褚玉霞

求軌跡方程問題經(jīng)常出現(xiàn)在解析幾何試題中.這類問題常與直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等知識相結(jié)合，具有較強(qiáng)的綜合性，且解題過程中的運(yùn)算量較大.解答這類問題的常用方法有直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法等.下面重點(diǎn)談一談軌跡方程的三種求法.

一、直接法

直接法是指根據(jù)動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件，直接列出等量關(guān)系式，化簡該式即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.在解題時(shí)，要仔細(xì)審題，尋找一些點(diǎn)、線段、角之間的幾何關(guān)系或關(guān)系式，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式、直線的斜率公式、兩點(diǎn)間的距離公式、正余弦定理等建立關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的方程.

例1.

解：

本題較為簡單，可采用直接法求解.設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)? =0、 =-? 建立關(guān)于 x、y 的關(guān)系式，通過化簡即可求得 M 的軌跡方程.在運(yùn)用直接法求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程后，還需考慮題中出現(xiàn)的一些約束條件，尤其要關(guān)注對 x 、y 的限制條件.

二、定義法

若動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件與一些曲線的定義，如圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義相吻合，就可以運(yùn)用定義法來求軌跡的方程.這就要求同學(xué)們要熟悉并靈活運(yùn)用圓、橢圓、雙曲線、拋物線等曲線的定義，將動(dòng)點(diǎn)看作曲線上的點(diǎn)，將定點(diǎn)視為圓的圓心、橢圓的焦點(diǎn)、雙曲線的焦點(diǎn)、拋物線的焦點(diǎn)，求得圓、橢圓、雙曲線、拋物線的方程中的參數(shù)，即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

例2

解：

由動(dòng)圓與圓 O1 、圓 O2 之間的關(guān)系便可建立關(guān)系式 |MO2| - |MO1| = 3 ，而 O1 、O2 為定點(diǎn)，由此可以聯(lián)想到雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F1 、F2 的距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于 |F1F2| ）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，于是設(shè)出雙曲線的方程，求得 a、b 的值，即可解題.

三、參數(shù)法

如果動(dòng)點(diǎn)本身所滿足的條件中含有參數(shù)，或者在運(yùn)動(dòng)過程中受到某個(gè)變量的制約，那么就可以以此變量為參數(shù)，建立關(guān)于該參數(shù)的關(guān)系式，再設(shè)法消去參數(shù)，就可以得到軌跡方程，該方法稱為參數(shù)法.在選取參數(shù)時(shí)，要考慮到制約參數(shù)的限制條件對動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的范圍的影響.另外，選取的參數(shù)不同，解題過程中的運(yùn)算量也不同，要選取合適的參數(shù)，這樣才能減少運(yùn)算量.

例3

解：

M 為 AB 的中點(diǎn)，要求 M 的軌跡方程，需要采用參數(shù)法，先設(shè) A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并用 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示 M ；再根據(jù) A、B 所滿足的幾何條件建立關(guān)系式，通過消去參數(shù)，求出 M 的軌跡方程.

四、相關(guān)點(diǎn)法

如果動(dòng)點(diǎn)隨著另一個(gè)或多個(gè)相關(guān)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，那么根據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，就很難列出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系式，此時(shí)可以采用相關(guān)點(diǎn)法來解題，其具體的步驟為：

1.設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為 （x，y） 以及相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為

2.把相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)代入動(dòng)點(diǎn)所滿足的某個(gè)（些）方程中；

3.建立動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)與相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)之間關(guān)系式，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；

4.將相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知方程，消去相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)的方程.

例4

解：

根據(jù)題意，不難發(fā)現(xiàn)點(diǎn) C、點(diǎn) D、點(diǎn) P 與點(diǎn) M 相關(guān)，于是采用相關(guān)點(diǎn)法，分別設(shè)出 C、D、M 的坐標(biāo)，而點(diǎn) C、點(diǎn) D 為拋物線的切點(diǎn)，既滿足切線方程，又滿足拋物線方程，點(diǎn) P 在已知的圓上，據(jù)此建立關(guān)系式，并消去 C、D、P 的坐標(biāo)，得到關(guān)于 M 點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系式，即可解題

總而言之，求軌跡的方程，需將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，將“曲線”轉(zhuǎn)化為“方程”，通過對方程的研究來挖掘曲線的性質(zhì)，明確曲線的軌跡，從而求得軌跡的方程.