羅李平

(衡陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南 衡陽 421002)

非線性振動(dòng)問題是近代力學(xué)、物理學(xué)和工程技術(shù)等領(lǐng)域的重要研究課題,如單擺的振動(dòng),杠、梁的振動(dòng),建筑物和機(jī)器的振動(dòng),飛行器的結(jié)構(gòu)振動(dòng)等.在力學(xué)上非線性彈性桿(組)結(jié)構(gòu)是工程上最普通的構(gòu)件之一,廣泛應(yīng)用于交通工具、傳動(dòng)軸系、船舶推進(jìn)、石油鉆探、海底電纜等眾多工程場(chǎng)合,而彈性桿(組)在數(shù)學(xué)上都是通過偏微分方程(組)來描述的,因此,可以通過對(duì)偏微分方程(組)的振動(dòng)性進(jìn)行準(zhǔn)確分析,從而分析出所對(duì)應(yīng)的機(jī)械或部件的振動(dòng)狀態(tài),這對(duì)工程上的機(jī)械減振和降噪等實(shí)際應(yīng)用具有重要的理論指導(dǎo)意義.近年來,關(guān)于這一方面的研究取得了一些很好的結(jié)果,例如文獻(xiàn)[1-2]研究了兩類具泛函變?cè)亩A非線性中立型廣義彈性桿方程的振動(dòng)性問題;文獻(xiàn)[3-5]研究了幾類具分布時(shí)滯的二階中立型廣義彈性桿方程的振動(dòng)性問題;文獻(xiàn)[6]研究了一類具混合非線性項(xiàng)的二階廣義彈性桿方程的強(qiáng)迫振動(dòng)性問題;文獻(xiàn)[7-9]研究了幾類具分布時(shí)滯的偶數(shù)階非線性中立型廣義彈性桿方程(組)的振動(dòng)性問題.本文擬考慮如下的一類具分布時(shí)滯的偶數(shù)階非線性中立型廣義彈性桿方程

a1(t)h1(u)Δu+a2(t)h2(u(x,ρ(t)))Δu(x,ρ(t)),(x,t)∈Ω×R+≡G

(1)

解的振動(dòng)性,其中u=u(x,t),n≥2是偶數(shù),Ω?Rm是有界域,?Ω逐片光滑,R+=[0,∞),且Δ是Rm中的m維Laplacian算子.

同時(shí)考慮Dirichlet邊值條件:

u=0,(x,t)∈?Ω×R+.

(2)

本文總假定下列條件成立:

(H1)r(t)∈Cn(R+,R+),0<α<β,0

引理1[10]設(shè)y(t)∈Cn([t0,∞),R)為常號(hào),在[t0,∞)上y(n)(t)≠0且滿足y(n)(t)y(t)≤0,則

(i)存在t1≥t0,使得y(i)(t)(i=1,2,…,n-1)在[t1,∞)上常號(hào);

(ii)存在l∈{0,1,2,…,n-1},n+l為奇數(shù),使得y(i)(t)>0,t≥t1,i=0,1,2,…,l;(-1)i+ly(i)(t)>0,t≥t1,i=l+1,…,n.

在下文中,總假設(shè)邊值問題(1)、(2)的解是整體存在的.

1 主要結(jié)果及其證明

定理1設(shè)如下條件成立:

(H6)r(t)>1是一個(gè)單調(diào)遞減函數(shù);

若

(3)

則邊值問題(1)、(2)的所有解在G內(nèi)振動(dòng).

方程(1)兩邊關(guān)于x在Ω上積分,有

(4)

由Green公式,邊值條件(2)及(H5)有

(5)

(6)

其中N是?Ω的單位外法向量,dS是?Ω上的面積元素.

又由(H2)、(H3)有

(7)

(8)

(9)

由式(9)有

(10)

從而有

(11)

注意到Z(t)≥r(t)U(t)≥U(t),Z′(t)>0,t≥t2,由式(11)有

(12)

注意到Z′(t)>0,r(t)單調(diào)遞減,t≥t2,從t2到t(t>t2)積分(12)可得:

進(jìn)而有

但這與式(3)矛盾,故定理1得證.

由定理1,有如下推論.

推論1若微分不等式(9)無最終正解,則邊值問題(1)、(2)的所有解在G內(nèi)振動(dòng).

定理3設(shè)如下條件成立:

若

(13)

則邊值問題(1)、(2)的所有解在G內(nèi)振動(dòng).

證明如同定理1的證明,可得式(11).注意到r(t)<1,由式(11)有

(14)

注意到Z(t)≥r(t)U(t)≥γU(t),Z′(t)>0,t≥t2,由式(14)有

(15)

注意到Z′(t)>0,t≥t2,從t2到t(t>t2)積分式(15)可得:

進(jìn)而有

但這與式(13)矛盾,故定理3得證.

類似地,可得如下定理.

定理4設(shè)(H8)成立.若

則邊值問題(1)、(2)的所有解在G內(nèi)振動(dòng).

借助如下的特征值引理,可得到許多關(guān)于邊值問題(1)、(2)的類似結(jié)果.下面,假設(shè)h1(u),h2(u)都是常數(shù)(不妨假設(shè)都是1).

引理2[11]設(shè)λ0是如下Dirichlet特征值問題

(16)

的最小特征值,φ(x)是與λ0對(duì)應(yīng)的特征函數(shù),則λ0>0,φ(x)>0,x∈Ω.

定理5設(shè)定理1中的條件均滿足,則邊值問題(1)、(2)的所有解在G內(nèi)振動(dòng).

將方程(1)兩邊同乘以Dirichlet問題(16)的最小特征值λ0所對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)φ(x),并在區(qū)域Ω上關(guān)于x積分,得

(17)

由Green公式及邊值條件(2),并結(jié)合引理2,有

(18)

(19)

又由(H2),(H3)有

(20)

(21)

(22)

由式(22)有

余下證明同定理1的后半部分的證明.故略.定理5證畢.

由微分不等式(22),有

類似于定理5的證明,可得如下定理.

定理6設(shè)(H6)、(H7)成立.若

則邊值問題(1)、(2)的所有解在G內(nèi)振動(dòng),其中λ0由問題(16)確定.

由微分不等式(22),有

類似于定理5的證明,可得如下定理.

定理7設(shè)(H6)、(H7)成立.若

則邊值問題(1)、(2)的所有解在G內(nèi)振動(dòng),其中λ0由問題(16)確定.

由定理5,有如下推論.

推論2若微分不等式(22)無最終正解,則邊值問題(1)、(2)的所有解在G內(nèi)振動(dòng).

類似地,可得如下定理.

定理8設(shè)定理3中的條件均滿足,則邊值問題(1)、(2)的所有解在G內(nèi)振動(dòng).

定理9設(shè)(H8)成立.若

則邊值問題(1)、(2)的所有解在G內(nèi)振動(dòng),其中λ0由問題(16)確定.

定理10設(shè)(H8)成立.若

則邊值問題(1)、(2)的所有解在G內(nèi)振動(dòng),其中λ0由問題(16)確定.

注1定理6、定理9中的判據(jù)僅依賴于擴(kuò)散系數(shù)a2(t).

注2利用本文的思想,還可以考慮其他邊值條件.譬如,考慮如下的Robin邊值條件

(23)

其中μ(x)∈C(?Ω,(0,∞)).只要將文中的假設(shè)條件(H5)改為:

不難得到邊值問題(1)、(23)的若干振動(dòng)判據(jù).限于篇幅,在此省略之.

2 應(yīng)用舉例

下面給出一個(gè)例子來闡述本文主要結(jié)果的有效性.

例1考慮具分布時(shí)滯的四階非線性中立型廣義彈性桿方程

(24)

及邊值條件

u(0,t)=u(π,t)=0,t≥0.

(25)