甘忠文，薛開昶，袁光偉，顧興陽

（國家精密微特電機工程技術(shù)研究中心 貴州航天林泉電機有限公司，貴州貴陽，550081）

0 引言

功率因數(shù)是反映三相交流發(fā)電機運行狀態(tài)最重要的指標(biāo)之一。功率因數(shù)過低時，發(fā)電機的利用率過低，電機繞組銅損增大。對于直流發(fā)電機，輸出電壓是由相電壓整流所得，功率因數(shù)過低時使輸出電壓質(zhì)量變差，使發(fā)電機輸出電壓變低[1～2]。當(dāng)發(fā)電機負(fù)載為非阻性負(fù)載時，可通過功率因數(shù)值獲得電機實際有功功率。因此，發(fā)電機的功率因數(shù)是對發(fā)電機的運行狀態(tài)進行判斷的關(guān)鍵參數(shù)。

傳統(tǒng)的功率因數(shù)檢測方式，一種是檢測相電壓或相電流的上升沿或者下降沿得到周期，再通過檢測電壓與電流過零點時間差，將時間差轉(zhuǎn)換為功率因數(shù)角，從而獲得電機功率因數(shù)值[3～4]，此方式在強干擾環(huán)境下，過零點檢測誤差較大，則功率因素精度較低；另外一種是通過發(fā)電機相電流與相電壓計算電機視在功率，通過負(fù)載端得到發(fā)電機有功功率，由視在功率與有功功率比值獲得功率因數(shù)，此方法無法直接通過相電壓與相電流獲得[5～6]，必須要通過負(fù)載獲得發(fā)電機有功功率，對于交流發(fā)電機系統(tǒng)難以獲得，對于直流發(fā)電機還需對直流輸出電壓與輸出電流采樣，需占用更多的硬件資源。同時，對于DSP 來說計算根號指令，占用資源多，運行時間長；對于FPGA，無運算根號的指令，需通過其他算法對根號運算進行間接運算，步驟繁瑣，占用運算資源多。

因此，本文在DSP 平臺上，提出來一種運用近似計算的電機功率因素求解方法，在FPGA 平臺上提出一種基于鎖相環(huán)的電機功率因素求解方法，降低干擾對功率因數(shù)計算值的影響，僅需采樣兩路相電壓與相電流即可實現(xiàn)，同時使DSP 與FPGA 在算法上更容易實現(xiàn)，節(jié)約軟硬件資源。

1 電機功率因數(shù)確定原理分析

由于相電壓與相電流之間的相位差而產(chǎn)生無功功率，功率因數(shù)為有功功率與視在功率的比值，同時也為相電壓與相電流相位差余弦值。由于通過相電壓與相電流存在相位差，無法直接計算電機的有功功率，則無法直接計算功率因數(shù)。則通過間接方式獲得相電壓與相電流的相位差是確定功率因數(shù)的關(guān)鍵。通過對相電流與相電壓采樣，得到相電流ia、ib、ic與相電壓ua、ub、uc，但實際使用時僅需采樣其中A、B 兩相即可，通過式(1)、(2)對相電流的CLARK 變換的將三相電流轉(zhuǎn)換為靜止兩相電流得到αβ 軸上分量iα、iβ,同理可得相電壓在αβ 軸上分量uα、uβ。

圖1 靜止三相變換至兩相

不難發(fā)現(xiàn)，通過坐標(biāo)變換獲得的功率因數(shù)角并不是通過過零點的檢測獲得，高頻干擾對其影響遠(yuǎn)小于過零點檢測方法，同時也并不需要獲得發(fā)電機輸出的有功功率，僅需兩相相電壓與兩相相電流即可獲得功率因數(shù)值。相電壓模AU如式(4)所示，相電壓AI模可通過同理獲得。

結(jié)合式(3)和式(4)可得功率因數(shù)cosφ如式(5)所示。

式中，|AU|、|AI|表示相電壓與相電流模。

2 DSP 實現(xiàn)方法分析

由于DSP 進行根號運算時，需要占用過多時鐘周期，使用較多次數(shù)根號運算時，將使主程序的余量不夠或者用滿，帶來不可估計的風(fēng)險。由式(4)與式(5)可知，在功率因數(shù)求取的運算過程中，求模的運算需要進行根號運算，則不利于使用DSP 實現(xiàn)，因此為了規(guī)避根號運算采用近似計算的方法。

結(jié)合式(5)可知，可知計算(cosφ)2時，即可規(guī)避式(4)中的根號運算，但要獲得功率因數(shù)仍需根號運算。因此采用泰勒級數(shù)的方式進行對(cosφ)2進行化簡求解。如式(6)所示，對于任意函數(shù)在點x=x0處具有任意階導(dǎo)數(shù)，均可用泰勒級數(shù)展開。

式中f(n)(x)表示f(x)的n階導(dǎo)數(shù)，n表示階數(shù)。則令x=(cosφ)2，取x0=1則將功率因數(shù)展開為泰勒級數(shù)如式(7)所示。

由于一般發(fā)電機功率因數(shù)均工作于接近于1 的狀態(tài)，則當(dāng)電機功率接近于1 時，高階項對整體的結(jié)果較小，為了更易于編程實現(xiàn)，則在誤差允許范圍內(nèi)高階項則可省去，則式(7)可化簡為如式8 所示。

例3.There has been a lot of publicity recently about all the Hong Kong English words that have made it into the latest edition of the Oxford English Dictionary(OED).The words include a number of Cantonese loanwords(e.g.char siu and dai pai dong)(China Daily,2016-06-07)（叉燒和大排檔）

通過取固定相移角度進行計算，功率因數(shù)估算結(jié)果如表1 值。

表1 功率因數(shù)測試表

表中Err 為估算功率因數(shù)誤差。

通過計算可以看出，雖然近似計算實現(xiàn)方法算法簡單，但隨著功率因數(shù)角增大，誤差將變大。當(dāng)功率因數(shù)角低于40°時，誤差低于0.6%，此方式可用于電機工作與較高功率因數(shù)狀態(tài)下或僅用于電機故障判斷對精度要求不高使用條件下進行檢測，若需繼續(xù)提高精度只能通過增加階數(shù)的方法實現(xiàn)。

3 FPGA 實現(xiàn)方法分析

通過對DSP 近似計算方式的分析，雖然算法簡單，但仍有缺點，上述方法規(guī)避了開根號運算，但仍需做除法運算，且在功率因數(shù)較低時，計算值誤差較大，應(yīng)用場合相對局限。為了增加功率因數(shù)估算的精度，同時避免提高近似計算階數(shù)使算法更為復(fù)雜并且近似計算存在無法避免的誤差，則針對FPGA 難以進行除法及根號運算的缺點，提出運用鎖相環(huán)的方式進行功率因數(shù)估算。

3.1 FPGA 功率因數(shù)算法原理

通過圖1 所示，對于功率因數(shù)角φ正弦值可用相電壓與相電流的αβ 軸上分量表示，如式(9)所示。

同時結(jié)合式(5)，可得以下關(guān)系式：

若定義?φ為估算功率因數(shù)角度，設(shè)式(10)等于X，設(shè)式(11)等于Y，可以得到估算功率因數(shù)角與實際功率因數(shù)角的關(guān)系如式12 所示。

結(jié)合式(12)不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)估算功率因數(shù)角?φ接近于或等于實際功率因數(shù)角φ時，式(12)結(jié)果為0，利用這一特點，若采用鎖相環(huán)的方式實現(xiàn)使功率估算角度?φ與實際功率因數(shù)角φ進入鎖定狀態(tài)，此運算過程，并不需要求出實際的相電壓與相電流模值，可采用固定比例系數(shù)的方式求取誤差。此方式規(guī)避了根號及除法運算，此時功率因數(shù)估算角余弦值即為所求功率因數(shù)值。

3.2 鎖相環(huán)原理

鎖相環(huán)主要作用是實現(xiàn)估算角度與實際角度的跟蹤，最終達到對功率因數(shù)角鎖定的目的。如圖2 所示，鎖相環(huán)主要包含了鑒相器、環(huán)路濾波器、PI 調(diào)節(jié)器、累加器以及CORDIC。

圖2 鎖相環(huán)原理圖

對于鑒相器，主要作用是求取輸入角度與估算角度的誤差值，此處采用式(12)的方法對誤差值進行間接的求取，針對誤差需進行歸一化處理，將誤差轉(zhuǎn)換到0～1 的范圍內(nèi)，則可在PI 中加入歸一化系數(shù)，即取|AU|×|AI|的最大值，假設(shè)在115V 三相交流電源、相電流峰值最大峰值為100A 的使用條件下，則|AU|×|AI|=16261，但實際應(yīng)用時為防止干擾的影響，歸一化系數(shù)可取20000。

對于低通濾波器，主要用于對誤差信號進行濾波，避免高頻干擾信號對精度的影響，導(dǎo)致估算角度值產(chǎn)生誤差。由于誤差信號頻率，接近于為直流信號，則可采用低通濾波器的方式進行濾波，截止頻率可選擇200Hz 的頻率，即ωo=1256rad/s 為了保證更好的濾波效果，采用二階低通濾波器，傳遞函數(shù)如式(13)所示。

式中，An表示低通濾波器增益系數(shù)，Q表示表示低通濾波器品質(zhì)因數(shù)，本應(yīng)用中可取An=1，Q=1。

對于PI 調(diào)節(jié)器及累加器，主要用于對誤差信號進行處理，將誤差信號轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的角度誤差信號，結(jié)合累加器對PI 調(diào)節(jié)的誤差信號進行積分，通過PI 調(diào)節(jié)使PI 調(diào)節(jié)器輸出角度不斷逼近于輸入角度。其傳遞函數(shù)如式(14)所示，同時由于程序計算造成的延時如式(15)所示。

式中，Kp表示比例系數(shù)，Ki表示比例系數(shù)，Ts表示PI調(diào)節(jié)器運算周期。結(jié)合低通濾波器與PI 調(diào)節(jié)器等傳遞函數(shù)，得到鎖環(huán)環(huán)開環(huán)波特圖如圖3 所示。

圖3 鎖相環(huán)波特圖

圖3 中ωo為低通濾波器截止頻率。為防止鎖相環(huán)振蕩，功率因數(shù)估算響應(yīng)不理想，在低通濾波器截止頻率ωo=1256rad/s 條件下，此處可取PI 傳遞函數(shù)的零點為Ki/Ts=600rad/s，由于一般電機控制器控制頻率為10～20kHz，則設(shè)鎖相環(huán)調(diào)節(jié)頻率為18 kHz，則有Ts=0.55×10-4s，則積分系數(shù)Ki=0.033，由于發(fā)電機功率因數(shù)僅用于電機運行狀態(tài)及故障判斷，不直接影響發(fā)電機控制，則估算速度并不需要太快，則可取Kp=2×Ki=0.066，實際應(yīng)用的PI 參數(shù)需根據(jù)調(diào)試結(jié)果進行微調(diào)。

3.3 CORDIC 算法原理

對于CORDIC 主要求取估算功率因數(shù)角正余弦值，用于鑒相器進行誤差求取并同時獲得發(fā)電機功率因數(shù)值。

CORDIC 算法采用迭代的方式，通過系列的基本角度進行多次的旋轉(zhuǎn)，在確定基本角度的正切值的情況下，使所測角度由基本角組成，對應(yīng)正余弦值將不斷逼近所測角度實際的正余弦值。如圖4 所示，以(1，0)為基準(zhǔn)點進行旋轉(zhuǎn)，迭代次數(shù)越多，角度越逼近真實值，實際應(yīng)用時，若迭代次數(shù)采用11 次，理論角度誤差為0.056°，功率因數(shù)誤差為4.8×10-7，滿足使用要求。通過迭代后獲得最新坐標(biāo)(x，y)，其中x即為實測角度θ余弦值，y為所測角度θ正弦值。

圖4 CORDIC 原理

通過查表獲得基本角度的正切值，得到每次旋轉(zhuǎn)后最新的點坐標(biāo)，如式(16)所示。

式中，An表示由于CORDIC 變換的引入的增益，θi表示每次旋轉(zhuǎn)的角度。

4 算法仿真

通過Simulink 對鎖相環(huán)實現(xiàn)方式進行仿真，由于近似計算方式測試誤差基本可以通過計算得出則不再仿真驗證。仿真條件為三相電壓與三相電流采用頻率500Hz，相電壓有效值為115V，相電流峰值100A。如圖5 是鎖相環(huán)實現(xiàn)仿真框圖，通過改變不同的電壓與電流的相位對程序進行驗證，并且通過在電壓與電流信號注入干擾，檢驗算法的精度。

圖5 鎖相環(huán)實現(xiàn)仿真圖

當(dāng)相電壓與相電流為標(biāo)準(zhǔn)正弦信號時，通過改變不同的電壓與電流的相位對測試精度進行驗證測試，功率因數(shù)估算結(jié)果如表2 所示，功率因數(shù)估算值幾乎不存在誤差，與理論值基本一致。其中當(dāng)φ=50°時，功率因數(shù)估算波形如圖6所示，誤差響應(yīng)曲線比較理想，符合測試使用要求。

表2 功率因數(shù)測試表

圖6 φ=50°功率因數(shù)波形

通過在相電壓與相電流中加入高頻干擾進行測試，相電壓與相電壓波形如圖7 所示，通過改變不同的電壓與電流的相位對測試精度進行驗證，測試結(jié)果如表3 所示，測試平均誤差為0.06%，精度仍相對較高，符合正常使用要求。

表3 功率因數(shù)測試表

圖7 相電壓與相電流

5 結(jié)論

(1)給出了相電壓與相電流坐標(biāo)變換的功率因數(shù)原理分析方法，通過坐標(biāo)變換獲得的功率因數(shù)角規(guī)避高頻干擾對其的影響，遠(yuǎn)小于過零點檢測方法。同時僅需兩相相電壓與兩相相電流即可獲得功率因數(shù)值。

(2)給出了基于DSP+FPGA 的功率因數(shù)確定原理，近似計算的方法規(guī)避了DSP 難以實現(xiàn)根號運算的缺點；基于鎖相環(huán)的功率因數(shù)確定方法規(guī)避了FPGA 無除法器的缺點，僅采用加減乘等簡單的運算方式實現(xiàn)。

(3)通過實測表明，DSP 功率因數(shù)確定方法，當(dāng)功率因數(shù)越大時，估計功率因數(shù)誤差越小，僅可功率因數(shù)較大或故障判斷時進行使用。FPGA 功率因數(shù)確定方法，在標(biāo)準(zhǔn)正弦的測試條件下，功率因數(shù)在全范圍內(nèi)平均誤差基本不存在。在強干擾環(huán)境下，功率因數(shù)估算誤差為0.06%，均符合使用要求。