張 帥,王俊杰,李?lèi)?ài)蓮,全凌翔,崔桂梅

(內(nèi)蒙古科技大學(xué) 信息工程學(xué)院,內(nèi)蒙古 包頭 014010)

1 引 言

元啟發(fā)式算法是近年來(lái)興起的一種智能優(yōu)化技術(shù),靈感源自生物行為、物理現(xiàn)象及數(shù)學(xué)概念等,用來(lái)解決實(shí)際工程中的復(fù)雜問(wèn)題.常見(jiàn)的優(yōu)化算法包括引力搜索算法(Gravitational Search Algorithm,GSA)[1],正弦余弦優(yōu)化算法(Sine Cosine Algorithm,SCA)[2],灰狼優(yōu)化算法(Grey Wolf Optimizer,GWO)[3],鯨魚(yú)優(yōu)化算法(Whale Optimization Algorithm,WOA)[4]等.哈里斯鷹算法(Harris Hawk Optimization,HHO)[5]是Heidari等人通過(guò)模擬哈里斯鷹捕食行為提出的一種新式優(yōu)化算法,該算法由于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,調(diào)節(jié)參數(shù)少和收斂精度高等特點(diǎn),已被廣泛應(yīng)用于多個(gè)技術(shù)領(lǐng)域.文獻(xiàn)[6]將HHO算法應(yīng)用于衛(wèi)星圖像分割,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,提出的融合變異機(jī)制的HHO閾值分割技術(shù)優(yōu)于傳統(tǒng)技術(shù).文獻(xiàn)[7]將HHO算法應(yīng)用于到達(dá)時(shí)差定位問(wèn)題,通過(guò)仿真對(duì)比其它算法得到更高的定位精度.

然而,與其它智能優(yōu)化算法相同,HHO算法同樣存在收斂速度慢,易陷入局部尋優(yōu)等問(wèn)題.針對(duì)這個(gè)問(wèn)題,不少專家學(xué)者對(duì)HHO算法進(jìn)行了改進(jìn).例如:文獻(xiàn)[8]將信息交換改進(jìn)機(jī)制和混沌擾動(dòng)非線性逃逸因子引入基本HHO算法,增強(qiáng)了算法的收斂精度和魯棒性.文獻(xiàn)[9]提出了一種多子群個(gè)體交換的方法來(lái)改進(jìn)HHO算法,有效提高了算法的尋優(yōu)能力和收斂精度.文獻(xiàn)[10]在基本HHO算法中引入柯西函數(shù)變異,用來(lái)提高種群多樣性,同時(shí)用隨機(jī)收縮指數(shù)函數(shù)修正獵物能量E.最后,引入自適應(yīng)權(quán)重因子提高局部開(kāi)發(fā)能力.文獻(xiàn)[11]在基本HHO算法中引入了精英反向?qū)W習(xí)機(jī)制,用來(lái)提高種群多樣性,同時(shí)利用黃金正弦算法改進(jìn)哈里斯鷹捕食方式,增強(qiáng)了算法的局部開(kāi)發(fā)能力.

針對(duì)基本HHO算法不足之處,本文提出集成正態(tài)云模型和動(dòng)態(tài)擾動(dòng)策略的改進(jìn)哈里斯鷹算法(Improved Harris Hawks Optimization,IHHO).首先通過(guò)正態(tài)云模型和反向?qū)W習(xí)思想,在算法全局搜索階段對(duì)哈里斯鷹位置進(jìn)行更新,提高算法全局搜索能力.其次,在算法局部開(kāi)發(fā)階段加入動(dòng)態(tài)擾動(dòng)策略,以增強(qiáng)算法局部尋優(yōu)能力.

2 哈里斯鷹優(yōu)化算法

HHO是近年來(lái)新提出的一種元啟發(fā)式智能算法,源自大自然中哈里斯鷹的捕食行為.哈里斯鷹首先棲息在獵物的潛在位置,然后通過(guò)獵物能量來(lái)采取不同策略進(jìn)行捕食.HHO主要包括全局探索階段、轉(zhuǎn)換階段和局部開(kāi)發(fā)階段.圖1為HHO算法在不同階段的示意圖.

圖1 HHO不同階段示意圖

2.1 全局探索階段

在此階段,哈里斯鷹隨機(jī)分布在空間中,通過(guò)兩種不同的策略去搜探空間中的獵物,且在迭代時(shí)通過(guò)q進(jìn)行位置更新,公式如下所示:

(1)

(2)

其中:Xt+1和Xt分別表示哈里斯鷹在第t+1次和第t次迭代時(shí)的位置,Xrant和Xrabbit分別表示第t次迭代時(shí)哈里斯鷹的隨機(jī)位置和獵物位置,Xm,t表示第t次迭代時(shí)哈里斯鷹的平均位置,r1,r2,r3,r4和q均是[0,1]中的隨機(jī)數(shù),ub和lb分別為維度空間的上下界.

2.2 轉(zhuǎn)換階段

哈里斯鷹算法通過(guò)獵物能量E來(lái)切換探索和開(kāi)發(fā),公式如下所示:

(3)

E0=2*rand-1

(4)

其中:T為最大迭代次數(shù),E0為[-1,1]的隨機(jī)數(shù).

2.3 局部開(kāi)發(fā)階段

在此階段,為了更好模擬哈里斯鷹實(shí)際捕食行為,算法根據(jù)哈里斯鷹的不同捕食方法提出了4種策略對(duì)開(kāi)發(fā)階段進(jìn)行更新,并通過(guò)獵物能量和逃逸因子來(lái)選擇具體策略.

2.3.1 軟圍獵

當(dāng)|E|≥0.5且η≥0.5時(shí),獵物能量E充足,能通過(guò)跳躍方式來(lái)躲避?chē)C,哈里斯鷹通過(guò)消耗E,最終成功捕獲獵物,位置更新公式如下所示:

Xt+1=△Xi-E|JXrabbit,t-Xi|

(5)

△Xt=Xrabbit,t-Xt

(6)

J=2(1-r5)

(7)

其中:J為獵物跳躍強(qiáng)度,r5為[0,1]中的隨機(jī)數(shù).

2.3.2 硬圍獵

當(dāng)|E|<0.5且η≥0.5時(shí),獵物因?yàn)槟芰縀不足而被哈里斯鷹捕獲,位置更新公式如下所示:

Xt+1=Xrabbit,t-E|△Xt|

(8)

2.3.3 累速俯沖式軟圍獵

當(dāng)|E|≥0.5且η<0.5時(shí),獵物能量E充足,有機(jī)會(huì)躲避?chē)C,首先哈里斯鷹對(duì)獵物進(jìn)行俯沖式突襲,若突襲失敗,則執(zhí)行隨機(jī)游走策略.

(9)

其中:D和S分別為問(wèn)題維度和1×D維隨機(jī)向量.LF定義如下所示:

(10)

其中:LF(x)為L(zhǎng)evy飛行函數(shù).

2.3.4 累速俯沖式硬圍獵

當(dāng)|E|<0.5且η<0.5時(shí),獵物能量E不足,哈里斯鷹在突襲獵物之前會(huì)組織硬包圍來(lái)進(jìn)行捕食,若突襲失敗,則執(zhí)行隨機(jī)游走策略.

(11)

3 改進(jìn)哈里斯鷹優(yōu)化算法

相對(duì)其它元啟發(fā)算法,HHO算法也存在種群多樣性下降、易陷入局部尋優(yōu)等問(wèn)題,本文從3方面對(duì)基本HHO算法進(jìn)行改進(jìn).首先引入正態(tài)云模型來(lái)提高算法的種群多樣性,其次為了提高全局搜索能力,對(duì)全局最差值進(jìn)行反向?qū)W習(xí),最后引入動(dòng)態(tài)擾動(dòng)策略,進(jìn)而提高算法的局部開(kāi)發(fā)能力.

3.1 正態(tài)云模型

云模型由期望Ex、熵En和超熵He3個(gè)參數(shù)進(jìn)行描述,正態(tài)云模型中云滴的分布情況與數(shù)字參數(shù)的關(guān)系如圖2所示,可以看出當(dāng)En增大時(shí),云滴分布范圍隨之變大,當(dāng)He增大時(shí),云滴的離散程度同步增大,側(cè)面反映云滴分布的隨機(jī)性和模糊性.正向正態(tài)云發(fā)生器是產(chǎn)生基本服從正態(tài)分布云滴的一種算法,通過(guò)設(shè)定的參數(shù)來(lái)產(chǎn)生云滴,直到生成期望的云滴數(shù)量.正態(tài)云滴生成過(guò)程可定義為如下所示[12]:

圖2 云滴正態(tài)分布模型圖

X[x1,x2,…,xNd]=Gnc(Ex,En,He,Nd)

(12)

其中:Nd為期望云滴個(gè)數(shù).

本文引入正態(tài)云模型作為哈里斯鷹位置新的更新機(jī)制.通過(guò)正態(tài)云模型的期望值Ex對(duì)最優(yōu)位置解進(jìn)行開(kāi)發(fā),通過(guò)En調(diào)控其余位置解,利用He調(diào)整哈里斯鷹位置離散程度,公式如下所示[13]:

(13)

(14)

He=En×10-ξ

(15)

3.2 隨機(jī)反向?qū)W習(xí)思想

反向?qū)W習(xí)思想自被提出以來(lái),就成為優(yōu)化算法常用的一種改進(jìn)策略,主要是通過(guò)對(duì)算法可行解進(jìn)行反向?qū)W習(xí),通過(guò)評(píng)估原始解和反向解,選取更優(yōu)解加入算法迭代.為此,本文引入隨機(jī)反向?qū)W習(xí)思想對(duì)最差哈里斯鷹位置進(jìn)行更新[14],公式如下所示:

Xworst,t+1=ub1+rand×(lb1-Xworst,t)

(16)

其中:Xworst表示最差哈里斯鷹位置,ub1和lb1分別為動(dòng)態(tài)邊界的上下界.

隨著算法迭代,通過(guò)式(16)對(duì)位置最差值進(jìn)行更新,得到反向隨機(jī)解,從而提高哈里斯鷹種群多樣性和尋得全局最優(yōu)解幾率.同時(shí)隨機(jī)反向?qū)W習(xí)采用動(dòng)態(tài)邊界ub1和lb1,降低了傳統(tǒng)的固定邊界ub和lb易丟失搜索信息的問(wèn)題,也降低了改進(jìn)算法的計(jì)算復(fù)雜度.

3.3 動(dòng)態(tài)擾動(dòng)策略

當(dāng)獵物能量|E|<0時(shí),算法進(jìn)入開(kāi)發(fā)階段,但無(wú)法保證此時(shí)種群都接近全局最優(yōu),可能會(huì)導(dǎo)致收斂太早以及陷入局部尋優(yōu).因此,本文受到文獻(xiàn)[15]啟發(fā),在4種捕食策略中引入了一種動(dòng)態(tài)擾動(dòng)策略,在保證算法尋優(yōu)精度的基礎(chǔ)上能迅速跳出局部尋優(yōu).

(17)

Xψ,rabbit=ψ×Xrabbit

(18)

其中:ψ為擾動(dòng)系數(shù);Xψ,rabbit為加入擾動(dòng)后的獵物位置.

3.4 改進(jìn)算法的流程

改進(jìn)哈里斯鷹算法(IHHO)的算法流程圖如圖3所示.

圖3 IHHO流程圖

4 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文提出的IHHO改進(jìn)策略有效性,將IHHO與GSA[1]、SCA[2]、GWO[3]、WOA[4]和HHO[5]在15個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)中通過(guò)均值(Avg)和標(biāo)準(zhǔn)差(Std)進(jìn)行對(duì)比分析.本次仿真環(huán)境為:Windows10,Intel core i5-6300HQ,編程語(yǔ)言為MATLAB R2018a.算法主要參數(shù)設(shè)置如表1所示.為了仿真公平性,所有算法種群數(shù)設(shè)置為30,最大迭代數(shù)為500,各算法對(duì)每個(gè)測(cè)試函數(shù)均獨(dú)立運(yùn)行30次.

表1 算法參數(shù)設(shè)置

4.1 測(cè)試函數(shù)結(jié)果分析

在15個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)中,其中:F1～F6為單峰函數(shù),主要用來(lái)檢驗(yàn)算法的局部開(kāi)發(fā)能力;F7～F12為多峰函數(shù),用來(lái)測(cè)試算法的全局尋優(yōu)能力;F13～F15為固定維度函數(shù),側(cè)重于測(cè)驗(yàn)算法全局搜索與局部開(kāi)發(fā)的平衡能力.表2為測(cè)試函數(shù)基本信息[16].

表3為IHHO算法和對(duì)比算法在dim=30下的測(cè)試結(jié)果對(duì)比.從表3可以看出,IHHO在求解單峰函數(shù)F1～F6時(shí),IHHO測(cè)試結(jié)果均優(yōu)于對(duì)比算法,且在F1上取得了理論最優(yōu)值,而且在F2～F4上均值和標(biāo)準(zhǔn)差相對(duì)于對(duì)比算法提高了上百個(gè)數(shù)量級(jí).在求解多峰函數(shù)F7～F12時(shí),IHHO和HHO在F9和F10均達(dá)到了最優(yōu)值,且優(yōu)于剩余4種對(duì)比算法,但I(xiàn)HHO在F11和F12上優(yōu)于HHO和其它對(duì)比算法.在固定維度函數(shù)F13～F15求解時(shí),IHHO在F13和F13上均優(yōu)于對(duì)比算法,在F15上與5種對(duì)比算法尋優(yōu)效果相當(dāng).經(jīng)過(guò)上述測(cè)試結(jié)果分析,本文提出的改進(jìn)算法具有更快的尋優(yōu)速度和更優(yōu)的收斂精度.

表4為IHHO算法和對(duì)比算法在下的測(cè)試結(jié)果.可以看出,IHHO在100維度下取得了與30維度下類(lèi)似的結(jié)果.在單峰函數(shù)求解上,IHHO在F1上得到了理論最優(yōu)值0,在F2～F4上雖未達(dá)到最優(yōu)值0,尋優(yōu)精度相對(duì)基本HHO分別提高了150個(gè)、250個(gè)和100個(gè)數(shù)量級(jí).在F5和F6上尋優(yōu)精度雖然與其它對(duì)比算法相似,但I(xiàn)HHO的均值和標(biāo)準(zhǔn)差均最小.在多峰函數(shù)求解上,IHHO和HHO在F7～F10上取得了相同的尋優(yōu)結(jié)果,且在F8和F10上取得0解,除了WOA在F8上同樣取得最優(yōu)解外,IHHO在其它測(cè)試函數(shù)上均好于對(duì)比算法.

表4 不同算法測(cè)試函數(shù)結(jié)果對(duì)比(dim=100)

表5為IHHO算法和對(duì)比算法在dim=300下的測(cè)試結(jié)果.隨著測(cè)試函數(shù)維度的增加,算法求解難度也大幅度提升,算法的收斂精度相對(duì)于低維度均不同程度下降.在F1～F4上,IHHO均大幅度優(yōu)于5種對(duì)比算法,在F8和F10同WOA和HHO均取得了最優(yōu)值,在其余測(cè)試函數(shù)上均好于對(duì)比算法,綜上所述,IHHO在面對(duì)高維函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題上,改進(jìn)策略仍具有可行性.

表5 不同算法測(cè)試函數(shù)結(jié)果對(duì)比(dim=300)

4.2 收斂曲線分析

為了更加直觀反應(yīng)算法的收斂性能,采用適應(yīng)度值迭代曲線來(lái)進(jìn)行算法性能比較.測(cè)試函數(shù)維度為30,迭代次數(shù)為500次,各智能優(yōu)化算法參數(shù)設(shè)置同表1所示,各函數(shù)收斂曲線如圖4所示,其中橫坐標(biāo)為算法迭代次數(shù),縱坐標(biāo)為函數(shù)適應(yīng)度值.

圖4 測(cè)試函數(shù)收斂曲線圖

從圖4(a)～圖4(d)看出IHHO在收斂精度上,相對(duì)對(duì)比算法顯著提高.在圖4(e)和圖4(f)上略優(yōu)于HHO算法,但對(duì)其余4種算法來(lái)說(shuō),尋優(yōu)速度和收斂精度均有一定提高.驗(yàn)證加入動(dòng)態(tài)擾動(dòng)策略后,IHHO的局部開(kāi)發(fā)能力有提升.在圖4(h)和圖4(j)上IHHO和HHO取得理論最優(yōu)解,在多維函數(shù)求解上,由圖4(m)和圖4(n)看出,IHHO更具競(jìng)爭(zhēng)力,說(shuō)明IHHO在全局和開(kāi)發(fā)上的平衡力領(lǐng)先其它算法.

4.3 算法統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

一般來(lái)說(shuō),單純憑借均值和標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)評(píng)判算法的性能往往不夠精確,為了增加測(cè)試結(jié)果的說(shuō)服力,引入Wilcoxon秩和檢驗(yàn)[17]來(lái)評(píng)估IHHO在p=0.05顯著性水平下與對(duì)比算法的顯著性差異.當(dāng)p<0.05時(shí)認(rèn)為H0假設(shè)被拒絕,即算法之間存在顯著性差異;當(dāng)p>0.05時(shí),認(rèn)為同意H0假設(shè),即算法之間差異性小,算法尋優(yōu)性能相當(dāng).

表6為IHHO與GSA、SCA、GWO、WOA和HHO在dim=30和顯著性水平p=0.05下的比較結(jié)果.其中:“NaN”表示無(wú)法進(jìn)行顯著性差異判斷,“r”表示算法顯著性差異判別,“+/=/-”表示IHHO算法和對(duì)比算法之間性能的“優(yōu)于/相當(dāng)/劣于”.由表6可得,絕大多數(shù)的p都小于0.05,可以證明,IHHO改進(jìn)策略的有效性及與對(duì)比算法之間存在顯著性差異的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義.

表6 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)結(jié)果

同時(shí)利用Friedman檢驗(yàn)[18]通過(guò)比較秩來(lái)對(duì)算法進(jìn)行比較,表7為算法Friedman排名,根據(jù)秩均值來(lái)看,在下的15個(gè)測(cè)試函數(shù)中,算法的平均排名為IHHO>HHO>WOA>GWO>GSA>SCA,表明了IHHO相對(duì)其它算法,性能方面更具有整體優(yōu)越性.

表7 算法Friedman排名

4.4 不同改進(jìn)哈里斯鷹算法對(duì)比

為了進(jìn)一步驗(yàn)證IHHO改進(jìn)策略的有效性,將本文提出的IHHO與文獻(xiàn)[19]中的hHHO-SCA,記作HHHO,文獻(xiàn)[20]中的LHHO和文獻(xiàn)[10]中的MHHO進(jìn)行對(duì)比分析,為了仿真一致性,設(shè)置測(cè)試函數(shù)維度為30,種群數(shù)為30,最大迭代次數(shù)為500,選取各改進(jìn)算法在每個(gè)測(cè)試函數(shù)上獨(dú)立運(yùn)行30次的平均值(Avg)和標(biāo)準(zhǔn)差(Std)進(jìn)行分析.表8為不同改進(jìn)策略哈里斯鷹算法對(duì)比,其中HHHO數(shù)據(jù)取自文獻(xiàn)[19].通過(guò)表8可以看出,本文提出的IHHO僅在F5、F11和F12上略遜于MHHO,但基本處于一個(gè)數(shù)量級(jí),尋優(yōu)精度相差不大,其余測(cè)試函數(shù)上均好于對(duì)比的改進(jìn)HHO算法,證明了本文提出的改進(jìn)策略同其它改進(jìn)策略相比,仍然具有優(yōu)越性.

表8 不同改進(jìn)HHO算法對(duì)比

4.5 實(shí)際工程應(yīng)用

三桿桁架設(shè)計(jì)問(wèn)題[5]是一種常用的用來(lái)檢驗(yàn)改進(jìn)算法性能的實(shí)際工程問(wèn)題,設(shè)計(jì)目的是在滿足要求的前提下最小化桁架的重量.結(jié)構(gòu)示意圖如圖5所示,測(cè)試結(jié)果如表9所示,優(yōu)化模型主要由一個(gè)適應(yīng)度函數(shù),3個(gè)不等式約束條件和2個(gè)決策優(yōu)化變量組成,數(shù)學(xué)描述如下各式所示:

圖5 三桿桁架設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)圖

表9 不同算法求解三桿桁架設(shè)計(jì)問(wèn)題的對(duì)比結(jié)果

(19)

(20)

(21)

0≤xi≤1,i=1,2

(22)

l=100cm,P=2KN/cm2,σ=2KN/cm2

(23)

其中:l為撓度,P為屈曲,σ為應(yīng)力.

根據(jù)表9結(jié)果,可以看出,IHHO與GSA、SCA、GWO、WOA和HHO等算法相比,在三桿桁架設(shè)計(jì)問(wèn)題中尋優(yōu)效果更好,進(jìn)一步驗(yàn)證了IHHO在實(shí)際應(yīng)用中的可行性.

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)基本哈里斯鷹算法尋優(yōu)精度不高和收斂速度慢等問(wèn)題,提出了一種集成多策略的改進(jìn)哈里斯鷹算法.在全局搜索階段,利用正態(tài)云模型和隨機(jī)反向?qū)W習(xí)思想新全局哈里斯鷹位置,提高算法的全局搜索能力.在局部開(kāi)發(fā)階段,加入動(dòng)態(tài)擾動(dòng)策略,優(yōu)化哈里斯鷹的捕食策略,從而提高算法的局部開(kāi)發(fā)能力.通過(guò)15個(gè)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),并引入Wilcoxon秩和檢驗(yàn)、Friedman檢驗(yàn),可以得出IHHO相較于其它5種優(yōu)化算法和3種改進(jìn)哈里斯鷹算法來(lái)說(shuō),尋優(yōu)性能更為出色,最后通過(guò)三桿桁架設(shè)計(jì)問(wèn)題,進(jìn)一步證明了改進(jìn)算法在實(shí)際應(yīng)用中的可行性.在后續(xù)研究中,計(jì)劃將改進(jìn)算法用于熱軋帶鋼層流冷卻過(guò)程中,用更加復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題來(lái)驗(yàn)證算法性能.