王井利，佟曉宇，張梅

(1.沈陽(yáng)建筑大學(xué)交通與測(cè)繪工程學(xué)院,沈陽(yáng) 110168；2.宣化科技職業(yè)學(xué)院,河北 張家口 075100)

0 引言

導(dǎo)航定位系統(tǒng)進(jìn)行定位的關(guān)鍵是“時(shí)間”因素的測(cè)量.星載原子鐘是星上時(shí)間基準(zhǔn)，其與地面控制站的鐘面差值即衛(wèi)星鐘差，鐘差精度是影響其服務(wù)能力的重要因素之一[1].在全球多導(dǎo)航系統(tǒng)并存的情況下，我國(guó)自主研發(fā)了北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BDS)，其衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)的精度和穩(wěn)定性備受關(guān)注.由國(guó)際GNSS服務(wù)(IGS)提供的精密鐘差產(chǎn)品精度高,但是其產(chǎn)品的發(fā)布需要延遲12 至18天，無(wú)法用于實(shí)時(shí)定位[2].因此，如何提高短期鐘差預(yù)報(bào)精度以滿足實(shí)時(shí)定位的要求成為該類研究的重點(diǎn)[3].

目前，關(guān)于鐘差預(yù)報(bào)建模的問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究，并取得了大量成果.鐘差預(yù)報(bào)模型的種類有很多，常用的有二次多項(xiàng)式(QP)模型[4]、灰色(GM)模型[5]、附加周期項(xiàng)多項(xiàng)式(SA)模型[6]、小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(WNN)模型[7]、自回歸滑動(dòng)平均(ARMA)模型[8]等.由于星載原子鐘的類型不同、受外在因素影響較大，不同的模型在鐘差預(yù)報(bào)時(shí)預(yù)測(cè)結(jié)果具有差異，線性模型很難為不同類型的衛(wèi)星提供高精度的預(yù)測(cè)結(jié)果.針對(duì)此類問(wèn)題，文獻(xiàn)[9]分析了北斗三號(hào)衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BDS-3)不同種類衛(wèi)星鐘的精度和穩(wěn)定度，采用四種模型對(duì)不同原子鐘下的精度進(jìn)行比較，為BDS-3 鐘差預(yù)報(bào)建模提供了有利的參考.文獻(xiàn)[10]針對(duì)衛(wèi)星鐘差精細(xì)化建模問(wèn)題，提出了將具有記憶反饋功能的Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于鐘差預(yù)報(bào)中，并驗(yàn)證了該想法的可行性；但是該模型在網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的過(guò)程中容易出現(xiàn)局部最優(yōu)解的問(wèn)題影響預(yù)測(cè)結(jié)果.文獻(xiàn)[11]針對(duì)北斗鐘差預(yù)報(bào)建模問(wèn)題，提出一種依據(jù)單一模型均方誤差經(jīng)典線性加權(quán)進(jìn)行多個(gè)模型組合預(yù)報(bào)的方法，解決了單一模型在不同情況下受干擾因素影響從而導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果出現(xiàn)明顯差異的問(wèn)題；但是該方法模型權(quán)重設(shè)置為固定值，隨著時(shí)間累計(jì)單一模型的誤差累計(jì)對(duì)預(yù)報(bào)結(jié)果影響較大.文獻(xiàn)[12]提出了一種能夠?qū)崟r(shí)擬合和將泛函網(wǎng)絡(luò)和多項(xiàng)式結(jié)合預(yù)報(bào)鐘差的方法，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法精度的可靠性；但是其模型的參數(shù)選取依賴于人工經(jīng)驗(yàn)，影響了預(yù)測(cè)精度.文獻(xiàn)[13]針對(duì)傳統(tǒng)預(yù)報(bào)模型的缺點(diǎn)，提出了一種基于北斗二號(hào)衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BDS-2)、BDS-3 聯(lián)合估計(jì)的超快速衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)優(yōu)化策略；對(duì)分析中心北斗鐘差產(chǎn)品精細(xì)化有重大意義；但是依據(jù)新策略建模提升的預(yù)測(cè)精度有限.

常用的傳統(tǒng)預(yù)報(bào)模型受模型階數(shù)、預(yù)測(cè)時(shí)長(zhǎng)、鐘差數(shù)據(jù)等因素影響較大，而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定、泛化能力差，容易出現(xiàn)過(guò)擬合導(dǎo)致局部最優(yōu).針對(duì)此類問(wèn)題本文提出一種基于粒子群優(yōu)化(PSO)算法優(yōu)化Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的鐘差預(yù)報(bào)模型來(lái)實(shí)現(xiàn)高精度的導(dǎo)航衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào).

1 鐘差數(shù)據(jù)預(yù)處理與三種傳統(tǒng)預(yù)報(bào)模型

1.1 鐘差數(shù)據(jù)的預(yù)處理

在武漢大學(xué)衛(wèi)星導(dǎo)航定位技術(shù)研究中心(WHU)下載的精密鐘差產(chǎn)品為衛(wèi)星的相位數(shù)據(jù)，該類型數(shù)據(jù)呈整體遞增或者遞減的線性規(guī)律.原始衛(wèi)星鐘差相位數(shù)據(jù)可直接用于導(dǎo)航、定位和授時(shí)(PNT)服務(wù)，但相位數(shù)據(jù)的相對(duì)數(shù)量級(jí)較大，不利于鐘跳、粗差等異常值的識(shí)別及剔除，因此需要對(duì)相位數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理工作[14].首先相位數(shù)據(jù)可以通過(guò)相鄰歷元做一次差轉(zhuǎn)換為頻率數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)換后的頻率數(shù)據(jù)整體呈非線性規(guī)律，容易探測(cè)出異常值.然后用相應(yīng)的方法剔除不同異常值后再恢復(fù)成相位數(shù)據(jù).完成預(yù)處理之后的相位數(shù)據(jù)用于鐘差預(yù)報(bào)可有效提高鐘差預(yù)報(bào)的精度.

本文采取的預(yù)處理流程為中位數(shù)偏差(MAD)抗差估計(jì)法探測(cè)異常值[15]，再采用分段線性插值的方法進(jìn)行內(nèi)插還原異常點(diǎn).其中MAD 表達(dá)形式為

式中：yi為衛(wèi)星頻率數(shù)據(jù)；m為頻率數(shù)據(jù)序列的中間數(shù).

求得MAD 之后，將頻率數(shù)據(jù)的中間數(shù)m與N倍的MAD 相加，然后與衛(wèi)星的頻率數(shù)據(jù)yi的絕對(duì)值相比較，從而探測(cè)出異常值的位置(本文N值取經(jīng)驗(yàn)值3).

1.2 常用的三種傳統(tǒng)預(yù)報(bào)模型

1.2.1 QP 模型

QP 模型衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)表達(dá)式為

式中：x為預(yù)測(cè)鐘差；i=(1，2，3，···，n)；a0、a1、a2分別為參考時(shí)刻衛(wèi)星的相位、頻偏和頻漂；t0為衛(wèi)星鐘差的參考時(shí)刻；ε為殘差.

1.2.2 SA 模型

SA 模型又稱作附加周期項(xiàng)的QP 模型，是指在QP 模型的基礎(chǔ)上考慮周期項(xiàng)的鐘差預(yù)報(bào)模型，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：a0、a1、a2與ε所代表的含義與式(2)中相同；n為主要周期函數(shù)的個(gè)數(shù)；Ak、fk、φk分別為對(duì)應(yīng)周期項(xiàng)中的振幅、頻率和相位.

與QP 相同，多個(gè)鐘差序列經(jīng)過(guò)最小二乘法求得參數(shù)的最或然值，并將其反帶入式(3)即可進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào).SA 模型考慮了周期性變化對(duì)預(yù)報(bào)模型的影響，提高了其短期預(yù)報(bào)精度，模型結(jié)構(gòu)相對(duì)復(fù)雜.但是模型主體仍是QP，也相應(yīng)繼承其模型隨預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)的增加其預(yù)報(bào)結(jié)果的準(zhǔn)確度整體呈下滑趨勢(shì)的缺點(diǎn).

1.2.3 GM 模型

GM 模型的鐘差預(yù)報(bào)表達(dá)式為

式中：k=(1，2，···，n)；a和u分別為發(fā)展系數(shù)和灰色作用量，是一個(gè)常數(shù)參數(shù).多個(gè)鐘差序列經(jīng)過(guò)最小二乘法求得參數(shù)的最或然值，并將其反帶入式(4)即可進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào).GM 模型因指數(shù)參數(shù)影響，參與的擬合歷元數(shù)量嚴(yán)重影響預(yù)測(cè)精度，預(yù)測(cè)結(jié)果差異過(guò)大，易陷入局部最優(yōu)的困局中.

2 PSO-Elman 模型基本原理

2.1 Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在處理分析非線性時(shí)間序列的擬合和預(yù)測(cè)的問(wèn)題上具有顯性優(yōu)勢(shì)[16].Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)是將BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隱藏層轉(zhuǎn)接到輸出層的過(guò)程中加置一個(gè)承接層，接收并記錄此刻迭代過(guò)程中隱藏層的輸出結(jié)果.在某一次迭代過(guò)程中，參考系數(shù)選用上一次隱藏層的反饋信息，并將上一次的隱藏層輸出值與此次輸入層值按權(quán)屬進(jìn)入此次隱藏層中，當(dāng)輸出值與期望值間差值大于設(shè)定目標(biāo)時(shí)通過(guò)上述過(guò)程反向調(diào)整網(wǎng)絡(luò)進(jìn)而逼近期望輸出值，使網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練具有局部的反饋性和動(dòng)態(tài)短期記憶特征[17].這樣的網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)使得Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具備良好的時(shí)序特征和短期記憶能力，在鐘差預(yù)報(bào)這種時(shí)間序列分析問(wèn)題上有優(yōu)秀的適配性.

Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過(guò)輸入層神經(jīng)元傳入信號(hào)，同時(shí)采用線性加權(quán)的方式經(jīng)過(guò)隱藏層與承接層的計(jì)算得出結(jié)果后傳輸?shù)捷敵鰧拥纳窠?jīng)元.其表達(dá)式為：

式中：z為隱藏層的輸出值；k為輸入層函數(shù)序列的標(biāo)數(shù)；f為隱藏層傳輸函數(shù)；x為輸入值；w1為輸入層與隱含層間的權(quán)值；w2為隱含層與承接層的權(quán)值；w3為隱含層至輸出層的權(quán)值；zc為承接層輸出值；yk為輸出層輸出值；g為隱含層至輸出層的傳輸函數(shù).

激活函數(shù)使用sigmoid 函數(shù)，其表達(dá)式為

2.2 PSO 算法

PSO 算法通過(guò)模擬魚群和鳥類覓食行為，是一種群體協(xié)作隨機(jī)搜索優(yōu)化、尋找單目標(biāo)問(wèn)題的最優(yōu)解的智能算法[18-19].PSO 算法中，各個(gè)粒子都是搜索空間中沒(méi)有體積與質(zhì)量概念的獨(dú)立解，并且有自己的位置和速度.根據(jù)搜索空間中粒子的位置和速度，隨機(jī)初始化種群粒子，使用適應(yīng)函數(shù)將每個(gè)粒子連續(xù)聚合到其自身的歷史最佳位置.全局粒子群進(jìn)化公式如下：

式中：d為參數(shù)尺寸，d=1,2,···，n；c為加速系數(shù)；和分別為第i個(gè)粒子的位置和速度；pbetsi為第i粒子適應(yīng)值；gbest為全局適應(yīng)值；w為權(quán)值；r為[0，1]區(qū)間內(nèi)隨機(jī)數(shù).

對(duì)于局部PSO 算法，每個(gè)粒子根據(jù)其和相鄰粒子的歷史最佳位置pbest 調(diào)整其速度.局部粒子群的速度更新公式為

PSO 算法具備種群初始化隨機(jī)的特點(diǎn)，解空間中的粒子都具有自己的屬性(位置、速度)和適應(yīng)值.粒子之間具備記憶、追隨的特性，在解空間內(nèi)隨當(dāng)前最優(yōu)解搜索更新，并將適應(yīng)值信息單向提供給其他粒子，使得所有的粒子能夠快速地收斂于最優(yōu)解.

2.3 PSO 算法優(yōu)化Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的鐘差建模

Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是通過(guò)反復(fù)訓(xùn)練模型來(lái)調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)運(yùn)算中各矩陣的權(quán)值和閾值，網(wǎng)絡(luò)連接權(quán)重將誤差平方和作為指標(biāo)，反向傳播反饋修正，使得輸出結(jié)果愈發(fā)趨近于真實(shí)值.但是初始參數(shù)設(shè)置時(shí)涉及權(quán)值和閾值的選取會(huì)嚴(yán)重影響網(wǎng)絡(luò)運(yùn)算的收斂和精度，嚴(yán)重時(shí)會(huì)使網(wǎng)絡(luò)的輸出結(jié)果陷入局部最優(yōu)，失去訓(xùn)練的意義[20].針對(duì)于Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始參數(shù)設(shè)置導(dǎo)致算法輸出結(jié)果異常的情況，本文提出采用PSO 算法得到的初始參數(shù)賦予給神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，從而減小上述情況對(duì)算法結(jié)果的影響，大大提高了鐘差預(yù)報(bào)的精準(zhǔn)度.

通常網(wǎng)絡(luò)中輸出層的神經(jīng)元個(gè)數(shù)與輸出結(jié)果的類型相同.在滑動(dòng)窗口模式下的單次鐘差預(yù)報(bào)的計(jì)算最后輸出的結(jié)果為某一時(shí)刻的鐘差值，設(shè)置輸出層個(gè)數(shù)為1.在樣本總量不變的前提下，上一次計(jì)算出的鐘差值也會(huì)參與到下一次的預(yù)報(bào)中，從而達(dá)到連續(xù)的多歷元衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào).

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的隱藏層神經(jīng)元的個(gè)數(shù)對(duì)后續(xù)結(jié)果精度的影響至關(guān)重要.隱藏層神經(jīng)元個(gè)數(shù)較多，網(wǎng)絡(luò)的整體結(jié)構(gòu)會(huì)更加穩(wěn)定，但網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的收斂速度將大大增加，時(shí)間復(fù)雜度過(guò)高.隱藏層神經(jīng)元個(gè)數(shù)較少，則網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，計(jì)算速度較快，但模型的預(yù)報(bào)精度降低[21].在保證模型預(yù)報(bào)精度的前提下，選擇更加合適神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的架構(gòu)將有利于后續(xù)工作的進(jìn)行.為獲取最佳的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，本文選擇2021 年9 月21 日WHU分析中心的精密鐘差產(chǎn)品進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，選自于C46號(hào)衛(wèi)星分別在不同的神經(jīng)元個(gè)數(shù)時(shí)進(jìn)行12 h 的鐘差預(yù)報(bào).圖1 為1～12 個(gè)神經(jīng)元個(gè)數(shù)各自的均方根誤差(RMSE)值變化情況.

圖1 隱藏層不同個(gè)數(shù)神經(jīng)元時(shí)的鐘差預(yù)報(bào)RMSE

由圖1 可知，隱藏層神經(jīng)元數(shù)為3 時(shí)鐘差預(yù)報(bào)精度最高，結(jié)構(gòu)最為穩(wěn)定.故本文采用的隱藏層神經(jīng)元個(gè)數(shù)為3.

利用PSO 算法和Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)建模，得到PSO-Elman 模型具體步驟為：

1)將精密鐘差產(chǎn)品預(yù)處理，對(duì)其中的異常值進(jìn)行修正.將參與建模的鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行一次差分后設(shè)置為樣品集，并將其進(jìn)行歸一化處理.

2)根據(jù)已規(guī)劃好的的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，定義算法中的迭代次數(shù)、加速系數(shù)、種群規(guī)模、速度與位移的最大和最小值、適應(yīng)函數(shù).本文中選取的適應(yīng)函數(shù)為訓(xùn)練樣本的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的均方根誤差(RMSE)，表達(dá)式為

式中：m為樣本個(gè)數(shù)；為真實(shí)值；yi為預(yù)測(cè)值.

3)初始化.在搜索空間內(nèi)的個(gè)體粒子，其本身屬性(速度、位置)都是隨機(jī)產(chǎn)生的.粒子所在的當(dāng)前位置即是自身的個(gè)體極值(即個(gè)體極值點(diǎn)的適應(yīng)度值).當(dāng)前具有所有個(gè)體極值最優(yōu)解的粒子序號(hào)設(shè)置為全局極值，并將全局極值點(diǎn)設(shè)置為該粒子的當(dāng)前位置.

4)評(píng)估個(gè)體粒子適應(yīng)值.計(jì)算各粒子的適應(yīng)度值，若某個(gè)粒子當(dāng)前適應(yīng)值比之前記錄的該粒子最優(yōu)值更好，則更新pbest.若某個(gè)粒子當(dāng)前適應(yīng)值比之前記錄的全局最優(yōu)解更佳，則更新gbest.

5)粒子群的更新.針對(duì)每一個(gè)粒子重復(fù)步驟3的速度與位置的更新.

6)檢驗(yàn)是否符合輸出標(biāo)準(zhǔn).如果當(dāng)前迭代次數(shù)達(dá)到設(shè)定的最大值或結(jié)果在標(biāo)準(zhǔn)范圍誤差內(nèi)時(shí)，停止迭代，輸出最優(yōu)解.否則重復(fù)步驟4 和步驟5 過(guò)程直至滿足條件位置.

7)將步驟6 算法中計(jì)算得出的結(jié)果賦予給神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值和閾值的初始參數(shù)并開始訓(xùn)練，對(duì)鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行反歸一化運(yùn)算，驗(yàn)證樣本中的預(yù)報(bào)值與真實(shí)值間的擬合差.

8)通過(guò)上述步驟訓(xùn)練完成的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行預(yù)報(bào)得出鐘差序列結(jié)果，并逐步相加將其還原即可求得鐘差預(yù)測(cè)結(jié)果.

3 預(yù)報(bào)實(shí)驗(yàn)分析

為了驗(yàn)證本文提出的PSO-Elman 模型的可行性，采用WHU 分析中心提供的30 s采樣間隔的精密鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)分析.針對(duì)不同預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)，分別使用4 種模型進(jìn)行1 h、3 h、6 h、12 h 的鐘差預(yù)報(bào)實(shí)驗(yàn).本次實(shí)驗(yàn)采用2021 年9 月21 日的鐘差數(shù)據(jù)為例分析.在預(yù)報(bào)實(shí)驗(yàn)中使用RMSE 和極差(Range)作為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算公式為：

式中：ti為預(yù)報(bào)值；為WHU 精密鐘差數(shù)據(jù)；n為數(shù)據(jù)個(gè)數(shù).

3.1 實(shí)驗(yàn)1

為了對(duì)比PSO-Elman 模型與Elman 鐘差預(yù)報(bào)模型的預(yù)報(bào)性能，以C46 號(hào)衛(wèi)星為例.兩種模型采用已確定好的相同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，以此次該衛(wèi)星前12 h 作為樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行建模預(yù)報(bào)后12 h 的衛(wèi)星鐘差，分別進(jìn)行10 次獨(dú)立預(yù)報(bào)實(shí)驗(yàn).兩種模型預(yù)測(cè)結(jié)果的RMSE值如圖2 所示.

圖2 10 次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中兩種模型預(yù)測(cè)的RMSE

由圖2 可知，Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型與PSO-Elman模型在針對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)后，所得結(jié)果無(wú)明顯波動(dòng)，證明了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在鐘差預(yù)報(bào)實(shí)驗(yàn)中的穩(wěn)定性.10 次實(shí)驗(yàn)兩組模型RMSE 的平均值分別為0.94ns和0.22 ns，表明經(jīng)過(guò)PSO 算法優(yōu)化Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)后，克服了Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的局限性，預(yù)測(cè)精度提高了76.6%.

3.2 實(shí)驗(yàn)2

為了進(jìn)一步驗(yàn)證PSO-Elman 模型不同預(yù)測(cè)時(shí)長(zhǎng)時(shí)的預(yù)報(bào)性能，與三種傳統(tǒng)鐘差預(yù)報(bào)模型進(jìn)行對(duì)比分析.圖3 為C46 號(hào)衛(wèi)星預(yù)報(bào)誤差曲線.由圖3 可知：PSO-Elman 模型預(yù)報(bào)效果在0 值左右；QP 模型與SA 模型預(yù)報(bào)效果相仿，并且這三個(gè)模型在0～200 歷元內(nèi)預(yù)報(bào)性能相當(dāng)，但在其之后預(yù)報(bào)誤差隨著預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)的增加整體呈遞增趨勢(shì)；GM 模型從0 時(shí)就具備一定量的偏差值，并且之后呈現(xiàn)顯著遞增.從整體趨勢(shì)上不難看出PSO-Elman 模型預(yù)測(cè)精度更高，隨預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)增加所受影響相較于其他模型變化幅度更小.

圖3 C46 號(hào)衛(wèi)星12 h 預(yù)報(bào)誤差曲線

由表1 可知：在1h 預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)的實(shí)驗(yàn)中PSO-Elman模型相對(duì)于QP、SA、GM 模型的預(yù)報(bào)精度分別提高90.0%、22.5%、99.7%，穩(wěn)定度比QP、GM 模型提高了84.1%、95.8%，低于SA 模型58.1%，但處于一個(gè)量級(jí)；在3 h 預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)的實(shí)驗(yàn)中其預(yù)報(bào)精度分別提高74.3%、47.20%、99.2%，穩(wěn)定度分別提高81.9%、2.7%、97.8%；在6 h 預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)的實(shí)驗(yàn)中其預(yù)報(bào)精度分別提高17.5%、56.0%、98.3%，穩(wěn)定度比QP、GM 模型分別提高28.3%、95.6%，低于SA 模型9.4%，但處于同一量級(jí)；在12 h 預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)的實(shí)驗(yàn)中其預(yù)報(bào)精度分別提高87.1%、89.3%、97.8%，穩(wěn)定度分別提高77.5%、79.2%、95.6%.其中，在1 h 實(shí)驗(yàn)中SA 模型預(yù)測(cè)的初始值存在負(fù)方向偏差，極值偏小.鐘差數(shù)據(jù)具有周期性變化，在6 h 預(yù)報(bào)時(shí)曲線變化與PSO-Elman 模型相仿，但隨著預(yù)測(cè)時(shí)長(zhǎng)增加整體發(fā)散，極值變大.在C46 號(hào)衛(wèi)星的鐘差預(yù)報(bào)中4 個(gè)不同預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)看，PSO-Elman 模型RMSE 值對(duì)比于其他模型預(yù)報(bào)結(jié)果更加精準(zhǔn)；Range 值表示整體誤差范圍內(nèi)的最大絕對(duì)值，其數(shù)值越低則表明真值與預(yù)測(cè)值間的誤差浮動(dòng)區(qū)間越小且更為穩(wěn)定.

表1 C46 號(hào)衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)結(jié)果統(tǒng)計(jì) ns

3.3 實(shí)驗(yàn)3

對(duì)PSO-Elman 模型在不同原子鐘類型情況下的預(yù)報(bào)性能進(jìn)行分析對(duì)比.圖4 為C19 號(hào)衛(wèi)星12 h 預(yù)報(bào)誤差曲線.在C19 衛(wèi)星預(yù)報(bào)時(shí)，四種模型預(yù)報(bào)誤差具備相似但不相同的變化趨勢(shì)：PSO-Elman 模型與GM 模型在整體1 440 歷元期間變化曲線大致吻合，但隨著預(yù)測(cè)時(shí)長(zhǎng)的遞增GM 模型的精度變化略低于PSO-Elman；SA 模型變化趨勢(shì)對(duì)比之前兩者稍有遜色，在50 歷元后呈負(fù)向遞增；QP 模型在0～50 歷元時(shí)尚與其余模型相當(dāng)，但之后隨著預(yù)測(cè)時(shí)長(zhǎng)的增加整體呈現(xiàn)顯著的負(fù)向遞增.

圖4 C19 號(hào)衛(wèi)星12 h 預(yù)報(bào)誤差曲線

圖5 為C38 號(hào)衛(wèi)星誤差曲線.在C38 衛(wèi)星預(yù)報(bào)時(shí)，四種模型呈現(xiàn)不同的變化趨勢(shì)：GM 模型在初始預(yù)報(bào)時(shí)存在偏差值，不過(guò)整個(gè)預(yù)報(bào)過(guò)程中浮動(dòng)區(qū)間極??；SA 模型在整個(gè)預(yù)報(bào)過(guò)程中隨著預(yù)報(bào)時(shí)長(zhǎng)的增加呈遞增趨勢(shì)；QP 模型時(shí)與PSO-Elman 模型在初始時(shí)刻預(yù)測(cè)誤差極其趨近于0 值，但隨著預(yù)測(cè)時(shí)長(zhǎng)的增加與SA 模型類似且呈負(fù)向遞增；PSO-Elman 模型基本在0 值范圍內(nèi)浮動(dòng)，變化極小，表明該模型在此次預(yù)報(bào)實(shí)驗(yàn)中預(yù)測(cè)值與真值誤差精度更高.

圖5 C38 號(hào)衛(wèi)星12 h 預(yù)報(bào)誤差曲線

C19 號(hào)衛(wèi)星為BDS-2 衛(wèi)星，搭載的星載原子種類型為銣鐘；C38 號(hào)衛(wèi)星為BDS-3 衛(wèi)星，搭載的星載原子種類型為氫鐘；C46 號(hào)衛(wèi)星為BDS-3 衛(wèi)星，搭載的星載原子種類型為新型銣鐘.

結(jié)合C19 與C46 號(hào)衛(wèi)星情況分析，不同代的銣鐘產(chǎn)品各個(gè)模型的預(yù)報(bào)性能情況不同：GM 模型BDS-2 銣鐘的預(yù)測(cè)結(jié)果顯然比在BDS-3 衛(wèi)星新型銣鐘效果更好；QP 模型在BDS-3 衛(wèi)星效果更勝于BDS-2；SA 模型在新型BDS-3 銣鐘上預(yù)測(cè)效果與QP 模型相仿，但在BDS-2 銣鐘預(yù)測(cè)性能上比QP 模型效果更好，遜色于其他兩者模型.

結(jié)合C38 與C46 號(hào)衛(wèi)星情況分析，在BDS-3 衛(wèi)星中，不同星載原子鐘各個(gè)預(yù)報(bào)模型效果亦有差異：GM 模型在星載原子鐘為氫鐘時(shí)雖然初始值略有偏差，但是整體預(yù)測(cè)結(jié)果及穩(wěn)定性上相較于銣鐘預(yù)測(cè)性能更佳；QP 模型和SA 模型在不同原子鐘上性能效果相仿，在星載原子鐘為氫鐘時(shí)隨著預(yù)測(cè)時(shí)長(zhǎng)增加呈現(xiàn)正負(fù)向遞增，在銣鐘情況下雖然也呈遞增趨勢(shì)，但波動(dòng)幅度較比前者更為穩(wěn)定且差異值更小，效果更佳.

POS-Elman 模型在BDS-3 的不同原子鐘上所表現(xiàn)的情況相同，浮動(dòng)區(qū)間基本在0 值內(nèi)且隨著預(yù)測(cè)時(shí)長(zhǎng)增加所受影響極?。辉贐DS-2 銣鐘情況時(shí)，區(qū)間浮動(dòng)范圍比其他情況下更為明顯，但誤差值亦在0 值左右波動(dòng).

由表2 可知，在C19 號(hào)衛(wèi)星的短期鐘差預(yù)報(bào)中PSO-Elman 模型對(duì)比QP、SA、GM 模型，在12 h 預(yù)報(bào)過(guò)程中其預(yù)報(bào)精度分別提高91.5%、75.9%、93.8%，穩(wěn)定度分別提高88.5%、64.9%、22.7%.C38 號(hào)衛(wèi)星的短期鐘差預(yù)報(bào)中12 h 預(yù)報(bào)過(guò)程中其預(yù)報(bào)精度分別提高93.6%、87.5%、53.1%，穩(wěn)定度分別提高90.0%、84.8%，但相較于GM 模型穩(wěn)定度稍遜色10%.綜合3 顆衛(wèi)星對(duì)比于三種常用模型的優(yōu)化精度平均提高90.7%、84.2%、81.6%，穩(wěn)定度平均提高85.3%、76.3%、36.1%.從上述結(jié)果來(lái)看，PSO-Elman 模型在不同星載原子類型的情況下精確度更高、穩(wěn)定性更強(qiáng)、預(yù)測(cè)誤差波動(dòng)間更小，所表現(xiàn)的預(yù)報(bào)性能更優(yōu).

表2 3 顆衛(wèi)星四種模型鐘差預(yù)報(bào)結(jié)果統(tǒng)計(jì) ns

4 結(jié)論

本文提出的采用PSO 算法優(yōu)化Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的PSO-Elman 模型具有較強(qiáng)的自適應(yīng)性，通過(guò)預(yù)報(bào)實(shí)驗(yàn)得出：

1)PSO 算法對(duì)Elman 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化效果明顯且精度提高了76.6%，且經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)其結(jié)果差異不大，避免了偶然性.

2)經(jīng)過(guò)4 次不同預(yù)測(cè)時(shí)長(zhǎng)的模擬實(shí)驗(yàn)，在1～6 h除了灰色模型外都能達(dá)到亞納秒級(jí)，在1～12 h 其余模型能達(dá)到納秒級(jí)，而PSO-Elman 模型依舊能達(dá)到亞納秒級(jí).隨著預(yù)測(cè)時(shí)長(zhǎng)的增加傳統(tǒng)模型擬合誤差越來(lái)越大，PSO-Elman 模型受到預(yù)測(cè)時(shí)長(zhǎng)增加影響極小，且預(yù)測(cè)精度具有顯著優(yōu)勢(shì).

3)根據(jù)星載原子鐘種類不同的衛(wèi)星預(yù)報(bào)實(shí)驗(yàn)，QP 模型與SA 模型更適用于BDS-2 的銣鐘衛(wèi)星；GM模型適用于BDS-3 的新型銣鐘和氫鐘；POS-Elman模型在這三種情況下皆適用且預(yù)測(cè)結(jié)果精度更高.

綜上所述，相較于常用的三種傳統(tǒng)算法模型，PSO-Elman 模型在不同情況下的鐘差預(yù)報(bào)均能保證穩(wěn)定度的同時(shí)，精確度更有顯著提高，適用性更廣泛，表明了此方法在短期鐘差預(yù)報(bào)的可行性.