的疲勞性質(zhì)等都是具有不確定性的隨機(jī)變量，所以可以在統(tǒng)計(jì)學(xué)的層面上利用威布爾分布模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)件的疲勞壽命變化規(guī)律的分析[2-3]。

根據(jù)待定系數(shù)形式的不同，威布爾分布可以分為雙參數(shù)威布爾分布[4]和三參數(shù)威布爾分布[5-6]。雙參數(shù)威布爾分布形式簡(jiǎn)單，參數(shù)較易確定。張新峰[7]在汽車底盤件的壽命評(píng)估中使用了雙參數(shù)威布爾分布，但該分布模型不能描述出非零最小安全壽命且預(yù)測(cè)精度也不夠高。而三參數(shù)威布爾分布被廣泛應(yīng)用于描述疲勞壽命分布中，如軸承失效分布[8-9]和數(shù)控機(jī)床故障分布[10]等，但在汽車底盤件的疲勞耐久方面尚未有相關(guān)研究。三參數(shù)威布爾分布的3個(gè)參數(shù)分別為形狀參數(shù)、尺度參數(shù)和位置參數(shù)，其中位置參數(shù)的物理意義是最小疲勞壽命，這是與雙參數(shù)威布爾分布的不同之處。威布爾分布3個(gè)參數(shù)的確定過程比較復(fù)雜且要求具有較高的擬合精度。

目前，威布爾分布的參數(shù)確定方法主要有統(tǒng)計(jì)量估計(jì)法[11]、灰度法[12-13]、極大似然估計(jì)法[14-15]和右逼近估計(jì)法[16-19]等。不同參數(shù)估計(jì)法的估算結(jié)果可能會(huì)存在較大差異，需要根據(jù)實(shí)際的疲勞壽命分布情況選用合適的參數(shù)估計(jì)方法。但上述參數(shù)估計(jì)方法均受初始迭代值和樣本容量的影響較大，在參數(shù)估計(jì)精度方面還有一定的提升空間。

為了減少參數(shù)估計(jì)過程中外部信息的影響，可以在迭代過程中引入遺傳算法。遺傳算法是一種自適應(yīng)的、智能的搜索技術(shù)，具有較強(qiáng)的全局優(yōu)化能力，被廣泛應(yīng)用在復(fù)雜的非線性優(yōu)化問題中[20]?；趥鹘y(tǒng)的威布爾參數(shù)估計(jì)方法建立合理遺傳算法目標(biāo)函數(shù)，并利用種群中每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)性函數(shù)值進(jìn)行搜索，可以有效避免初始值選取不合理的問題，提高參數(shù)估計(jì)的精度。

本文基于文獻(xiàn)[7]中提供的轉(zhuǎn)向節(jié)疲勞壽命情況對(duì)疲勞樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行擴(kuò)充，分別用右逼近估計(jì)法和遺傳算法進(jìn)行三參數(shù)威布爾分布的參數(shù)估計(jì)。通過對(duì)比兩種方法估算得到的參數(shù)精度情況，驗(yàn)證參數(shù)估計(jì)方法的準(zhǔn)確性和實(shí)用性，為汽車底盤零部件疲勞可靠性評(píng)價(jià)方法提供依據(jù)。

1 汽車底盤件的疲勞壽命分布情況

根據(jù)文獻(xiàn)[7]的轉(zhuǎn)向節(jié)疲勞臺(tái)架試驗(yàn)結(jié)果，其中10件樣品的試驗(yàn)壽命情況見表1。

表1 文獻(xiàn)[7]的轉(zhuǎn)向節(jié)10件樣品的試驗(yàn)壽命情況 單位:萬次

原測(cè)試數(shù)據(jù)樣本數(shù)太少，一定程度上影響了參數(shù)估計(jì)的精度。因此，需要擴(kuò)大數(shù)據(jù)樣本量。利用三參數(shù)威布爾分布函數(shù)來描述轉(zhuǎn)向節(jié)的疲勞壽命分布情況，其概率密度函數(shù)表達(dá)式為：

(1)

式中：Ni為轉(zhuǎn)向節(jié)的疲勞壽命；β為形狀參數(shù)；Na為尺寸參數(shù)；N0為位置參數(shù)。

令形狀參數(shù)β=4.640 1、尺寸參數(shù)Na=167.73、位置參數(shù)N0=77.23產(chǎn)生100個(gè)符合三參數(shù)威布爾分布的隨機(jī)數(shù)，擴(kuò)充的疲勞壽命樣本數(shù)據(jù)見表2。

表2 擴(kuò)充的疲勞壽命樣本數(shù)據(jù) 單位:萬次

通過與試驗(yàn)得到的轉(zhuǎn)向節(jié)疲勞壽命數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，擴(kuò)充的疲勞壽命樣本數(shù)據(jù)符合原有樣件的壽命分布情況，因此該擴(kuò)充數(shù)據(jù)樣本是合理的。

2 威布爾分布的參數(shù)估計(jì)

2.1 右逼近估計(jì)法估算壽命的威布爾分布參數(shù)

右逼近估計(jì)法基于特定的變換方式把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，進(jìn)而利用最小二乘法進(jìn)行最優(yōu)參數(shù)擬合，通過不斷迭代計(jì)算從右側(cè)逼近最優(yōu)目標(biāo)參數(shù)?；谑?1)，結(jié)構(gòu)件的疲勞壽命分布函數(shù)為：

(2)

式中：F(Ni)為壽命不可靠度。

對(duì)式(2)的三參數(shù)威布爾分布取兩次自然對(duì)數(shù)后，可得到：

(3)

(4)

設(shè)：

(5)

y=ax+b

(6)

(7)

xi和yi的相關(guān)系數(shù)ρ的表達(dá)式為：

(8)

相關(guān)系數(shù)ρ反映了自變量和因變量之間的線性相關(guān)程度，ρ值越大，說明x和y的線性相關(guān)程度越高。取N01=min{Ni}=107.1作為位置參數(shù)N0的初始值，選取計(jì)算步長Δ=0.05N01，依次用N01，N02=N01-Δ,N03=N02-Δ, …,N0k=N0(k-1)-Δ代入式(8)中計(jì)算出對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)ρ={p1,p2, …,pk}。相關(guān)系數(shù)ρ隨位置參數(shù)N0的變化曲線如圖1所示。

圖1 相關(guān)系數(shù)ρ隨位置參數(shù)N0的變化曲線

2.2 基于遺傳算法確定疲勞壽命可靠度的初始估計(jì)值

將疲勞壽命數(shù)據(jù)點(diǎn)代入式(2)，并令威布爾分布中的三參數(shù)作為初始給定參數(shù){N0=77.23，Na=167.73，β=4.640 1}，可通過計(jì)算得到基準(zhǔn)的初始?jí)勖豢煽慷菷B。

(9)

式中：參數(shù)ω和γ是通過遺傳算法確定的待定系數(shù)。

利用θj=(ωj,γj) (j=1, 2, …,m)表示不可靠度初步估計(jì)值中未知參數(shù)組成的向量，建立該未知參數(shù)組合{ωj，γj}估計(jì)方法的數(shù)學(xué)模型為：

min{g(θj)}=

(10)

式中：g(θj)為遺傳算法的目標(biāo)函數(shù)，j=1, 2, …,m。

(11)

圖2 基于基準(zhǔn)威布爾分布參數(shù)的最優(yōu){ωj,γj}

圖3 中位秩和遺傳算法得到的初始?jí)勖豢煽慷扰c基準(zhǔn)的壽命不可靠度的對(duì)比

2.3 基于遺傳算法確定疲勞壽命的威布爾分布三參數(shù)

(12)

式中：p(θj)為遺傳算法的目標(biāo)函數(shù)，j=1, 2, …,m。

遺傳優(yōu)化算法的設(shè)置與第2.2節(jié)中的設(shè)置保持一致。借助優(yōu)化算法可找到一組最優(yōu)的{ωj,γj}，使對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)p(θj)的值最小，并將此時(shí)的{ωj,γj}作為模型中未知參數(shù)的估計(jì)值?；谟冶平ü烙?jì)參數(shù)的最優(yōu) {ωj,γj}如圖4所示，目標(biāo)函數(shù)選取最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的{ωj,γj}={-28.087, -5.668}。通過遺傳算法縮小了初始不可靠度與真實(shí)值的差距，避免了導(dǎo)致迭代算法陷入局部最優(yōu)解的問題。

圖4 基于右逼近法估計(jì)參數(shù)的最優(yōu) {ωj, γj}

后續(xù)基于該參數(shù)組，設(shè)定新的遺傳算法對(duì)最終的威布爾分布三參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。該遺傳算法的種群組成有5個(gè)向量：{ωj,γj,N0j,Naj,βj}。為了使{ωj,γj}下的不可靠度與真實(shí)值更接近，建立未知參數(shù)組合{ωj,γj,N0j,Naj,βj}估計(jì)方法的目標(biāo)函數(shù)為：

min{h(φj)}=

(13)

利用右逼近估計(jì)法的結(jié)果可以知道{ωj,γj}的值大致落在{-28.087, -5.668}附近。以{-28.087, -5.668}的±10%為上下限，設(shè)置種群中ωj和γj的搜索范圍。同時(shí)，設(shè)置遺傳算法種群內(nèi)其他3個(gè)參數(shù)的邊界條件為：

(14)

圖5 疲勞壽命威布爾三參數(shù)的最終估計(jì)結(jié)果

2.4 兩種參數(shù)估計(jì)法的精度對(duì)比

圖6 右逼近估計(jì)法和遺傳算法的壽命不可靠度與基準(zhǔn)的壽命不可靠度的對(duì)比

進(jìn)一步對(duì)比各參數(shù)的估計(jì)精度，各參數(shù)的誤差值計(jì)算公式為：

(15)

兩種參數(shù)估計(jì)法的誤差分析結(jié)果見表3。由表可以發(fā)現(xiàn)，遺傳算法N0的估計(jì)誤差與右逼近估計(jì)法的誤差接近，分別為3.73%和3.55%；遺傳算法β參數(shù)的誤差值有所增大，從0.79%增大到2.48%；但遺傳算法對(duì)Na的估計(jì)誤差從1.57%降低到0.76%。從整體上看，遺傳算法的參數(shù)估計(jì)結(jié)果要優(yōu)于右逼近估計(jì)法，說明此時(shí)尺寸參數(shù)Na對(duì)參數(shù)估計(jì)結(jié)果的影響更大。

表3 兩種參數(shù)估計(jì)法的誤差分析結(jié)果

3 結(jié)論

通過對(duì)文獻(xiàn)提供的汽車轉(zhuǎn)向節(jié)疲勞失效數(shù)據(jù)進(jìn)行樣本量擴(kuò)充，根據(jù)擴(kuò)充后的疲勞壽命分布情況建立三參數(shù)威布爾分布模型。分別運(yùn)用右逼近估計(jì)法和遺傳算法進(jìn)行威布爾分布參數(shù)估計(jì)，探究了不同參數(shù)估計(jì)方法對(duì)結(jié)果精度的影響。本文的主要結(jié)論如下：

(1)右逼近估計(jì)法中使用中位秩估算的壽命不可靠度與真實(shí)值存在較大的偏離，用該值作為初始值可能會(huì)導(dǎo)致迭代算法陷入局部最優(yōu)解而影響估算精度。

(2)提出了一種壽命分布模型的遺傳算法。以右逼近估計(jì)法得到的分布參數(shù)為基準(zhǔn)值，通過遺傳算法得到更接近真值的疲勞壽命初始不可靠度。以此迭代結(jié)果為基礎(chǔ)，再次利用遺傳算法確定最終的威布爾分布三參數(shù)。

(3)所提出的遺傳算法建立在右逼近估計(jì)法的基準(zhǔn)參數(shù)之上，可以有效克服局部最優(yōu)解的問題，在提高迭代速度的同時(shí)提高了參數(shù)估算的精度，為汽車底盤部件的可靠性評(píng)估提供新的方法和理論依據(jù)。