高子葉， 夏光瓊， 鄧濤， 林曉東，唐曦， 樊利， 吳正茂

1. 西南大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，重慶 400715；2. 西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400715；3. 西南大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，重慶 400715

被動(dòng)調(diào)Q固體激光器具有結(jié)構(gòu)緊湊、 效率高、 光束質(zhì)量?jī)?yōu)異、 脈寬窄和峰值功率高等優(yōu)點(diǎn), 在基礎(chǔ)科學(xué)研究、 軍事、 工業(yè)加工和醫(yī)療衛(wèi)生等眾多領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用前景． 例如, 徑向偏振調(diào)Q激光可用于各類金屬的鉆孔[1]; 高峰值功率和功率密度的調(diào)Q激光可以用于激光誘導(dǎo)等離子體點(diǎn)火[2]; 1 μm波段的調(diào)Q激光可用于治療痤瘡和黃褐斑[3]; 2.94 μm的調(diào)Q激光可消融牙本質(zhì), 從而用于牙科治療[4]． 對(duì)于這些應(yīng)用來(lái)說(shuō), 除了需要考慮調(diào)Q激光的波長(zhǎng)范圍、 偏振特性、 脈沖寬度、 脈沖能量、 脈沖峰值功率和重復(fù)頻率等之外, 通常也要求調(diào)Q激光的脈沖峰值功率具有良好一致性(即脈沖峰值功率不隨時(shí)間變化)． 因此, 目前關(guān)于被動(dòng)調(diào)Q固體激光器的研究主要集中在激光器處于單周期振蕩動(dòng)力學(xué)態(tài)． 而對(duì)于被動(dòng)調(diào)Q固體激光器處于其他的非線性動(dòng)力學(xué)態(tài)(即脈沖峰值功率隨時(shí)間變化)的研究相對(duì)較少． 在特定工作參數(shù)條件下, 被動(dòng)調(diào)Q固體激光器可呈現(xiàn)一種特殊的非線性動(dòng)力學(xué)態(tài)——脈沖混沌態(tài), 此時(shí)其輸出脈沖的峰值功率將隨時(shí)間呈現(xiàn)復(fù)雜的混沌變化趨勢(shì)． 相對(duì)于其他的混沌源而言, 基于被動(dòng)調(diào)Q固體激光器產(chǎn)生的脈沖混沌激光具有更高的峰值功率, 將其應(yīng)用到混沌雷達(dá)領(lǐng)域有望大幅度提高混沌雷達(dá)的作用距離． 因此, 對(duì)被動(dòng)調(diào)Q固體激光器非線性動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行深入研究具有重要意義．

2003年, Tang等[5]實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到被動(dòng)調(diào)Q Nd: YAG固體激光器表現(xiàn)出單周期、 倍周期以及脈沖混沌動(dòng)力學(xué)態(tài), 并從速率方程出發(fā)數(shù)值模擬了不同泵浦速率下激光器對(duì)應(yīng)呈現(xiàn)出的3種動(dòng)力學(xué)態(tài); Wei等[6]實(shí)驗(yàn)觀察到在不同泵浦功率下, 被動(dòng)調(diào)Q Nd: YAG固體激光器呈現(xiàn)出單周期、 倍周期、 多周期和脈沖混沌動(dòng)力學(xué)態(tài), 且處于不同動(dòng)力學(xué)態(tài)時(shí)激光橫模數(shù)目不同; Ng等[7]實(shí)驗(yàn)觀察到通過(guò)調(diào)節(jié)諧振腔, 被動(dòng)調(diào)Q Nd: GdVO4和 Nd: YVO4激光器均可表現(xiàn)出單周期、 倍周期、 多周期和脈沖混沌動(dòng)力學(xué)態(tài); Wei等[8]實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到被動(dòng)調(diào)Q Nd: LuVO4固體激光器也可以呈現(xiàn)出單周期、 倍周期和脈沖混沌動(dòng)力學(xué)態(tài), 并且處于脈沖混沌動(dòng)力學(xué)態(tài)時(shí)伴隨著旁瓣脈沖的出現(xiàn); Yao等[9]實(shí)驗(yàn)觀察到在較高泵浦功率下, 被動(dòng)調(diào)Q Tm: YAP固體激光器輸出脈沖幅度變得混亂, 認(rèn)為激光器進(jìn)入了脈沖混沌動(dòng)力學(xué)態(tài); Kovalsky等[10]實(shí)驗(yàn)證明了被動(dòng)調(diào)Q Nd: YAG固態(tài)激光器輸出脈沖間距具有不穩(wěn)定性, 并遵循確定性低維非線性動(dòng)力學(xué)規(guī)律; Du等[11]實(shí)驗(yàn)研究了被動(dòng)調(diào)Q Tm, Ho: GdVO4固體激光器輸出脈沖具有不穩(wěn)定性, 并將其歸因于確定性低維非線性動(dòng)力學(xué)引起的; Hong等[12]理論和實(shí)驗(yàn)研究了被動(dòng)調(diào)Q Nd: YVO4固體激光器輸出激光的脈沖寬度隨外部泵浦調(diào)制頻率的演化路徑; Bonazzola等[13-14]研究了激光橫模對(duì)被動(dòng)調(diào)Q固體激光器非線性動(dòng)力學(xué)態(tài)的影響, 并分析了極端事件(extreme events, EEs, 極端事件定義為脈沖峰值強(qiáng)度高于標(biāo)準(zhǔn)偏差的4倍)出現(xiàn)條件; Tsai等[15]實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到被動(dòng)調(diào)Q Nd: GdVO4偏振固體激光器呈現(xiàn)出單周期和脈沖混沌動(dòng)力學(xué)態(tài); Han等[16-17]實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到被動(dòng)調(diào)Q Nd: Lu0.61Gd0.39VO4固體激光器表現(xiàn)出單周期和多周期動(dòng)力學(xué)態(tài)． 2021年, 本課題組[18]實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到高重頻被動(dòng)調(diào)Q Nd: LaMgAl11O19固體激光器呈現(xiàn)出單周期和脈沖混沌動(dòng)力學(xué)態(tài), 并且分析了脈沖混沌激光的時(shí)間序列、 頻譜、 相圖、 自相關(guān)曲線和直方圖等． 上述報(bào)道針對(duì)被動(dòng)調(diào)Q固體激光器的非線性動(dòng)力學(xué)態(tài)開展了部分理論和實(shí)驗(yàn)研究, 但是激光器的非線性動(dòng)力學(xué)態(tài)隨著系統(tǒng)關(guān)鍵參量(如泵浦速率、 腔內(nèi)光子往返損耗、 腔內(nèi)光子往返時(shí)間等)變化的演化路徑還未見報(bào)道．

基于此, 本研究從四能級(jí)系統(tǒng)速率方程出發(fā), 利用四階龍格-庫(kù)塔法和自適應(yīng)變步長(zhǎng)法數(shù)值研究了被動(dòng)調(diào)Q Nd: YAG固體激光器的非線性動(dòng)力學(xué)特性, 分析了泵浦速率、 腔內(nèi)光子往返損耗、 腔內(nèi)光子往返時(shí)間等關(guān)鍵系統(tǒng)參量對(duì)被動(dòng)調(diào)Q Nd: YAG固體激光器非線性動(dòng)力學(xué)的影響． 數(shù)值模擬結(jié)果表明: 通過(guò)選取不同的關(guān)鍵參量數(shù)值, 被動(dòng)調(diào)Q固體激光器可呈現(xiàn)單周期、 倍周期、 多周期以及脈沖混沌動(dòng)力學(xué)態(tài); 連續(xù)變化其中一個(gè)關(guān)鍵參量的數(shù)值, 激光器的動(dòng)力學(xué)態(tài)既可呈現(xiàn)出經(jīng)歷單周期、 倍周期、 多周期, 再進(jìn)入脈沖混沌的演化路徑; 也呈現(xiàn)可經(jīng)歷脈沖混沌、 多周期、 倍周期, 再到單周期的演化路徑． 此外, 數(shù)值模擬結(jié)果呈現(xiàn)了處于脈沖混沌動(dòng)力學(xué)態(tài)的被動(dòng)調(diào)Q固體激光器出現(xiàn)極端事件的情形．

1 理論模型

Nd: YAG晶體具有優(yōu)良的機(jī)械和光學(xué)性能, 是常用于實(shí)現(xiàn)脈沖寬度窄、 峰值功率高、 脈沖能量大的近紅外調(diào)Q激光的固體增益介質(zhì)之一[19-22]． 在近紅外被動(dòng)調(diào)Q固體激光器中, Cr: YAG晶體常作為可飽和吸收體使用． 因此, 本研究以Nd: YAG為激光增益介質(zhì), Cr: YAG為可飽和吸收體, Nd: YAG/Cr: YAG被動(dòng)調(diào)Q固體激光器的四能級(jí)速率方程為[5]:

其中,φ為腔內(nèi)光子數(shù)密度;n2,n1,n0分別為Nd: YAG的上能級(jí)粒子數(shù)密度、 下能級(jí)粒子數(shù)密度和基態(tài)粒子數(shù)密度, 并且滿足n0+n1+n2=1.52×1020cm-3;ns和ns0分別為Cr: YAG的基態(tài)粒子數(shù)密度和初始粒子數(shù)密度;σe為Nd: YAG的受激發(fā)射截面;σa為Cr: YAG的吸收截面;γ21,γ20,γ10分別為Nd: YAG上能級(jí)到下能級(jí)的衰減速率、 上能級(jí)到基態(tài)的衰減速率、 下能級(jí)到基態(tài)的衰減速率;γs為Cr: YAG基態(tài)的衰減速率;lg為Nd: YAG的通光長(zhǎng)度;ls為Cr: YAG的通光長(zhǎng)度;c為光速;R為輸出鏡的反射率;L為腔內(nèi)光子往返損耗;tr為腔內(nèi)光子往返時(shí)間;Wp為泵浦速率． 采用四階龍格-庫(kù)塔法和自適應(yīng)變步長(zhǎng)法求解微分方程, 仿真參數(shù)見表1[5]．

表1 仿真參數(shù)

2 結(jié)果與分析

2.1 泵浦速率對(duì)被動(dòng)調(diào)Q激光非線性動(dòng)力學(xué)的影響

通常對(duì)于被動(dòng)調(diào)Q固體激光器來(lái)說(shuō), 當(dāng)增益介質(zhì)和可飽和吸收體的種類和通光長(zhǎng)度固定后, 泵浦速率、 腔內(nèi)光子往返損耗、 腔內(nèi)光子往返時(shí)間是影響被動(dòng)調(diào)Q固體激光器非線性動(dòng)力學(xué)的關(guān)鍵系統(tǒng)參量． 為了研究泵浦速率對(duì)被動(dòng)調(diào)Q固體激光器非線性動(dòng)力學(xué)的影響, 將腔內(nèi)光子往返損耗和腔內(nèi)光子往返時(shí)間固定并分別設(shè)置為0.04和800 ps． 圖1和圖2分別為在不同泵浦速率下, 調(diào)Q激光的時(shí)間序列和相圖． 圖1為時(shí)間序列, 即調(diào)Q激光的強(qiáng)度隨時(shí)間的變化趨勢(shì)圖; 圖2為相圖, 即調(diào)Q激光的脈沖峰值功率(n+1)隨脈沖峰值功率(n)的變化趨勢(shì)圖． 圖1a和圖2a是泵浦速率為600.022 500 s-1的時(shí)間序列和相圖, 從時(shí)間序列圖中可以看出調(diào)Q激光峰值功率具有恒定強(qiáng)度, 同時(shí)相圖中只有一個(gè)點(diǎn), 表明系統(tǒng)處于單周期態(tài)． 圖1b和圖2b是泵浦速率為600.022 550 s-1的時(shí)間序列和相圖, 從時(shí)間序列圖中可以看到調(diào)Q激光峰值功率具有2個(gè)數(shù)值并交替出現(xiàn), 同時(shí)相圖中出現(xiàn)了2個(gè)點(diǎn), 表明系統(tǒng)處于倍周期態(tài)． 圖1c和圖2c是泵浦速率為600.022 590 s-1的時(shí)間序列和相圖, 從時(shí)間序列圖中可以看到調(diào)Q激光峰值功率具有4個(gè)數(shù)值并周期出現(xiàn), 同時(shí)相圖中出現(xiàn)了4個(gè)點(diǎn), 表明系統(tǒng)處于四周期態(tài)． 圖1d和圖2d是泵浦速率為600.022 650 s-1的時(shí)間序列和相圖, 從時(shí)間序列圖中可以看到調(diào)Q激光峰值功率具有多個(gè)數(shù)值且無(wú)規(guī)律, 同時(shí)相圖中出現(xiàn)了一條線[23], 表明系統(tǒng)處于脈沖混沌態(tài)．

圖1 不同泵浦速率下, 被動(dòng)調(diào)Q激光的時(shí)間序列

為了進(jìn)一步研究激光器動(dòng)力學(xué)態(tài)的演化路徑, 數(shù)值模擬了調(diào)Q激光的脈沖峰值功率隨泵浦速率變化的分岔圖(圖3)． 圖3a是泵浦速率從600.022 500 s-1到600.022 700 s-1變化時(shí), 激光器的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)歷經(jīng)單周期、 倍周期、 多周期, 然后進(jìn)入脈沖混沌態(tài), 表明系統(tǒng)是經(jīng)倍周期分岔路徑進(jìn)入脈沖混沌． 圖3a中黑色虛線右側(cè)調(diào)Q激光的脈沖峰值功率表現(xiàn)出無(wú)界性, 此時(shí)調(diào)Q激光部分峰值功率會(huì)出現(xiàn)一些較高的數(shù)值, 表明此時(shí)出現(xiàn)了極端事件[13]． 圖3b是泵浦速率從609.100 365 s-1到609.100 455 s-1變化時(shí), 激光器的動(dòng)力學(xué)態(tài)呈現(xiàn)出由脈沖混沌態(tài)到單周期態(tài)的演化路徑． 圖3b中黑色虛線左側(cè)部分表明調(diào)Q激光處于脈沖混沌態(tài)時(shí)也出現(xiàn)了極端事件．

圖2 不同泵浦速率下, 被動(dòng)調(diào)Q激光的相圖

圖3 調(diào)Q激光峰值功率隨泵浦速率變化的分岔圖

2.2 腔內(nèi)光子往返損耗對(duì)被動(dòng)調(diào)Q激光非線性動(dòng)力學(xué)的影響

通常對(duì)于被動(dòng)調(diào)Q激光器來(lái)說(shuō), 腔損耗主要包括了耦合損耗(輸出鏡反射率)、 隨機(jī)損耗(散射、 衍射和吸收等)以及可飽和吸收體的殘余吸收損耗等． 耦合損耗是輸出鏡引入的損耗; 隨機(jī)損耗是光子在腔內(nèi)往返過(guò)程中由于散射、 衍射和吸收等引入的損耗; 可飽和吸收體的殘余吸收損耗主要取決于可飽和吸收體的初始透射率． 當(dāng)輸出鏡以及可飽和吸收體的參數(shù)固定時(shí), 通過(guò)調(diào)節(jié)諧振腔腔鏡的傾角可改變隨機(jī)損耗, 可以控制輸出激光的非線性動(dòng)力學(xué)態(tài)． 基于此, 對(duì)腔內(nèi)光子往返損耗對(duì)被動(dòng)調(diào)Q激光非線性動(dòng)力學(xué)的影響開展了研究． 本研究中的腔內(nèi)光子往返損耗(L)是指隨機(jī)損耗． 為了研究腔內(nèi)光子往返損耗對(duì)被動(dòng)調(diào)Q激光非線性動(dòng)力學(xué)的影響, 將泵浦速率和腔內(nèi)光子往返時(shí)間分別設(shè)置為600 s-1和800 ps． 圖4和圖5分別為在不同腔內(nèi)光子往返損耗下, 調(diào)Q激光的時(shí)間序列和相圖． 當(dāng)腔內(nèi)光子往返損耗為0.048 84,0.048 86,0.048 87,0.048 88時(shí), 調(diào)Q激光的時(shí)間序列和相圖如圖4a和圖5a、 圖4b和圖5b、 圖4c和圖5c、 圖4d和圖5d所示, 表明調(diào)Q激光工作在單周期、 倍周期、 多周期和脈沖混沌態(tài)．

圖4 在不同腔內(nèi)光子往返損耗下, 被動(dòng)調(diào)Q激光的時(shí)間序列

圖5 在不同腔內(nèi)光子往返損耗下, 被動(dòng)調(diào)Q激光的相圖

為了進(jìn)一步分析激光器動(dòng)力學(xué)狀態(tài)的演化路徑, 數(shù)值模擬了調(diào)Q激光峰值功率隨腔內(nèi)光子往返損耗變化的分岔圖(圖6)． 圖6a是腔內(nèi)光子往返損耗從0.036 43到0.036 51變化時(shí), 激光器呈現(xiàn)出從脈沖混沌態(tài)到單周期態(tài)的演化路徑; 圖6b是腔內(nèi)光子往返損耗從0.048 83到0.048 91變化時(shí), 激光器呈現(xiàn)出由單周期態(tài)進(jìn)入脈沖混沌態(tài)的倍周期分岔路徑． 另外, 圖6a和圖6b中黑色虛線左側(cè)和右側(cè)部分也出現(xiàn)了極端事件．

圖6 調(diào)Q激光峰值功率隨腔內(nèi)光子往返損耗變化的分岔圖

2.3 腔內(nèi)光子往返時(shí)間對(duì)被動(dòng)調(diào)Q激光非線性動(dòng)力學(xué)的影響

對(duì)于被動(dòng)調(diào)Q固體激光器來(lái)說(shuō), 增益介質(zhì)、 可飽和吸收體、 諧振腔的長(zhǎng)度共同決定了腔內(nèi)光子往返時(shí)間． 當(dāng)增益介質(zhì)和可飽和吸收體的長(zhǎng)度固定時(shí), 通過(guò)調(diào)節(jié)諧振腔的長(zhǎng)度可調(diào)節(jié)腔內(nèi)光子往返時(shí)間． 為了數(shù)值模擬腔內(nèi)光子往返損耗對(duì)被動(dòng)調(diào)Q激光非線性動(dòng)力學(xué)的影響, 將泵浦速率和腔內(nèi)往返損耗分別設(shè)置為600 s-1和0.04． 圖7和圖8是在不同腔內(nèi)光子往返時(shí)間下, 調(diào)Q激光的時(shí)間序列和相圖． 當(dāng)腔內(nèi)光子往返時(shí)間為800.772 000,800.771 000,800.770 940,800.770 820 ps時(shí), 調(diào)Q激光的時(shí)間序列和相圖見圖7和圖8, 說(shuō)明被動(dòng)調(diào)Q激光器的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)呈現(xiàn)為單周期、 倍周期、 多周期以及脈沖混沌態(tài)．

圖7 不同腔內(nèi)光子往返時(shí)間下, 被動(dòng)調(diào)Q激光的時(shí)間序列

圖8 不同腔內(nèi)光子往返時(shí)間下, 被動(dòng)調(diào)Q激光的相圖

為了進(jìn)一步研究腔內(nèi)光子往返時(shí)間對(duì)被動(dòng)調(diào)Q激光器非線性動(dòng)力學(xué)的影響, 本研究數(shù)值模擬了調(diào)Q激光峰值功率隨腔內(nèi)光子往返時(shí)間的演化路徑(圖9)． 圖9a和圖9b是腔內(nèi)光子往返時(shí)間在799.567 300～799.567 700,800.770 700～800.772 100 ps范圍內(nèi), 激光器表現(xiàn)出單周期態(tài)進(jìn)入脈沖混沌態(tài)的倍周期分岔路徑以及由脈沖混沌態(tài)到單周期態(tài)的演化路徑． 圖9a黑色虛線右側(cè)部分和圖9b黑色虛線左側(cè)部分表明出現(xiàn)了極端事件．

圖9 調(diào)Q激光峰值功率隨腔內(nèi)光子往返時(shí)間變化的分岔圖

3 結(jié)論

本研究基于四能級(jí)系統(tǒng)速率方程, 利用四階龍格-庫(kù)塔法和自適應(yīng)變步長(zhǎng)法數(shù)值模擬了被動(dòng)調(diào)Q Nd: YAG固體激光器的非線性動(dòng)力學(xué)特性, 分析了泵浦速率、 腔內(nèi)光子往返損耗、 腔內(nèi)光子往返時(shí)間等關(guān)鍵系統(tǒng)參量對(duì)被動(dòng)調(diào)Q激光器非線性動(dòng)力學(xué)的影響． 數(shù)值模擬結(jié)果表明: 通過(guò)選取不同的關(guān)鍵參量數(shù)值, 被動(dòng)調(diào)Q固體激光器可工作在單周期、 倍周期、 多周期以及脈沖混沌動(dòng)力學(xué)態(tài); 當(dāng)連續(xù)變化其中一個(gè)關(guān)鍵參量的數(shù)值, 激光器經(jīng)歷單周期、 倍周期、 多周期, 再進(jìn)入脈沖混沌態(tài), 呈現(xiàn)出倍周期分岔演化路徑; 激光器也可歷經(jīng)脈沖混沌、 多周期、 倍周期, 再到周期態(tài), 呈現(xiàn)出脈沖混沌到周期態(tài)的演化路徑． 首次給出隨關(guān)鍵系統(tǒng)參量變化, 被動(dòng)調(diào)Q固體激光器動(dòng)力學(xué)態(tài)呈現(xiàn)出多種演化路徑． 此外, 數(shù)值模擬結(jié)果呈現(xiàn)了處于脈沖混沌態(tài)的被動(dòng)調(diào)Q固體激光器出現(xiàn)極端事件的情形．