何冬燕，謝瑋瑋，楊新榮

（廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣西 桂林 541004）

0 引言

眾所周知，多智能體系統(tǒng)的集群性行為已在生物學(xué)、物理學(xué)、計算機科學(xué)和控制工程等領(lǐng)域有了相應(yīng)的研究結(jié)果。例如，多機器人系統(tǒng)、無人機、編隊控制［1］、群集［2-3］和衛(wèi)星群［4］的姿態(tài)對準銜接等等。在現(xiàn)有研究中，主要有智能體的協(xié)作或競爭性行為，針對這兩種行為，常用符號圖來描述智能體之間的合作或競爭關(guān)系。［1-7］利用符號有向圖描述多智能體系統(tǒng)，可以將其用于考慮各種動態(tài)性行為的研究。［5-7］基于符號網(wǎng)絡(luò)圖的描述，如何將智能體的最終狀態(tài)達到一致性是研究者比較關(guān)注的問題，主要應(yīng)用在無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中的時鐘同步、自主智能體的交會和無人駕駛飛行器的編隊控制等領(lǐng)域。

在系統(tǒng)滿足漸近零可控且有界控制的條件下，［8］低增益反饋技術(shù)是實現(xiàn)半全局漸近鎮(zhèn)定的有效方法。該方法也被用來處理多智能體系統(tǒng)的半全局一致性問題。［15-16］利用低增益反饋技術(shù)以及李雅普諾夫函數(shù)方法，文獻［15］和［16］分別在有向網(wǎng)絡(luò)拓撲圖和無向網(wǎng)絡(luò)拓撲圖框架下研究了存在飽和約束的線性多智能體系統(tǒng)的半全局一致性問題。基于以上文獻所得結(jié)果，文獻［7］首次給出了類拉普拉斯反饋控制律使得多智能體系統(tǒng)達到半全局雙邊一致。但文獻［7］只考慮了具有定常系數(shù)矩陣的系統(tǒng)，并沒有考慮具有周期系數(shù)矩陣系統(tǒng)。然而在現(xiàn)實世界中，具有周期動力學(xué)的多智能體系統(tǒng)卻應(yīng)用于很多領(lǐng)域中，例如，機器人系統(tǒng)、衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)或飛機編隊控制等領(lǐng)域。由此可見，周期性多智能體系統(tǒng)是一類非常重要的系統(tǒng)，從而吸引了許多研究者對其進行研究。［9-12］綜上所述，關(guān)于周期多智能體系統(tǒng)的雙邊一致性研究相對較少。因此，對周期動力系統(tǒng)作進一步深入研究是十分必要的。

本文所采用以下記號：用?(A(t)) 表示矩陣A(t) 的特征乘子。令C°={z：|z| ＜1 }，C⊕={z：|z| ≤1 } 以及C?={z：|z|= 1 }，則C⊕=C°∪C?。

1 問題闡述與預(yù)備知識

1.1 符號圖的基本知識

設(shè)N階加權(quán)無符號/符號有向圖G={V，ε，Aa}，其中V={ 1，2，…，N}為節(jié)點集，ε?V×V為邊集，Aa=[aij]∈RN×N是描述邊信息的關(guān)聯(lián)鄰接矩陣。非零元素aij依附在邊(i，j)∈ε上。(i，j)∈ε表示從節(jié)點j到節(jié)點i存在有向邊，并規(guī)定aii= 0，?i= 1，2，…，N。如果aij≠0，則aij＜0 或aij＞0。正/負權(quán)重aij表示相鄰連接的兩個智能體存在合作/競爭關(guān)系。L(G)=L=[lij]∈RN×N表示拉普拉斯矩陣，如果i≠j，則lij=-aij，否則lij=在符號有向圖中，G的有向路徑是一系列邊(i1，i2)，(i2，i3)，…，(il-1，il)，其中所有節(jié)點i1，i2，…，il互不相同。如果有向圖G中有兩個不同的節(jié)點連接到有向路徑上，則稱有向圖是強連通的。

1.2 問題描述

考慮以下2π周期多智能體系統(tǒng)的雙邊一致性問題：

其中A(t)：R→Rn×n，B(t)：R→Rn×m分別為系統(tǒng)矩陣和控制矩陣。xi(t)∈Rn表示智能體i的狀態(tài)，ui(t)∈Rm表示作用于智能體i上的控制輸入，sat：Rm→Rm表示飽和函數(shù)sat(ui)=[ sat(ui1)，…，sat(uim) ]T。對于給定的系統(tǒng)（1），找到類拉普拉斯反饋控制律

使得閉環(huán)多智能體系統(tǒng)

達到半全局雙邊一致，其中K(t)∈Rm×n是待定的增益矩陣，aij表示與底層拓撲圖有關(guān)的鄰接矩陣Aa的第(i，j)個元素。

1.3 符號圖的相關(guān)知識

任意N階無符有向圖G，Gi，i= 1，2，…，q(1 ≤q≤m)，當Gi不僅是G的極大子圖，而且是強連通時，稱Gi為G的強連通分部。不失一般性，假設(shè)Gi，i= 1，2，…，q(1 ≤q≤m) 是G的強連通分部，每個強連通分量有nl，l= 1，2，…，q個節(jié)點。此外，G的拉普拉斯矩具有以下Frobenius 結(jié)構(gòu)：

定義1［7］RN正交階規(guī)范變換由D= diag {l1，l2，…，lN} 作用而來，其中l(wèi)i∈{-1，+ 1 }。經(jīng)過規(guī)范變換后，若li≠lj，則矩陣元素符號將發(fā)生改變，否則保持不變。定義是RN中所有規(guī)范變換的集合。

定義2［7］如果對于任意給定的有界集X?Rn，可以計算出一個增益矩陣K(t)，使得對任意的i，j=1，2，…，N，只要xi( 0 )∈X，且則周期多智能體系統(tǒng)（1）可達到半全局雙邊一致。

引理1［7］給定任意一個具有有向生成樹的無符有向圖G，設(shè)是與G相關(guān)聯(lián)的拉普拉斯矩陣，具有Frobenius 范式。定義其中δi，i= 2，…，q是任意標量。對于任意y∈RN，且滿足則下列不等式成立：

其中

如果G1只包含G的根節(jié)點，意味著那么Q可以是任何正數(shù)；否則，其中為有向圖G1的代數(shù)連通性，定義為

2 主要結(jié)果

假設(shè)1矩陣對(A(t)，B(t))是可控的，且矩陣A(t)滿足?(A(t))?C?。

定理1若系統(tǒng)（1）滿足假設(shè)1 且底層拓撲圖是具有有向生成樹的結(jié)構(gòu)平衡圖［5］，則可設(shè)計增益矩陣K(t)使得反饋控制定律（2）實現(xiàn)系統(tǒng)（1）的半全局雙邊一致。

由文獻［13］可知P(t，γ)隨γ單調(diào)遞增且。因此，選取γ足夠小，使得

進一步簡化得：

意味著

其中P(t)=P(t，γ)。因此，ei(t)，i= 1，2，…，N以指數(shù)速率趨于0。意味著

其中= 1，所以系統(tǒng)（1）可以達到半全局雙邊一致。因此，

又P(t，γ)隨著γ的增大而增大。因此，可以選擇γ足夠小，使得

對于xi( 0 )∈X，i= 1，2，…，N，則

即不等式（6）是滿足的。因此定理1 證畢。

3 例子驗證

下面通過文獻［8］中的例子說明本文所得結(jié)果的有效性。

考慮2π周期系統(tǒng)（1），其系數(shù)矩陣A(t)，B(t)由如下矩陣給出，并選取ω= 4。

系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣記為：

由此可計算出矩陣A(t)的特征乘子集為l(A(t))={ 1，1，1 }，因此，假設(shè)1 是成立的。

可選取γ= 0.27，β= 0.6，δ2= 0.8，δ3= 0.6，由此計算出文獻［8］中方程（11）的唯一對稱正定解為：

其中

考慮如圖1 所示的有向拓撲圖。由圖1 可知，拓撲圖共有6 個節(jié)點且含有有向生成樹。其中，虛線/實線分別表示智能體競爭/合作關(guān)系。又由強連通分部及結(jié)構(gòu)平衡的定義，節(jié)點可分為兩個子節(jié)點集V1={ 1，4，5，6 }和V2={ 2，3 }，因此，符號圖G的拉普拉斯矩陣L可表示為：

圖1 6 個智能體的網(wǎng)絡(luò)拓撲圖

由圖2～圖4 可以看出，智能體1、4、5、6 和智能體2、3 的大小相等，符號相反。誤差狀態(tài)軌跡如圖5 所示，可以看出所有智能體的誤差狀態(tài)最終趨于零。由圖6 可知，多智能體系統(tǒng)的飽和控制輸入ui(t) 均小于飽和值ω= 4。綜上所述，基于設(shè)計的類拉普拉斯反饋控制律，實現(xiàn)了周期系統(tǒng)的半全局雙邊一致。

圖2 智能體狀態(tài) = 1,…,6 軌跡圖

圖3 智能體狀態(tài),i = 1,…,6 軌跡圖

圖4 智能體狀態(tài),i = 1,…,6 軌跡圖

圖5 智能體誤差狀態(tài)軌跡圖

圖6 控制ui ( t ),i = 1,…,6

4 結(jié)語

本文主要研究了具有飽和約束的周期多智能體系統(tǒng)的半全局雙邊一致性問題。給出了類拉普拉斯反饋控制律，實現(xiàn)了周期系統(tǒng)的半全局雙邊一致。利用李雅普諾夫函數(shù)的方法，分析了該算法的收斂速度。并通過算例說明了所得結(jié)果的有效性。