高智闊,陳未如,彭弗楠

(1.沈陽化工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,遼寧 沈陽 110142;2.遼寧省化工過程工業(yè)智能化技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,遼寧 沈陽 110142)

0 引 言

在社會(huì)生產(chǎn)和工程應(yīng)用等領(lǐng)域,存在著許多的優(yōu)化問題涉及對(duì)多個(gè)目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化,并且絕大多數(shù)目標(biāo)之間是相互關(guān)聯(lián)并相互沖突的。當(dāng)目標(biāo)數(shù)為2或3時(shí),這類問題被稱為多目標(biāo)優(yōu)化問題(multi-objective optimization problem,MOP)[1]。當(dāng)目標(biāo)數(shù)大于3時(shí),這類問題被稱為超多目標(biāo)優(yōu)化問題(many-objective optimization problem, MaOP)[2]。社會(huì)實(shí)際應(yīng)用中出現(xiàn)了大量的MaOP例子,如路徑規(guī)劃問題[3]、電力優(yōu)化問題[4]、零件加工問題[5]等。

針對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化問題,研究人員結(jié)合進(jìn)化算法提出了很多多目標(biāo)進(jìn)化算法(multi-objective evolutionary algorithms,MOEAs),根據(jù)進(jìn)化機(jī)制[6]不同可將MOEAs分為以下三種:基于支配關(guān)系的NSGA-II[7]、基于分解的MOEA/D[8]、基于性能評(píng)價(jià)指標(biāo)的IBEA[9]。當(dāng)目標(biāo)數(shù)量過多時(shí),使用這些算法求解超多目標(biāo)優(yōu)化問題的性能降低,在超多目標(biāo)空間中保持解集的分布性和收斂性也很困難[10]。研究人員針對(duì)以上問題提出了很多超多目標(biāo)進(jìn)化算法(many-objective evolutionary algorithms,MaOEAs):如NSGA-III[11]在NSGA-II的基礎(chǔ)上,引入了參考點(diǎn)針對(duì)臨界支配層求解個(gè)體;R2-EMOA[12]針對(duì)種群采用快速非支配排序方法,針對(duì)臨界層使用R2指標(biāo)篩選個(gè)體;MOEA/DP[13]結(jié)合MOEA/D思想,針對(duì)投影面分解求解個(gè)體;KnRVEA[14]為子種群引入拐點(diǎn)自適應(yīng)策略和參考向量相關(guān)聯(lián)協(xié)同進(jìn)化每一個(gè)子種群;NSGA/P[15]結(jié)合MOEA/P[16]的投影面思想,對(duì)NSGA-II進(jìn)行投影支配改進(jìn);SPEA/R[17]采用目標(biāo)空間分解為參考向量的策略,使用多樣性優(yōu)先收斂性第二的選擇策略篩選個(gè)體。

隨著目標(biāo)維數(shù)的增加,種群內(nèi)的個(gè)體大都是互不支配的。使用基于支配關(guān)系的多目標(biāo)進(jìn)化算法和超多目標(biāo)進(jìn)化算法求解個(gè)體時(shí)會(huì)存在解集收斂性和分布性不足的情況,如NSGA-II和NSGA-III。為解決上述問題,該文提出了一種基于網(wǎng)格投影的超多目標(biāo)進(jìn)化算法。該算法采用MOEA/P算法的投影思想針對(duì)目標(biāo)空間進(jìn)行降維操作,將目標(biāo)空間劃分為投影維目標(biāo)空間和自由維目標(biāo)空間,降低了對(duì)超多目標(biāo)優(yōu)化問題的求解難度,針對(duì)自由維目標(biāo)空間引入網(wǎng)格適應(yīng)度選取策略[18],使得算法求得的解集具有良好的收斂性和分布性。

1 背景知識(shí)

1.1 基本概念

多目標(biāo)優(yōu)化問題在一般情況下可以描述為最小化問題,數(shù)學(xué)描述如下:

(1)

(2)

其中,Fi(i=1,2,…,M)是需要最小化的第i個(gè)目標(biāo);Ω是決策空間。在公式(2)中,g是包含J個(gè)等式和不等式的約束函數(shù),h是包含K個(gè)等式的約束函數(shù);x=(x1,x2,…,xn)是決策空間中的決策向量;當(dāng)目標(biāo)個(gè)數(shù)M的值大于3時(shí),稱其為超多目標(biāo)優(yōu)化問題。

定義1 Pareto支配:針對(duì)決策空間中的兩個(gè)個(gè)體x和y,有x支配y(記作xy),當(dāng)且僅當(dāng)x和y滿足:

(3)

定義2 Pareto最優(yōu)解:針對(duì)決策空間中的一個(gè)個(gè)體x*,當(dāng)且僅當(dāng)x*不被該決策空間中的其他任何個(gè)體x支配時(shí),則稱x*為Pareto最優(yōu)解。

定義3 Pareto最優(yōu)解集:由Pareto最優(yōu)解組成的集合稱為Pareto最優(yōu)解集,即:

P*={x*}={x∈Ω|?x'∈Ω,x'x}

(4)

定義4 Pareto前沿:P*中的全部個(gè)體映射到目標(biāo)空間的集合,稱為Pareto前沿,即:

PF*={F(x)=(F1(x),F2(x),…,FM(x))|

x∈P*}

(5)

1.2 MOEA/P算法框架

MOEA/P算法采用投影的思想,根據(jù)決策者的需求將目標(biāo)空間分解為兩部分,分別是投影面和自由維,以三維目標(biāo)問題為例,如圖1所示。其中投影面是決策者主要側(cè)重的目標(biāo)集,而自由維的目標(biāo)集則在劃分投影面的基礎(chǔ)上進(jìn)一步求解。

圖1 將目標(biāo)空間分解為投影面和自由維

1.3 GrEA算法思想

GrEA算法采用以個(gè)體為中心計(jì)算的思想,將個(gè)體在目標(biāo)空間中的目標(biāo)值計(jì)算取代為網(wǎng)格坐標(biāo)值計(jì)算,將網(wǎng)格排序(GR)、網(wǎng)格擁擠距離(GCD)和網(wǎng)格坐標(biāo)點(diǎn)距離(GCPD)作為個(gè)體篩選條件,篩選出目標(biāo)空間中收斂性和分布性較優(yōu)的個(gè)體。

2 GPEA算法

受MOEA/P算法和GrEA算法的啟發(fā),該文針對(duì)投影維目標(biāo)空間引入MOEA/P算法的投影思想,針對(duì)自由維目標(biāo)空間引入GrEA算法中的網(wǎng)格適應(yīng)度策略篩選個(gè)體,設(shè)計(jì)了一種基于網(wǎng)格投影的超多目標(biāo)進(jìn)化算法(GPEA)。

2.1 算法基本思想

GPEA算法的基本思想是使用MOEA/P算法框架,將目標(biāo)空間分解成投影維目標(biāo)空間和自由維目標(biāo)空間兩部分。其中投影維目標(biāo)空間被劃分成若干個(gè)投影格。求解過程中,針對(duì)各投影格分別進(jìn)化。在每代進(jìn)化中,篩選落入投影格內(nèi)的個(gè)體,再根據(jù)GrEA算法的網(wǎng)格思想將自由維目標(biāo)空間均勻分段成若干自由格,計(jì)算個(gè)體相對(duì)于自由格的空間屬性,利用個(gè)體非支配排序結(jié)果和自由維目標(biāo)空間個(gè)體篩選策略對(duì)這些個(gè)體進(jìn)行綜合篩選。

2.1.1 自由維目標(biāo)空間個(gè)體篩選策略

自由維目標(biāo)空間個(gè)體選擇策略是以個(gè)體在自由維目標(biāo)空間內(nèi)的自由格排序(FGR)作為首要篩選條件,自由格擁擠距離(FGCD)作為次要篩選條件,自由格坐標(biāo)點(diǎn)距離(FGCPD)作為最后的篩選條件。

在對(duì)第i個(gè)自由維目標(biāo)分配自由格坐標(biāo)時(shí),自由格下界、上界對(duì)應(yīng)的目標(biāo)值lbi和ubi見公式(6)和公式(7)。

lbi=mini(P)-(maxi(P)-mini(P))/(2×g)

(6)

ubi=maxi(P)+(maxi(P)-mini(P))/(2×g)

(7)

其中,mini(P)和maxi(P)是種群P在第i個(gè)自由維目標(biāo)中的最小值和最大值,g是對(duì)自由維目標(biāo)空間中各目標(biāo)的分段數(shù)。

自由格在第i個(gè)自由維目標(biāo)中的長度為di,計(jì)算方法見公式(8)。

di=(ubi-lbi)/g

(8)

這樣,每一自由維的目標(biāo)都被均勻分割成g個(gè)分段,所有自由維上的各個(gè)分段組合成自由格。如果把每個(gè)自由維各分段標(biāo)號(hào)為0,1,…,g-1,用這些分段標(biāo)號(hào)作為個(gè)體的自由格坐標(biāo)。

定義5 自由格坐標(biāo):個(gè)體x所落入的自由格的坐標(biāo)。個(gè)體x在第i個(gè)自由維上的自由格坐標(biāo)是該個(gè)體所落入自由格在第i自由維上的分段標(biāo)號(hào)。個(gè)體x的自由格坐標(biāo)計(jì)算方法見公式(9)。

FGi(x)=?(FFi(x)-lbi)/di」

(9)

其中,lbi是自由格下界,di是自由格長度,它們的計(jì)算方法見式(6)和式(8),FF(x)=(FF1(x),FF2(x),…,FFf(x))為個(gè)體x在f個(gè)自由維組成的空間中對(duì)應(yīng)的各自由維坐標(biāo)向量,FFi(x)則是該向量在第i自由維上的分量。

定義6 自由格距離:自由格距離FGD用于表示個(gè)體x和y在自由維目標(biāo)空間中的自由格坐標(biāo)的相對(duì)位置關(guān)系,自由格距離FGD由公式(10)給出。

(10)

當(dāng)個(gè)體x和y的自由格距離值小于自由維數(shù)f時(shí),將個(gè)體y作為個(gè)體x的鄰居。在自由維目標(biāo)空間中,個(gè)體x的鄰居組成的集合為FN(x)。

定義7 自由格排序:將個(gè)體在各個(gè)自由維的自由格坐標(biāo)值的總和作為個(gè)體的自由格排序值。公式(11)為個(gè)體在自由維目標(biāo)空間中的自由格排序計(jì)算公式。

(11)

定義8 自由格擁擠距離:將個(gè)體x在自由維目標(biāo)空間上與其所有鄰居之間的距離作為個(gè)體x自由格擁擠距離,其中N(x)是個(gè)體x的鄰居組成的集合,f是自由維數(shù)。公式(12)為個(gè)體在自由維目標(biāo)空間中的自由格擁擠距離計(jì)算公式。

(12)

定義9 自由格坐標(biāo)點(diǎn)距離:將個(gè)體在自由維目標(biāo)空間上的自由維目標(biāo)值與自由格邊界點(diǎn)目標(biāo)值的歐氏距離作為自由格坐標(biāo)點(diǎn)距離。公式(13)為個(gè)體在自由維目標(biāo)空間中的自由格坐標(biāo)點(diǎn)距離計(jì)算公式。

FGCPD(x)=

(13)

2.1.2 投影格適應(yīng)度

投影格適應(yīng)度是指個(gè)體x相對(duì)于投影格中心點(diǎn)Z的位置關(guān)系,個(gè)體的投影格適應(yīng)度計(jì)算方法由公式(14)給出。

GP(x)=

(14)

其中,投影格中心點(diǎn)向量Z=(Z1,Z2,…,Zp);FP為歸一化后的投影維目標(biāo)空間,對(duì)應(yīng)個(gè)體x在該空間的歸一量為FP(x)=(FP1(x),FP2(x),…,FPp(x));p為投影維目標(biāo)空間目標(biāo)數(shù),k為投影維分段數(shù)。

2.2 算法框架

GPEA算法框架描述如下:

GPEA算法

輸入:

M(目標(biāo)個(gè)數(shù)),

N(種群大小),

E(最大進(jìn)化代數(shù)),

DS(標(biāo)決策空間),

g(自由維自由格分段數(shù)),

k(投影維投影格分段數(shù))

輸出:目標(biāo)解集OP

過程:

步驟1:目標(biāo)空間劃分。

根據(jù)DS設(shè)置將目標(biāo)空間劃分為投影維目標(biāo)空間和自由維目標(biāo)空間,其中投影維目標(biāo)空間目標(biāo)數(shù)為p,自由維目標(biāo)空間目標(biāo)數(shù)為f;投影維目標(biāo)空間劃分投影格數(shù)為kp,自由維目標(biāo)空間的自由格數(shù)為gf;劃分投影格并為投影格分配投影格序號(hào)i(i=1,2,…,kp)。

步驟2:初始化種群。

設(shè)投影格序號(hào)i=1,為其初始化大小為N的種群P1;

步驟3:種群進(jìn)化。

步驟3.1:對(duì)種群Pi內(nèi)的個(gè)體進(jìn)行交叉變異產(chǎn)生子代個(gè)體,合并父代和子代的個(gè)體組成新種群CPi;計(jì)算種群CPi內(nèi)所有個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值,對(duì)投影維目標(biāo)空間進(jìn)行歸一化操作,為所有個(gè)體計(jì)算投影格適應(yīng)度;

步驟3.2:從種群CPi中選擇N個(gè)良好的個(gè)體。

將種群CPi內(nèi)全部個(gè)體投影到投影維目標(biāo)空間中按照個(gè)體的投影格適應(yīng)度進(jìn)行分類,將落入投影格內(nèi)的個(gè)體放入列表PL中,將落入投影格外的個(gè)體放入列表FL中;如果列表PL內(nèi)的個(gè)體數(shù)大于等于N,則執(zhí)行步驟3.2.1,否則執(zhí)行步驟3.2.2;

步驟3.2.1:針對(duì)列表PL內(nèi)的個(gè)體在自由維目標(biāo)空間中進(jìn)行非支配排序,生成的R個(gè)非支配子集F1,F2,…,FR;將非支配子集內(nèi)個(gè)體依次放入列表LN中并保證LN內(nèi)個(gè)體數(shù)小于N,直到Fr,當(dāng)Fr放入列表LN時(shí),LN內(nèi)個(gè)體數(shù)剛好大于等于N;計(jì)算非支配子集Fr中個(gè)體的自由格排序FGR、自由格擁擠距離FGCD、自由格坐標(biāo)點(diǎn)距離FGCPD,利用自由維目標(biāo)空間個(gè)體篩選策略依次選擇較優(yōu)的個(gè)體放入列表LN中,直至列表LN內(nèi)的個(gè)體數(shù)正好等于N。轉(zhuǎn)步驟3.3;

步驟3.2.2:將列表PL內(nèi)的所有個(gè)體放入到列表LN中,依次選擇列表FL內(nèi)投影適應(yīng)度較優(yōu)的個(gè)體依次放入到列表LN中,直至列表LN內(nèi)的個(gè)體數(shù)量正好等于N。轉(zhuǎn)步驟3.3;

步驟3.3:判斷投影格種群Pi是否達(dá)到了最大進(jìn)化代數(shù)E:

若種群Pi未達(dá)到最大進(jìn)化代數(shù),則將列表LN中的個(gè)體作為投影格i的新一代種群Pi,繼續(xù)執(zhí)行步驟3的種群進(jìn)化操作;

若種群Pi達(dá)到了最大進(jìn)化代數(shù),則將列表LN中的個(gè)體并入目標(biāo)解集OP中,并在OP中只保留非支配個(gè)體。此時(shí),若i

步驟4:輸出OP。

3 實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 測(cè)試問題

該文選取DTLZ[19]測(cè)試問題集中的DTLZ1-DTLZ4測(cè)試問題作為比較的基礎(chǔ),其中DTLZ1和DTLZ3測(cè)試函數(shù)為算法收斂到Pareto前沿創(chuàng)造了很多困難,DTLZ2和DTLZ4測(cè)試函數(shù)用于測(cè)試算法處理不同形狀問題的能力。這些測(cè)試問題都可以擴(kuò)展到任意個(gè)數(shù)的目標(biāo)和決策向量,用其來驗(yàn)證所提算法的性能。

3.2 性能指標(biāo)

為了評(píng)價(jià)算法的綜合性能,采用了反向迭代距離指標(biāo)(IGD)[20]來評(píng)價(jià)算法求得解集的收斂性和分布性。IGD衡量的是算法求得的解集與真實(shí)Pareto前沿的個(gè)體之間的最小距離的平均值,計(jì)算IGD需要預(yù)先得到該問題的一組均勻的Pareto前沿真實(shí)解集。

IGD指標(biāo)的計(jì)算公式為:

(15)

(16)

其中,S為算法求得的一組Pareto近似解集;P*為一組均勻采樣的Pareto前沿點(diǎn)集;x是P*中的個(gè)體;s是S中的個(gè)體;|P*|是Pareto前沿點(diǎn)集中個(gè)體的數(shù)量;si是Pareto近似解集中個(gè)體s在第i個(gè)目標(biāo)中的目標(biāo)值;xi是Pareto前沿點(diǎn)集中個(gè)體x在第i個(gè)目標(biāo)中的目標(biāo)值;dist(x,s)是個(gè)體x到S最近的個(gè)體的歐氏距離。IGD的值越小,算法求得的解集越接近Pareto真實(shí)前沿,表明算法求得的解集具有較好的收斂性和多樣性。

3.3 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

為了驗(yàn)證該算法的性能,實(shí)驗(yàn)選取MOEA/D、GrEA、NSGA-III、NSGA/P、MOEA/DP作為對(duì)比,在DTLZ1～DTLZ4測(cè)試問題的3、5、7、10目標(biāo)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

交叉變異參數(shù)設(shè)置:為所有算法使用模擬二進(jìn)制交叉操作和多項(xiàng)式變異操作,其中交叉概率設(shè)置為1,變異概率設(shè)置為1/n,n是決策變量個(gè)數(shù),交叉變異的分布指標(biāo)都設(shè)置為20。

算法自身對(duì)比參數(shù)設(shè)置:在10目標(biāo)的DTLZ1～DTLZ4測(cè)試問題,決策變量個(gè)數(shù)n=12,進(jìn)化代數(shù)E=6 000,種群大小N=220,性能指標(biāo)選用IGD的實(shí)驗(yàn)條件下進(jìn)行算法對(duì)比參數(shù)設(shè)置。為探究投影維目標(biāo)空間設(shè)置對(duì)算法性能的影響,設(shè)置投影維目標(biāo)空間數(shù)p依次為1,2,…,7,投影維分段數(shù)k=2,自由維分段數(shù)g=8;為探究投影維分段數(shù)k對(duì)算法性能的影響,設(shè)置k的值依次為1,2,…,7,自由維分段數(shù)g=8;為探究自由維分段數(shù)g對(duì)算法的影響,設(shè)置g的值依次為4,6,8,10,12,14,16,投影維分段數(shù)k=2。以上每組測(cè)試獨(dú)立運(yùn)行20次。

不同算法對(duì)比參數(shù)設(shè)置:設(shè)置所有測(cè)試問題對(duì)應(yīng)的投影維分段數(shù)k=2,自由維分段數(shù)g=8;針對(duì)3目標(biāo)問題,決策變量個(gè)數(shù)n=6,種群大小N=190,進(jìn)化代數(shù)E=3 000,投影維數(shù)p=1;針對(duì)5目標(biāo)問題,決策變量個(gè)數(shù)n=8,種群大小N=210,進(jìn)化代數(shù)E=4 000,投影維數(shù)p=2;針對(duì)7目標(biāo)問題,決策變量個(gè)數(shù)n=10,種群大小N=210,進(jìn)化代數(shù)E=5 000,投影維數(shù)p=3;針對(duì)10目標(biāo)問題,決策變量個(gè)數(shù)n=12,種群大小N=220,進(jìn)化代數(shù)E=6 000,投影維數(shù)p=4;每組測(cè)試獨(dú)立運(yùn)行30次。

3.4 結(jié)果與分析

圖2表示在投影維分段數(shù)k和自由維分段數(shù)g不變的情況下,投影維數(shù)p變化對(duì)IGD值變化的曲線。從圖中可以看出,當(dāng)投影維數(shù)小于3時(shí),IGD值逐漸減小,使用投影思想可以提高算法的求解效果,降低了算法在自由維目標(biāo)空間中求解難度;但是在投影維數(shù)超過3以后,IGD的值開始緩慢增加,在投影維數(shù)過多的時(shí)候,個(gè)體在自由維目標(biāo)空間中的收斂性和分布性相對(duì)片面地表示個(gè)體在目標(biāo)空間中的收斂性和分布性,此時(shí)算法的求解效果較差;當(dāng)投影維數(shù)約占目標(biāo)總數(shù)的1/3時(shí),算法的求解效果較好。

圖2 GPEA在DTLZ測(cè)試問題上不同 投影維數(shù)的IGD變化曲線

圖3表示在投影維數(shù)p和自由維分段數(shù)g不變的情況下,投影維分段數(shù)k變化對(duì)IGD值變化的曲線。從圖中可以看出,隨著投影維分段數(shù)k的增加,IGD的值越好;在投影維分段數(shù)k設(shè)置為2及以后,IGD值的變化維持在了一個(gè)很小的范圍之內(nèi);劃分投影格對(duì)種群進(jìn)化起促進(jìn)作用,隨著投影維劃分段數(shù)的增加,進(jìn)化的投影格也就越多,種群進(jìn)化的時(shí)間成本也就越高,從算法求解時(shí)間方面考慮,建議將投影維分段數(shù)k設(shè)置為2。

圖3 GPEA在DTLZ測(cè)試問題上不同投影 分段數(shù)的IGD變化曲線

圖4表示在投影維數(shù)p和投影維分段數(shù)k不變的情況下,自由維分段數(shù)g變化對(duì)IGD值變化的曲線。從圖中可以看出,隨著自由維分段數(shù)g的增加,IGD的值越好;在自由維分段數(shù)g設(shè)置為8及以后,IGD的值得變化維持在了一個(gè)很小范圍內(nèi);自由維網(wǎng)格坐標(biāo)劃分對(duì)種群的進(jìn)化起促進(jìn)作用,隨著自由維劃分段數(shù)g的增加,單位網(wǎng)格坐標(biāo)范圍減小,對(duì)應(yīng)個(gè)體的網(wǎng)格排序值差異越大,在網(wǎng)格適應(yīng)度計(jì)算中網(wǎng)格排序占據(jù)主導(dǎo)地位。從算法的求解效率方面考慮,建議將自由維分段數(shù)g設(shè)置為8。

圖4 GPEA在DTLZ測(cè)試問題上不同 網(wǎng)格分段數(shù)的IGD變化曲線

表1給出了所有算法在DTLZ1～DTLZ4測(cè)試問題上得到的IGD均值。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果中可以看出:GPEA在DTLZ1～DTLZ4測(cè)試問題上表現(xiàn)良好,在超多目標(biāo)問題空間中,種群的收斂性和多樣性得到了很好的均衡,以下針對(duì)每個(gè)DTLZ測(cè)試問題詳細(xì)分析算法的性能表現(xiàn)。

表1 不同算法在目標(biāo)數(shù)不同的DTLZ測(cè)試問題上獲得的IGD均值

續(xù)表1

DTLZ1和DTLZ3測(cè)試問題具有較多的局部帕累托前沿(Pareto Front,PF),為算法求解此類問題創(chuàng)造了更多的障礙。DTLZ2和DTLZ4測(cè)試問題具有不同形狀的PF,為算法求解此類問題維持種群多樣性提供了困難。從表1可以看出,GPEA在大多數(shù)目標(biāo)上取得了很好的結(jié)果,原因是投影維目標(biāo)空間的投影格分解策略可以協(xié)助種群跳出局部PF,網(wǎng)格投影策略可以使種群收斂到Pareto前沿,網(wǎng)格適應(yīng)度篩選策略可以使種群均勻的覆蓋到PF,提高了算法求解此類問題的魯棒性。

圖5為各算法在7目標(biāo)DTLZ4測(cè)試問題上求得最終解集的平行坐標(biāo)圖,從圖5可以看出GPEA在收斂性和分布性上取得了較好的結(jié)果;MOEA/D存在某目標(biāo)維解丟失的情況;GrEA和NSGA-III在某目標(biāo)維上存在局部解集;NSGA/P和MOEA/DP的收斂性和分布性稍弱于GPEA。

4 結(jié)束語

針對(duì)超多目標(biāo)優(yōu)化問題使用多目標(biāo)進(jìn)化算法難以保證種群的收斂性和多樣性的問題,提出了一種基于網(wǎng)格投影的超多目標(biāo)進(jìn)化算法。通過將目標(biāo)空間拆分,分別構(gòu)建投影維目標(biāo)空間和自由維目標(biāo)空間,使用投影格個(gè)體篩選策略和自由維目標(biāo)空間個(gè)體篩選策略保持種群的收斂性和多樣性,解決了MOEA求解超多目標(biāo)優(yōu)化問題難以平衡種群收斂性和多樣性的問題。通過對(duì)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)設(shè)置不同參數(shù)實(shí)驗(yàn),與MOEA/D、GrEA、NSGA-III、MOEA/DP和NSGA/P進(jìn)行對(duì)比,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,GPEA能夠很好地處理超多目標(biāo)優(yōu)化問題。下一步工作是改進(jìn)投影格個(gè)體選擇策略,研究一種新的自由維目標(biāo)空間適應(yīng)度函數(shù),并將算法與實(shí)際應(yīng)用更好地結(jié)合起來。