吳迪,陳金寶,陳傳志,趙將,馬小飛,*

1.南京航空航天大學(xué) 航天學(xué)院,南京 210016 2.西安空間無線電技術(shù)研究所,西安 710100

1 引言

近年來,隨著航天科技的不斷發(fā)展,空間可展天線在多個領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1-2]。其中構(gòu)架式可展天線憑借其高收納比、高剛度、展開穩(wěn)定性好等優(yōu)點(diǎn)已經(jīng)成功運(yùn)用在多個航天任務(wù)中[3-6],例如“和平號”空間站、環(huán)境一號C星、北斗導(dǎo)航衛(wèi)星等,但天線的工作頻段相對較低,對天線型面精度要求不高。為了擴(kuò)大構(gòu)架天線的應(yīng)用范圍,可通過優(yōu)化其桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)一步提高型面精度。構(gòu)架天線的基本桁架單元通常有四面體、四棱錐、六棱柱及六棱臺等[7-8]。由于桁架單元與反射面直接相連,所以型面精度與桁架精度密切相關(guān)。且構(gòu)架式天線桿件數(shù)量較多,單根桿件的加工裝配誤差造成的累積誤差對精度影響較為明顯。同時(shí)研究表明在空間無重力環(huán)境下,無重力型面是天線在軌使用的型面,其型面誤差主要是制造誤差產(chǎn)生[9]。因此,為了進(jìn)一步提高反射面精度,需對桁架的加工公差進(jìn)行整體優(yōu)化設(shè)計(jì),以減小隨機(jī)誤差對精度的影響。近些年,針對加工裝配過程中桿件誤差對桁架型面精度產(chǎn)生的偏差變化,在傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)法和類比法的基礎(chǔ)上,許多學(xué)者進(jìn)行了更深入的研究。文獻(xiàn)[10]通過蒙特卡洛(Monte-Carlo)隨機(jī)有限元法對桁架天線中公差與間隙對型面精度的影響進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[11]運(yùn)用蒙特卡洛方法模擬加工誤差和含間隙的多閉環(huán)機(jī)構(gòu),并對天線模塊的展開誤差進(jìn)行了求解分析,上述兩人均探討了公差對型面精度的影響,但未能定量的進(jìn)一步優(yōu)化公差。文獻(xiàn)[12-13]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(back propagation,BP)算法建立了構(gòu)架天線的預(yù)測模型,并分析了桁架型面精度、重復(fù)度和關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)誤差。文獻(xiàn)[14]通過公差分析方法及Pearson分布的確定原理,建立了裝配樹模型并對雷達(dá)天線進(jìn)行了公差分配。文獻(xiàn)[15]針對空間RSSR機(jī)構(gòu)的間隙和桿長變化,建立了機(jī)構(gòu)運(yùn)動模型,并基于區(qū)間分析法分析了機(jī)構(gòu)在多個瞬時(shí)位置時(shí)所受到的影響。文獻(xiàn)[16-17]將多目標(biāo)優(yōu)化方法應(yīng)用于天線設(shè)計(jì),提高了整體優(yōu)化分析的效率,開辟了新思路。上述關(guān)于公差對天線精度影響的研究成果頗豐,并且蒙特卡洛方法被廣泛應(yīng)用在隨機(jī)變量的分析中,但由于蒙特卡洛方法自身高耗時(shí)低效率的特點(diǎn),不利于構(gòu)建高效優(yōu)化模型,從而無法對公差設(shè)計(jì)方案進(jìn)一步優(yōu)化分析。因此如何構(gòu)建含隨機(jī)變量的高效優(yōu)化模型成為該問題的難點(diǎn)。

針對天線公差與精度的研究,除上述研究外,許多學(xué)者針對公差模型建立以及求解方法進(jìn)行了大量的研究[18-19]。目前主要的模型有尺寸樹模型、漂移公差帶模型、虛擬邊界模型、最大實(shí)體邊界模型、向量環(huán)模型以及Gap Space模型[20]等。解決公差分析問題的方法主要有極值法、統(tǒng)計(jì)法和實(shí)驗(yàn)法,極值法計(jì)算簡單,但欠缺對尺寸概率分布情況的考慮。統(tǒng)計(jì)法以蒙特卡洛方法[21-22]為代表,是多維非線性公差設(shè)計(jì)問題中最常用且簡便的方法,但該類方法存在計(jì)算成本高,無法進(jìn)行直接優(yōu)化調(diào)用等問題。實(shí)驗(yàn)法所需成本較高,但考慮現(xiàn)實(shí)情況更為全面。同時(shí)隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展,針對公差分析的軟件平臺層出不窮,常見的有3DCS軟件[23]、CAD軟件[24]和cetol6σ軟件等。上述公差研究中,以公差幾何模型構(gòu)建和計(jì)算為主,針對構(gòu)架式天線等復(fù)雜結(jié)構(gòu)并從力學(xué)角度的分析較少。

綜上可見,針對型面精度和加工成本的天線公差優(yōu)化設(shè)計(jì)問題,需要建立同時(shí)考慮二者的,包含隨機(jī)變量的高效公差優(yōu)化模型。本文針對一類四面體構(gòu)架天線桁架單元,考慮了公差范圍內(nèi)成正態(tài)分布的桿件誤差,基于最小勢能原理求解桿件在公差影響下的平衡位置,通過蒙特卡洛方法采樣得出該結(jié)構(gòu)在某一公差范圍內(nèi)的型面精度分布概率,并構(gòu)建基于徑向基函數(shù)(radial basis function,RBF)代理模型的顯式模型以代替蒙特卡洛方法的計(jì)算過程,最后結(jié)合多目標(biāo)優(yōu)化算法對其目標(biāo)值進(jìn)行優(yōu)化,所得非劣解集為后續(xù)天線設(shè)計(jì)提供參考方案。

2 構(gòu)架天線四面體桁架單元分析

四面體單元是構(gòu)架天線反射器的基本組成單元,單元型面精度對天線反射器整體型面精度具有重要影響,本文針對構(gòu)架天線四面體單元開展精度分析,后續(xù)可利用單元計(jì)算結(jié)果,根據(jù)單元間組合方式進(jìn)一步開展幾何拓展與精度計(jì)算,完成對反射器整體桁架的精度分析。

2.1 四面體單元建模

圖1(a)所示為一類構(gòu)架天線桁架結(jié)構(gòu),該結(jié)構(gòu)由多個四面體單元組成,每個單元包含4個花盤節(jié)點(diǎn)以及3根底桿和3根腹桿。

首先以正四面體單元為例建立坐標(biāo)系,如圖1(b)所示,A、B、C點(diǎn)為其底面節(jié)點(diǎn),D為其頂花盤節(jié)點(diǎn)。以D點(diǎn)為原心O,作Z軸垂直于該正四面體的底面,作Y軸平行于ABC底面,且與AD桿共面,即A點(diǎn)X坐標(biāo)為0。

圖1 天線桁架示意Fig.1 Antenna truss

桿長變化使正四面體退化為一般四面體,保持坐標(biāo)系與AD桿的夾角不變,A點(diǎn)X坐標(biāo)依舊為0。此時(shí)四面體桁架在坐標(biāo)系中存在繞AD桿旋轉(zhuǎn)的情況,因此為固定桁架在坐標(biāo)系中的位置,增設(shè)A點(diǎn)B點(diǎn)Z坐標(biāo)相同的條件。設(shè)A、B、C各點(diǎn)的坐標(biāo)為待求未知量,共有9個,考慮到A、B點(diǎn)的Z坐標(biāo)相同,所以減少1個未知量,考慮到A點(diǎn)的X軸坐標(biāo)為0,因此最終有7個未知量。同時(shí),由于桿件平衡時(shí)與原桿件方向夾角的變化影響較小,結(jié)合以往經(jīng)驗(yàn),因此忽略桿件平衡時(shí)的角度與平衡前的桿件角度的變化。

考慮桿件公差的影響,桿件模型如圖2所示。

圖2 桿長模型Fig.2 Bar length model

l代表某桿件實(shí)際加工尺寸,l0代表?xiàng)U件設(shè)計(jì)時(shí)理想尺寸,即不包含公差的尺寸,lt代表平衡時(shí)桿件尺寸,△l是加工公差,且其大小服從正態(tài)分布,lm是平衡位置的桿長與理想尺寸之間的變化量,存在如下關(guān)系:

lt=l0-lm,l=l0-△l

則桿件從實(shí)際長度l被拉伸到平衡長度lt時(shí),形變量

△x=lt-l=△l-lm

該形變量引起的應(yīng)變能為

式中:U為彈性體的應(yīng)變勢能;F為桿件所受應(yīng)力;E為彈性模量;S為桿截面面積;ε為桿件軸向應(yīng)變,此處假設(shè)所有桿件材質(zhì)、截面面積均相等。考慮到桿件為細(xì)長桿,可忽略桿件變形時(shí)的彎扭和剪切應(yīng)變能,所以桿件軸向應(yīng)變

ε=△x/l

以針對四面體單元含有的6根桿,其應(yīng)變能表達(dá)如下:

(1)

式中:i為桿件號。通過求(1)式最小值即可獲得系統(tǒng)勢能最小時(shí)的桿件變形量,進(jìn)一步推導(dǎo)出平衡狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)位置。

2.2 單元型面精度求解

采用底桿節(jié)點(diǎn)沿理想狀態(tài)下底面法向的偏移距離均方根值衡量構(gòu)架天線桁架單元型面精度:

(2)

(3)

式中:桿長腳標(biāo)A、B、C為理想狀態(tài)底面上的3個節(jié)點(diǎn);A0、B0、C0為平衡狀態(tài)時(shí)底面上的3個節(jié)點(diǎn);i0為理想狀態(tài)時(shí)的底面法向向量;α為桿AB和AC的夾角。通過對式(1)求解,所得結(jié)果代入式(2)(3)求解精度,從而完成對含任意公差天線結(jié)構(gòu)的精度計(jì)算。

3 優(yōu)化模型建立

通常多目標(biāo)優(yōu)化問題(multi-objective optimization problem,MOP)由多個存在制約關(guān)系且互相矛盾的目標(biāo)函數(shù)組成,因目標(biāo)與目標(biāo)之間沒有統(tǒng)一的衡量標(biāo)準(zhǔn),難以分配權(quán)重,所以需要通過與單目標(biāo)問題不一樣的解法求出結(jié)果。通過數(shù)學(xué)模型表示各個目標(biāo),假設(shè)求解各個目標(biāo)的最小化問題,則該多目標(biāo)優(yōu)化問題可以用如下的數(shù)學(xué)模型描述:

式中:f(X)為多目標(biāo)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù);m為目標(biāo)函數(shù)的個數(shù),且至少為2;g(X)和h(X)分別為不等式約束函數(shù)和等式約束函數(shù);p和q分別為約束個數(shù);X=[x1,x2,…,xn]為問題的設(shè)計(jì)變量;n為該設(shè)計(jì)變量的整體個數(shù);Xl和Xu組成設(shè)計(jì)變量的區(qū)間。

3.1 設(shè)計(jì)變量

如圖1所示,四面體桁架單元桿件包含腹桿和底桿兩種,此處為簡化問題,只考慮其公差范圍對稱分布,因此針對腹桿和底桿分別設(shè)置公差范圍的上限值,設(shè)置3根底桿擁有統(tǒng)一的公差,底桿公差上限值為設(shè)計(jì)變量一,3根腹桿擁有統(tǒng)一的公差,腹桿公差上限值為設(shè)計(jì)變量二,即:

x1∈[0,0.5],x2∈ [0,0.5]

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)公差數(shù)值表并結(jié)合工程實(shí)際給出設(shè)計(jì)變量一、二的取值區(qū)間,單位毫米。最后在樣本空間內(nèi)通過最優(yōu)拉丁超立方采樣方法采樣。

3.2 目標(biāo)函數(shù)

將型面精度平均值和成本系數(shù)設(shè)置為兩個優(yōu)化目標(biāo)。

針對型面精度計(jì)算,需通過蒙特卡洛方法計(jì)算在某一公差下的隨機(jī)采樣點(diǎn)的誤差,并以其平均值代表該公差所對應(yīng)的精度,其值越小,表明精度越高。考慮到桿件尺寸在公差范圍內(nèi)均服從正態(tài)分布,根據(jù)3σ原則,正態(tài)隨機(jī)分布的數(shù)據(jù)大概率分布在±3σ之間,為使桿件的隨機(jī)誤差大概率落在公差范圍內(nèi),即需要將標(biāo)準(zhǔn)差取為公差的三分一,均值為0,其正態(tài)分布參數(shù)為(0,x/3),x={x1,x2)。考慮到平均精度絕對值過小不利于表達(dá),所以乘100進(jìn)行放大,并不影響計(jì)算。平均精度為目標(biāo)一:

f1=100×ave(rms)

針對加工成本目標(biāo),考慮到通常情況下加工成本與公差成反比關(guān)系,因此,本文將設(shè)計(jì)變量之和與公差上限之和作比,通過該比例系數(shù)來衡量成本高低,是一個無量綱單位,加工成本與公差的關(guān)系近似表示為:

(4)

式中:m0為兩個設(shè)計(jì)變量所在公差區(qū)間的上限值之和,且m0=1mm。將式(4)作為成本系數(shù)并設(shè)為目標(biāo)二。

為了提高目標(biāo)值的計(jì)算效率,針對上述兩個目標(biāo)構(gòu)建相應(yīng)代理模型。代理模型是基于隱式函數(shù)的映射關(guān)系,完成顯式函數(shù)模型構(gòu)建的方法,通過樣本點(diǎn)采樣、模型構(gòu)建、測試點(diǎn)驗(yàn)證完成顯示模型的搭建,可有效提高復(fù)雜問題的計(jì)算效率。目前有多種代理模型,本文選擇RBF代理模型,其表達(dá)式如下:

3.3 優(yōu)化模型

四面體單元結(jié)構(gòu)的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型可以描述為:

為了加快優(yōu)化算法收斂提高求解效率,設(shè)置初始樣本點(diǎn)為10個,流程如圖3所示。

圖3 計(jì)算流程Fig.3 Flow chart of calculation process

4 算例分析

針對某構(gòu)架式天線的四面體單元,其設(shè)計(jì)桿長如表1所示。

表1 設(shè)計(jì)桿長

考慮到兩個設(shè)計(jì)變量取值范圍有限,根據(jù)經(jīng)驗(yàn)設(shè)置代理模型的總樣本點(diǎn)個數(shù)為10,為了使樣本點(diǎn)滿足投影均勻性和空間均布性等要求,使用基于最大最小準(zhǔn)則的最優(yōu)拉丁超立方采樣方法采樣,可保證樣本點(diǎn)之間的最小距離最大化。

4.1 目標(biāo)值計(jì)算

在使用蒙特卡洛方法時(shí),其采的數(shù)據(jù)點(diǎn)越多計(jì)算精度越高,但耗時(shí)越長,所以需要選擇適量的數(shù)據(jù)點(diǎn)。本文在相同計(jì)算機(jī)運(yùn)行狀態(tài)下分別對5個樣本點(diǎn)計(jì)算了在100個、500個、1000個隨機(jī)數(shù)據(jù)點(diǎn)情況下的精度平均值,計(jì)算結(jié)果如表2所示。

所采數(shù)據(jù)點(diǎn)個數(shù)越多計(jì)算結(jié)果越精確,若以1000個點(diǎn)時(shí)的精度平均值為標(biāo)準(zhǔn),則可以計(jì)算出100個、500個數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)算所存在的誤差,分別約為2.7%和1.1%。綜合考慮時(shí)間成本和計(jì)算誤差,決定蒙特卡洛方法中采用數(shù)據(jù)點(diǎn)的個數(shù)為500。

表2 蒙特卡洛方法對比計(jì)算

4.2 優(yōu)化結(jié)果分析

設(shè)置多目標(biāo)遺傳優(yōu)化算法迭代600次,并進(jìn)行插值優(yōu)化,每代插值所求結(jié)果如圖4(a)(c)(e)(g)所示,同時(shí)考慮到使用了代理模型,所以將非劣解的代理值與真實(shí)值進(jìn)行對比,誤差值如圖4(b)(d)(f)(h)所示,每代之間通過插值方法進(jìn)行更新,共插值3次。

圖4中(a)(c)(e)(g)為優(yōu)化解的分布圖,其橫軸為目標(biāo)一平均精度,其值越小表明平均誤差越小,即天線精度越高;縱軸為目標(biāo)二,其值越小表明桿件公差越大,即制造所需成本越低。所求設(shè)計(jì)點(diǎn)越接近圖中的左下角,表明該點(diǎn)的設(shè)計(jì)方案越具有成本低,精度高的特性。圖4(b)(d)(f)(h)為對應(yīng)解代理值與真實(shí)值的百分比誤差,其橫軸為目標(biāo)一的誤差,縱軸為目標(biāo)二的誤差,上述結(jié)果通過插值法進(jìn)行代際更新,每一代所插入的點(diǎn)列于表3中。

圖4 非劣解結(jié)果Fig.4 Pareto solution result

表3 插值點(diǎn)

由表3與圖4可得,通過3次共12個點(diǎn)的插值有效的提高了優(yōu)化結(jié)果的精度,最終誤差在8%以內(nèi),其中目標(biāo)二的誤差在1%以內(nèi),符合程序初始設(shè)計(jì)要求。由于目標(biāo)一以蒙特卡洛方法的結(jié)果為基礎(chǔ)進(jìn)行建模,所以具有一定的原始誤差,尚存在一定的優(yōu)化空間。從圖4(g)可以看出,代理點(diǎn)與真實(shí)點(diǎn)擬合程度較好,能夠反映出變量與目標(biāo)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系,從中可以得到幾組較好的設(shè)計(jì)點(diǎn),由于所得解個數(shù)較多,所以只挑選部分點(diǎn)列出,見表4。

表4 優(yōu)化結(jié)果

由表4可知,如果犧牲成本追求高精度,可以選擇第一組設(shè)計(jì)數(shù)據(jù),其具有較高的平均精度0.01309mm;如果側(cè)重考慮成本,可以在犧牲一定的精度基礎(chǔ)上選擇第5組設(shè)計(jì)數(shù)據(jù);如果同時(shí)考慮精度與成本,有其他幾組設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)以供備選,可以根據(jù)其他設(shè)計(jì)要求進(jìn)一步討論,以滿足不同需求。

同時(shí)發(fā)現(xiàn),在腹桿和底桿公差設(shè)計(jì)分別為±0.1901mm、±0.0078mm時(shí),即表4中的第一行數(shù)據(jù),平均精度值達(dá)到較小的0.01309mm,可以認(rèn)為該精度是在考慮加工成本約束下的最優(yōu)精度,對裝配、加工有極高的工藝要求。并且從表4以及其它非劣解中發(fā)現(xiàn),所求結(jié)果點(diǎn)的設(shè)計(jì)變量一取值往往大于設(shè)計(jì)變量二,即底桿公差取值往往大于腹桿公差,說明腹桿公差對型面精度的影響更為關(guān)鍵,在加工制造時(shí)需要更多關(guān)注于腹桿精度。

5 結(jié)論

本文針對空間可展開天線結(jié)構(gòu)中受加工制造誤差而產(chǎn)生的型面精度問題,首先,基于最小勢能原理建立了四面體單元的數(shù)學(xué)模型,并通過蒙特卡洛方法求解出其精度分布概率。然后使用RBF代理模型構(gòu)建了“公差-精度”之間的顯式數(shù)學(xué)模型,有效節(jié)省了計(jì)算成本。最終,建立了多目標(biāo)優(yōu)化模型,并通過多目標(biāo)遺傳優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化求解,得到多組符合不同生產(chǎn)需求的非劣解集。得出如下結(jié)論:

1)在本文的加工誤差前提下,得到多組底桿和腹桿公差設(shè)計(jì)方案,為滿足不同加工需求提供了設(shè)計(jì)基礎(chǔ)。腹桿和底桿公差設(shè)計(jì)分別為±0.1901mm、±0.0078mm時(shí),該方案具有較好的平均精度值0.01309mm,可以認(rèn)為該方案是在考慮加工成本約束下的最優(yōu)方案,對裝配、加工有極高的工藝要求。

2)從設(shè)計(jì)變量與精度的對應(yīng)關(guān)系可以得出,腹桿公差取值往往小于底桿公差,即腹桿公差對型面精度的影響更為關(guān)鍵,在加工制造時(shí)需要更加精確的腹桿精度。

3)本文在前人使用蒙特卡洛方法計(jì)算精度分布概率的基礎(chǔ)上,提出一種通過RBF代理模型代理蒙特卡洛計(jì)算的方法,構(gòu)建了公差與平均精度之間的顯式數(shù)學(xué)模型,從而在后續(xù)優(yōu)化中不需反復(fù)調(diào)用蒙特卡洛方法計(jì)算,提高了整體優(yōu)化效率,最后通過多目標(biāo)遺傳優(yōu)化算法和局部加密方法得到了誤差小于8%的非劣解集,初步實(shí)現(xiàn)了對包含隨機(jī)變量問題的優(yōu)化,同時(shí)也表明了RBF代理模型在含隨機(jī)變量模型中的適用性,為天線公差設(shè)計(jì)提供了更加高效、全面的設(shè)計(jì)方案。