李曉靜，馬建偉，高計委

（河南科技大學信息工程學院，河南 洛陽 471023）

0 引言

導彈在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中發(fā)揮著相當重要的作用。在末制導過程中不僅要求導彈精確命中目標，而且往往為了增強對目標的毀傷效果，需要對碰撞角度加以約束，因而產生了帶碰撞角約束的制導問題［1］。

制導律是影響制導性能的關鍵技術，是導彈接近目標的過程中應當遵循的彈目之間的相對運動關系，決定著導彈的運動軌跡［2］。到了末制導階段，目標往往會進行逃逸，目標機動產生的干擾無法準確估計，這就對末制導律的抗干擾性有較高要求?；？刂茖ο到y(tǒng)的不確定性和外界擾動具有較強的魯棒性，因此，在制導律設計中得到了深入研究［3］。傳統(tǒng)的滑?？刂仆ǔ２捎镁€性形式的滑模面，能夠使系統(tǒng)狀態(tài)以漸近的方式收斂到平衡點上，收斂時間卻是趨于無窮的［4］。然而現(xiàn)代戰(zhàn)爭中，留給末制導的時間非常短暫，這就需要系統(tǒng)能夠快速作出響應。終端滑模控制（terminal sliding mode control，TSMC）通過引入非線性項，加快了系統(tǒng)狀態(tài)在接近平衡點時的收斂速度，確保系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內趨于穩(wěn)定［5］，但是有限收斂時間與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關。對于有限時間穩(wěn)定的進一步研究，文獻［6］提出了固定時間收斂（fixed-time convergence，F(xiàn)TC）的概念，F(xiàn)TC 理論是一種對系統(tǒng)性能要求更高的方法，可通過預先設定時間表達式中的參數計算得到收斂時間。文獻［8］討論了含有不確定干擾的制導系統(tǒng)，通過設計固定時間收斂擾動觀測器對干擾進行估計，但所設計的制導律只考慮了攻擊角約束。文獻［9］提出一種非奇異滑模面，利用自適應控制來對目標機動進行估計，設計了考慮攻擊角約束的固定時間收斂制導律，但是并沒有考慮加速度約束。文獻［10］提出了一種考慮自動駕駛儀延遲特性的非奇異終端滑模方法，但是該方法是有限時間收斂。上述文獻中的方法，將攻擊角度，收斂時間等部分因素考慮到制導律設計中，但是均未考慮加速度對制導性能的影響，事實上導彈由于物理限制，其加速度的最大值是有限的，因此，本文將考慮設計滿足加速度約束的非奇異快速終端滑模制導律。

本文基于固定時間理論，提出一種避免奇異的考慮多約束的固定時間收斂制導律。一方面同時考慮了攻擊角和加速度約束問題，將導彈的最大過載考慮到制導律設計中；另一方面利用轉換滑模面思想，提出了一種非奇異快速終端滑模面，解決了傳統(tǒng)終端滑模的奇異性問題，同時加快了系統(tǒng)的收斂速度。另外，將目標機動視作有界干擾在制導律的設計中加以補償。最后通過仿真表明，所設計的制導律與傳統(tǒng)固定時間收斂制導律相比，能夠在滿足加速度飽和約束的情況下，在給定的固定時間內以期望的攻擊角度更快速攔截目標。

1 問題模型及相關理論知識

1.1 問題模型

導彈攔截過程實際上是一個三維空間問題，然而常把它解耦成兩個平面內的相對運動問題，如圖1 所示。假設導彈和目標均為質點，速度為常值，分別用M，T，VM，VT表示。r 代表導彈和目標之間的相對距離，q 代表視線角，φM，φT分別代表導彈和目標的航跡角，aM，aT表示法向加速度。

圖1 彈目相對運動關系Fig.1 The relative motion relation between missiles and targets

制導系統(tǒng)的運動學方程可描述為：

對式（2）關于時間t 求導，可得：

終端攻擊角θ 定義為導彈攔截目標時VM，VT之間的夾角，qf為終端視線角，φTf為目標終端航跡角，則攻擊角θ 與視線角qf一一對應，關系表達式如下：

因此，通常將攻擊角約束問題轉化為考慮LOS角約束問題［11］。

假設qd是期望的終端LOS 角，定義LOS 角誤差為x1=q-qd，LOS 角速率為x2=q˙。根據式（5）可得

其中，amax為導彈的最大過載。通過式（8）可以看出，控制輸入u 不會超過導彈的最大過載。

1.2 理論知識

定義1［6］考慮如下非線性系統(tǒng)：

注1 由以上定義及引理可看出，固定時間穩(wěn)定實際上是一種特殊的有限時間穩(wěn)定，收斂時間上界Tmax與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關，可通過設計參數提前給定。

2 制導律設計

2.1 構造非奇異固定時間快速收斂終端滑模面

考慮制導系統(tǒng)（7），文獻［14］給出了一種傳統(tǒng)的固定時間終端滑模面（conventional fixed time convergence terminal sliding mode，CFTCTSM）設計方法：

2.2 制導律設計及穩(wěn)定性證明

定理1 對于制導系統(tǒng)（7），采用滑模面（17），如果制導指令aM設計為

注4 由于固定時間制導律的設計中使用符號函數來對干擾上界進行補償，所以系統(tǒng)存在抖振問題，可以利用飽和函數代替符號函數來削弱抖振，設計如下：

其中，ε0是一個很小的正常數。

3 仿真分析

為了驗證所提出的固定時間快速收斂制導律的有效性，本章采用如下方式進行仿真分析。

假設導彈和目標的初始彈目距離r0=10 km，初始LOS 角q0=π/6，航跡角φM0=π/4，φT0=5π/6，導彈和目標的速度VM=500 m/s，VT=250 m/s，目標的加速度aT=10cos（0.3t），重力加速度g=9.8 m/s2，導彈的最大過載為25 g。制導律中參數設定為l1=0.8，l1=0.2，m1=1.6，m2=0.6，l3=0.5，l4=0.3，m3=1.28，m4=0.5，由定理1 得T1=7.280 5 s，T2=14.583 3 s，T=21.863 8 s。

注5 參數的選擇直接影響收斂時間上界T 的大小，由于設定的收斂時間是任意初始條件下的收斂時間上界，因此，往往為了保證固定時間收斂，這個上界設定的比較大，而實際收斂時間要比它小。為了使設計的收斂時間上界T 更合理，通常會根據導彈機動能力來調整參數的大小。

3.1 以期望視線角攔截目標

圖2 彈目相對距離及飛行軌跡Fig.2 The relative distances and flight trajectories between missiles and targets

圖3 滑模面及導彈加速度變化曲線Fig.3 Variation curves of sliding mode surface and the acceleration of missiles

圖4 視線角及視線角速率變化曲線Fig.4 Variation curves of LOS angles and LOS angle rates

3.2 與其他的固定時間收斂制導律對比

若采用形如式（15）的固定時間終端滑模面，則制導律形式如下：

表1 不同制導律下的脫靶量與攔截時間Table 1 Miss distance and interception time under different guidance laws

圖5 彈目相對距離及飛行軌跡Fig.5 The relative distances and flight trajectories between missiles and targets

圖6 滑模面及導彈加速度變化曲線Fig.6 Variation curves of sliding mode surface and the acceleration of missiles

圖7 視線角及視線角速率變化曲線Fig.7 Variation curves of LOS angles and LOS angle rates

4 結論

本文將攻擊角約束、輸入飽和約束考慮到制導律的設計中，從而保證了所設計的制導律在滿足加速度最大過載約束的同時以期望的角度攔截目標。由于引入了多冪次形式的非奇異快速終端滑模面，使得導彈系統(tǒng)能在給定的固定時間內收斂到平衡點，解決了傳統(tǒng)終端滑?？刂拼嬖诘钠娈愋?、收斂速度慢的問題。進一步，在制導律的設計中，通過飽和函數代替符號函數，有效地削弱了控制輸入的抖振。通過仿真驗證，設計的非奇異快速固定時間收斂制導律，保證了LOS 角和LOS 角速率均在設定的固定時間內快速收斂。由于本文只考慮了平面模型的制導問題，針對帶有約束的三維空間的制導問題，將是未來的研究方向。