李志相 張航藍 時軍委 楊文淼 趙振,?

北京大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版) 第59卷 第3期 2023年5月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis, Vol. 59, No. 3 (May 2023)

10.13209/j.0479-8023.2023.014

中國航天科技集團有限公司空間結(jié)構(gòu)與機構(gòu)技術(shù)實驗室開放課題和國家自然科學(xué)基金(11972055)資助

2022–04–22;

2022–05–17

飛網(wǎng)捕獲機構(gòu)中受約束繩索的建模方法研究

李志相1,2張航藍2時軍委1楊文淼1趙振2,?

1.中國航天科技集團有限公司空間結(jié)構(gòu)與機構(gòu)技術(shù)實驗室, 上海 201109; 2.北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院, 北京 100191; ?通信作者, E-mail: bhzhaozhen@buaa.edu.cn

針對飛網(wǎng)捕獲系統(tǒng)中大量非光滑接觸以及剛?cè)狁詈显斐傻膭恿W(xué)建模困難問題, 提出一個簡化模型。該模型將收口繩索與收口環(huán)和分離體之間的接觸視為滑移關(guān)節(jié), 并采用約束方法開展動力學(xué)研究。考慮到滑移關(guān)節(jié)的碰撞, 引入接觸剛度, 建立滑移關(guān)節(jié)的接觸動力學(xué)方程。利用絕對節(jié)點坐標(biāo)法描述繩索單元, 采用虛功原理建立繩索單元動力學(xué)模型; 對于分離體等剛體, 采用四元數(shù)描述, 建立剛體含約束動力學(xué)方程。對收口系統(tǒng)的收口過程建模仿真, 得到繩索和牽引質(zhì)量塊的運動規(guī)律, 并對比不同收口環(huán)數(shù)目下的收口時間和收口程度。研究結(jié)果表明, 收口環(huán)的數(shù)目增加可以使邊線繩收縮得更加緊湊, 但較多的收口環(huán)會延長收口時間, 降低收口效率。

飛網(wǎng)捕獲; 受約束柔索; 滑移關(guān)節(jié); 絕對節(jié)點坐標(biāo)法

在航天工程中, 采用飛網(wǎng)捕獲關(guān)鍵目標(biāo)逐漸成為研究熱點[1]。如圖 1 所示, 空間飛網(wǎng)捕獲機構(gòu)主要包括多邊形繩網(wǎng)主體和收口裝置兩部分[2]。繩網(wǎng)由邊線繩和連接繩組成, 收口裝置由收口繩、收口環(huán)和分離體組成。收口環(huán)與邊線繩固連, 收口繩穿過收口環(huán)和具有止拉作用的分離體, 兩端固定在牽引質(zhì)量塊上。初始條件下, 牽引質(zhì)量塊與分離體連接成一個整體, 固定在多邊形的頂角。分離時, 分離體在火工裝置作用下一分為三, 兩個牽引質(zhì)量塊被彈射出去, 牽引收口繩的兩端, 從而實現(xiàn)收口功能。在收口階段存在復(fù)雜的動力學(xué)行為[3], 特別是收口繩與收口環(huán)和具有止拉功能的分離體之間的非光滑滑移接觸, 為動力學(xué)模型的建立帶來困難。

圖1 收口系統(tǒng)組成示意圖

關(guān)于沿著柔性繩索或柔性梁移動的滑移關(guān)節(jié)的研究有以下兩種方法。

一種方法是將其考慮為柔索與剛性面的接觸, 采用力–位移模型, 通過對柔性繩梁與滑移關(guān)節(jié)的接觸檢測, 確定接觸位置和接觸力大小, 得到柔性繩梁和滑移關(guān)節(jié)的運動狀態(tài)。Tang 等[4]針對穿過剛性圓孔的柔性梁, 進行含大間隙的滑移關(guān)節(jié)建模, 并應(yīng)用到太陽能帆板展開的動力學(xué)仿真中。但是該方法需要實時檢測滑移關(guān)節(jié)與柔性繩梁之間的接觸點, 計算效率低, 且計算穩(wěn)定性較差。

另一種方法是采用約束的觀點進行建模[5–6]。Hwang 等[7]在模態(tài)坐標(biāo)下導(dǎo)出滑移關(guān)節(jié)的約束方程。在模態(tài)坐標(biāo)系, 彈性體的邊界條件至關(guān)重要, 但由于多體系統(tǒng)的運動耦合, 繩索的邊界條件會隨滑移關(guān)節(jié)的相對運動而不斷變化, 因此該方法采用的與時間相關(guān)的變形模態(tài)很難對滑動的動態(tài)特性進行精確的模擬。Sugiyama 等[8]采用絕對節(jié)點坐標(biāo)法[9], 引入繩索的物質(zhì)參數(shù), 給出滑移關(guān)節(jié)的約束方程, 并將剛體約束中關(guān)于球鉸、圓柱鉸以及棱柱鉸的概念應(yīng)用到柔性滑移關(guān)節(jié)中, 分別建立球鉸關(guān)節(jié)、圓柱關(guān)節(jié)以及棱柱關(guān)節(jié)的約束方程。

本文采用約束的方法來描述滑移關(guān)節(jié)接觸問題, 將重點接觸約束等效為滑移關(guān)節(jié)的球鉸和圓柱鉸約束, 與傳統(tǒng)的接觸檢測方法相比, 不需要考慮實時檢測接觸點的問題, 計算效率高, 可為飛網(wǎng)捕獲動力學(xué)建模提供理論支撐。

1 系統(tǒng)動力學(xué)建模

本文對收口繩索與收口環(huán)和分離體之間的接觸作以下假設(shè)。

1)將該接觸視為滑移關(guān)節(jié): 將邊線繩與收口繩之間視為具有沿收口繩滑移的球鉸約束(圖 2(a)); 收口繩與分離體之間具有沿收口繩滑移的圓柱鉸約束(圖 2(b))。

2)忽略收口繩的扭轉(zhuǎn), 忽略收口環(huán)和分離體的質(zhì)量。

3)忽略接觸過程中的摩擦因素。

本文給出收口系統(tǒng)的簡化模型, 如圖 1 所示。在簡化模型中, 為了方便收口繩的單元劃分, 去掉牽引繩, 將邊線繩的端點直接約束在收口繩上; 考慮到繩網(wǎng)的拓撲構(gòu)型比較復(fù)雜, 將其簡化為繩網(wǎng)中心點分別與邊線繩端點相連的連接繩。本文中忽略接觸中的摩擦和止拉作用。

1.1 滑移關(guān)節(jié)約束建模

為了實現(xiàn)收口繩在收口環(huán)以及分離體內(nèi)的滑移運動, 本文將收口環(huán)和分離體與收口繩之間的運動關(guān)系視為滑移關(guān)節(jié)約束, 并且建立滑移關(guān)節(jié)的約束方程。

將收口環(huán)對收口繩的約束簡化為球鉸類型的滑移關(guān)節(jié), 約束方程可表示為

可將分離體 c 對收口繩的約束視為圓柱鉸類型的滑移關(guān)節(jié)。在球鉸滑移關(guān)節(jié)約束的基礎(chǔ)上, 圓柱鉸滑移關(guān)節(jié)還約束了兩個彎曲方向的相對轉(zhuǎn)動, 即

其中,和為定義在分離體 c 上的隨體坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸, 如圖 2 所示。

在收口系統(tǒng)中, 收口環(huán)固定在邊線繩上, 且收口環(huán)的質(zhì)量很小, 可忽略不計。因此, 本文直接在收口繩和邊線繩上建立球鉸滑移關(guān)節(jié)。將分離體 c 視為立方體, 并將立方體的中心視為收口繩和分離體 c滑移關(guān)節(jié)的約束位置。

1.2 繩索單元和剛體建模

其中,為 Hermite 插值函數(shù), 表達式為

將式(4)對時間求一階和二階導(dǎo)數(shù), 可以分別得到單元內(nèi)任意點的速度和加速度。根據(jù)虛功原理, 引入拉格朗日乘子, 可以得到對應(yīng)的無約束單元動力學(xué)方程:

式(5)中質(zhì)量矩陣、廣義外力和廣義彈性力表達式分別為

其中,為繩索的密度,為繩索的橫截面積,為繩索的彈性模量,為繩索的截面慣性矩,為繩索的粘性阻尼系數(shù),和分別為繩索的軸向正應(yīng)變和曲率, F為外力。

通過組裝單元的動力學(xué)方程, 可得繩索的動力學(xué)方程:

收口系統(tǒng)中的分離體c和質(zhì)量塊等剛體在運動過程中的姿態(tài)變化, 可以采用歐拉四元數(shù)來描述。剛體的含約束動力學(xué)方程[10]為

聯(lián)立式(7)和(8)即為系統(tǒng)整體的動力學(xué)微分方程。

1.3 滑移關(guān)節(jié)相互接觸

如圖 3 所示, 在收口過程中, 分離體 c 以及若干個收口環(huán)會在收口繩上滑動, 滑移關(guān)節(jié)之間會相互接觸。

在柔性繩梁上的滑移關(guān)節(jié)不相互穿透的接觸條件, 可用滑移關(guān)節(jié)在繩索上的物質(zhì)坐標(biāo)進行度量。我們以球鉸滑移關(guān)節(jié)為例, 介紹滑移關(guān)節(jié)之間相互接觸的動力學(xué)建模方法。

滑移關(guān)節(jié)在柔性繩梁弧長坐標(biāo)系中的距離為

圖3 滑移關(guān)節(jié)相互接觸

其中,和+1 表示繩索上的滑移關(guān)節(jié)的編號, 且按物質(zhì)坐標(biāo)增大的方向進行編號;表示滑移關(guān)節(jié)在繩索上的物質(zhì)坐標(biāo)。

接觸條件表示為

當(dāng)滑移關(guān)節(jié)接觸時, 接觸力的大小為

式中,表示兩個滑移關(guān)節(jié)之間的接觸剛度。

對于編號為+1 的滑移關(guān)節(jié), 接觸力的作用方向為繩索的切線方向; 而對于編號為的滑移關(guān)節(jié), 接觸力的作用方向為繩索切線方向的相反方向。在收口系統(tǒng)中, 收口環(huán)與邊線繩固定, 且收口環(huán)的大小和質(zhì)量可以忽略, 則可將收口繩與收口環(huán)以及收口環(huán)與邊線繩之間的約束關(guān)系直接視為收口繩與邊線繩之間的滑移關(guān)節(jié)約束, 那么滑移關(guān)節(jié)之間的接觸力可以直接作用在邊線繩上。+1 號滑移關(guān)節(jié)的接觸力所對應(yīng)的邊線繩的廣義力為

其中,為邊線繩上滑移關(guān)節(jié)所在單元的插值函數(shù);為邊線繩對應(yīng)單元的布爾矩陣[11], 其作用是將單元節(jié)點廣義坐標(biāo)變換為整體廣義坐標(biāo)。

對分離體 c 來說, 滑移關(guān)節(jié)的接觸力直接作用在分離體上, 我們用歐拉四元數(shù)來描述分離體的運動, 分離體 c 上接觸點在全局坐標(biāo)系中的位置為

分離體 c 的虛位移[4,12]表示為

通過計算接觸力在分離體 c 虛位移上的虛功, 可以得到接觸力對分離體c的廣義力:

2 仿真驗證

為了驗證本文方法的有效性, 分析整個收口過程的動力學(xué)行為, 我們對整個收口系統(tǒng)的收口過程進行建模仿真。仿真過程中, 將邊線繩的端點直接約束在收口繩上, 同時將中心點的位置固定, 模擬繩網(wǎng)捕獲物體過程中物體與繩網(wǎng)的相對運動。

收口繩、邊線繩和連接繩均采用相同的材料和相同的幾何形狀, 繩索參數(shù)見表1。將收口繩均勻地劃分為10個單元, 邊線繩和連接繩均勻地劃分為8個單元。牽引質(zhì)量塊的質(zhì)量均為0.2kg, 初始速度為12 m/s, 方向垂直于繩網(wǎng)平面。

除邊線繩兩端點固定收口環(huán)外, 在邊線繩弧長為 0.4 和 1.2m 的地方也布置與邊線繩固定的收口環(huán)。收口環(huán)與邊線繩之間的接觸剛度為 2000 N/m。

本文采用邊線繩兩個端點在收口繩弧長坐標(biāo)系中的距離來描述收口程度。在收口過程中, 兩個端點在收口繩弧長坐標(biāo)系中的距離隨時間的推移越來越小, 當(dāng)小于單元的長度時, 認為收口結(jié)束, 程序停止計算。

采用上述數(shù)據(jù)進行仿真, 大約在 0.23s時完成收口。選取收口過程中的 3 個時間點(0.10s, 0.16s和 0.21s), 得到仿真過程中收口繩和邊線繩構(gòu)型變化的三維視圖和俯視圖(圖 4)?？梢钥吹? 隨著時間的推移, 邊線繩逐漸收緊。

牽引質(zhì)量塊速度的變化見圖 5(a), 其中質(zhì)量塊1～4 的位置見圖 4 中俯視圖所示。質(zhì)量塊的初始速度為 12m/s, 隨著時間增加, 質(zhì)量塊速度逐漸減小, 后趨于穩(wěn)定, 并且 4 個質(zhì)量塊的速度曲線基本上重合, 符合理論分析結(jié)論。后半程的速度波動可能是由于未考慮收口環(huán)的碰撞對質(zhì)量塊速度的影響。

在收口繩和邊線繩的中點處增加一個收口環(huán)約束, 保持其他條件不變, 進行收口動力學(xué)仿真。牽引質(zhì)量塊 1 的速度變化如圖 5(b)所示?？梢钥闯? 增加一個收口環(huán)約束對收口快慢的影響不大, 但此時邊線繩會收縮得更加緊湊。

表1 繩索參數(shù)

圖4 繩索構(gòu)型三維視圖和俯視圖

圖5 牽引質(zhì)量塊速度變化(a)和質(zhì)量塊1速度對比(b)

圖6 增加收口環(huán)約束后繩索構(gòu)型的俯視圖

上述算例中的收口環(huán)約束數(shù)量較少, 如果在邊線繩的每個單元節(jié)點上都加收口環(huán)約束, 則系統(tǒng)的收口過程會有所不同, 部分時間點收口繩和邊線繩的構(gòu)型俯視圖如圖 6 所示。值得注意的是, 增加收口環(huán)后需增加牽引質(zhì)量塊的質(zhì)量, 才能使收口順利進行, 此算例中牽引塊質(zhì)量增加為 20kg, 收口時間約為 0.36s。相比收口環(huán)約束較少的情況, 此時邊線繩收縮得更加緊湊, 但在收口過程中, 邊線繩并非隨著時間推移一直收縮, 而是中間伴隨擴張的過程。因此, 增加收口繩與邊線繩之間的收口環(huán)約束會使得收口時間變長, 收口效率降低。這可能是由于收口環(huán)數(shù)量太多, 相互碰撞, 且分離體未加止拉約束導(dǎo)致。

3 總結(jié)

本文采用約束的方法來描述網(wǎng)捕收口系統(tǒng)中的滑移關(guān)節(jié)接觸問題, 分別對滑移關(guān)節(jié)、繩索和剛體單元進行建模, 并對收口裝置進行初步仿真。

本文模型忽略接觸過程中摩擦因素, 將收口環(huán)與收口繩的接觸簡化為球鉸滑移關(guān)節(jié)約束, 分離體與繩索的接觸簡化為柱鉸滑移關(guān)節(jié)約束, 并分別對兩類滑移關(guān)節(jié)建立約束方程?？紤]到滑移關(guān)節(jié)的碰撞, 引入接觸剛度, 建立滑移關(guān)節(jié)的接觸動力學(xué)方程。利用絕對節(jié)點坐標(biāo)法描述繩索單元, 采用虛功原理建立繩索單元動力學(xué)模型; 對于分離體等剛體, 采用四元數(shù)描述建立剛體含約束動力學(xué)方程。

通過對收口系統(tǒng)的收口過程建模仿真, 得到收口過程中繩索和牽引質(zhì)量塊的運動規(guī)律。在仿真過程中, 邊線繩逐漸收緊, 牽引質(zhì)量塊的速度逐漸減小后趨于穩(wěn)定。通過對比不同收口環(huán)數(shù)目下的收口時間和收口程度, 可以發(fā)現(xiàn)收口環(huán)的數(shù)目增加可以使邊線繩收縮的更加緊湊, 整體收口效果更好, 但較多的收口環(huán)會延長收口時間, 降低收口效率。

本文模型和數(shù)值仿真可為后續(xù)建立完整的含止拉和摩擦的收口系統(tǒng)動力學(xué)模型提供了基本理論 支撐。

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Modelling Methods of Constrained Flexible Ropes in Capture Net System

LI Zhixiang1,2, ZHANG Hanglan2, SHI Junwei1, YANG Wenmiao1, ZHAO Zhen2,?

1.Space Structure and Mechanism Technology Laboratory, China Aerospace Science and Technology Group Co. Ltd., Shanghai 201109; 2.School of Aeronautic Science and Engineering, Beihang University, Beijing 100191; ? Corresponding author, E-mail: bhzhaozhen@buaa.edu.cn

Due to the difficulty of dynamical modelling of constrained flexible ropes for the closure process caused by the presence of non-smooth contacts and rigid-flexible coupling problem, a simplified model is provided. The contacts between the ropes and the rings or the separators are considered as slip joints, and the dynamical studies are conducted using the constraint method. Considering the collision of the slip joint, the contact stiffness is introduced and the contact dynamics equations of the slip joint are established. The absolute nodal coordinate formulation is used to describe the motion of rope element, and the dynamics model of which can then be established through the principle of virtual work. For rigid bodies such as separators, the quaternion description is used to establish the dynamics equations. The simulation of closure process is performed to obtain the motion law of the rope and the traction mass block, and the closure time and the degree of closure are compared under different numbers of rings. It is found that an increase in the number of rings will result in a more compact contraction of the rope, but considerable rings will prolong closure time and reduce closure efficiency.

capture net; constrained flexible ropes; slide joint; absolute node coordinate formulation