余興梅

(新沂市實(shí)驗(yàn)學(xué)校,江蘇 新沂 221400)

折紙活動(dòng)一直備受數(shù)學(xué)教師和中考命題者的青睞.筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐,談?wù)劺谜奂埢顒?dòng)提高初中生幾何思維水平的一些感受.

1 折紙活動(dòng)在初中幾何教學(xué)中的優(yōu)勢(shì)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程是一個(gè)合作探究交流、不斷生成的過(guò)程.在師生互動(dòng)、生生互動(dòng)這樣一個(gè)有趣的互動(dòng)合作的過(guò)程中學(xué)習(xí),學(xué)生在做中學(xué),在操作中學(xué),在交流中學(xué),不但可以培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力,還能培養(yǎng)學(xué)生的合作學(xué)習(xí)能力以及語(yǔ)言表述能力.特別是在折紙活動(dòng)中,讓每位學(xué)生都積極地參與,真正通過(guò)自我參與、動(dòng)手操作來(lái)感受獲取新知的成就感,進(jìn)一步提升在探究新知過(guò)程中對(duì)幾何思維能力的培養(yǎng),形成教學(xué)模型以夯實(shí)教學(xué)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[1].

初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的折紙不僅僅是一種單純的手工制作,更重要的是借助折紙培養(yǎng)學(xué)生幾何思維的一個(gè)創(chuàng)新活動(dòng).在學(xué)生獨(dú)立動(dòng)手操作與小組合作互動(dòng)學(xué)習(xí)活動(dòng)中有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維,開(kāi)拓學(xué)生創(chuàng)新的綜合思維能力.在折紙后會(huì)出現(xiàn)許多精彩的問(wèn)題,在解決這些問(wèn)題的過(guò)程中讓學(xué)生經(jīng)歷如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題,經(jīng)歷從猜想、再到求解驗(yàn)證的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用的能力,提高學(xué)生的幾何思維水平.

2 折紙活動(dòng)在初中幾何教學(xué)中的有效策略

2.1 借助折紙活動(dòng)得到幾何概念,幫助學(xué)生理解概念

如圖1,在《等腰三角形》的教學(xué)過(guò)程中,我們采用如下的折紙過(guò)程:讓學(xué)生拿出一張長(zhǎng)方形紙片,按照如圖的要求進(jìn)行折紙,然后用剪刀裁去下面的一部分,再把裁剪后的直角三角形展開(kāi)．所得到的三角形是什么形狀的三角形呢?

圖1 紙片折剪圖

通過(guò)紙片的折剪的過(guò)程,學(xué)生很容易得到△ABC是等腰三角形——此時(shí)學(xué)生對(duì)于等腰三角形的概念——有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形,理解得就非常透徹,從而對(duì)等腰三角形的判定也有了初步方法.

2.2 借助折紙活動(dòng)探究幾何定理,幫助學(xué)生理清思路

如圖2,在探究《等腰三角形的性質(zhì)》的教學(xué)過(guò)程中,我們采用如下的“折紙”過(guò)程:

圖2 等腰△ABC對(duì)折圖

將等腰△ABC對(duì)折,請(qǐng)大家思考:

題1 等腰△ABC是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎?如果是,其對(duì)稱(chēng)軸是什么?

通過(guò)剛才的折紙,你能用文字語(yǔ)言將你們的發(fā)現(xiàn)概括出來(lái)嗎(小組交流派代表發(fā)言)?

最后教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié):(1)等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形,頂角平分線所在的直線是它的對(duì)稱(chēng)軸;(2)等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角”);(3)等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線相互重合(簡(jiǎn)寫(xiě)成“三線合一”).

剛才通過(guò)折紙我們只是停留在幾何直觀和操作層面,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更要重視結(jié)論的準(zhǔn)確性的證明,借助于剛才的折紙?zhí)峁┑乃悸?你能證明等腰三角形的兩個(gè)底角相等嗎?

題2 已知:如圖3,△ABC中,AB=AC.求證:∠B=∠C

圖3 △ABC

解法一作頂角的平分線AD(利用SAS證明△ABD≌△ACD)除了可以得到∠B=∠C,從而說(shuō)明“等邊對(duì)等角”,同時(shí)也可以得到BD=CD,∠ADB=∠ADC=90°,即AD⊥BC,從而說(shuō)明“三線合一”.

解法二作底邊的中線AD(利用SSS證明△ABD≌△ACD),除了可以得到∠B=∠C從而說(shuō)明“等邊對(duì)等角”,同時(shí)也可以得到∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC=90°即AD⊥BC,從而說(shuō)明“三線合一”.

解法三作底邊的高線AD(利用HL證明△ABD≌△ACD),除了可以得到∠B=∠C,從而說(shuō)明“等邊對(duì)等角”,同時(shí)也可以得到∠BAD=∠CAD、BD=CD,從而說(shuō)明“三線合一”.

如果沒(méi)有上面的折紙過(guò)程,學(xué)生很難想到本題中輔助線的添加,但是通過(guò)上面折紙給學(xué)生提供了本題的解題思路——學(xué)生很容易想到添加輔助線,將要證明的兩個(gè)角等轉(zhuǎn)化在兩個(gè)三角形中,借助于三角形全等來(lái)解決問(wèn)題,在證明結(jié)論(2)的同時(shí)也將結(jié)論(3)證明出來(lái),這就培養(yǎng)了學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作和轉(zhuǎn)化的能力,采用一題多證的方法解決問(wèn)題,更好地提高了學(xué)生的幾何思維水平.

2.3 借助折紙活動(dòng)進(jìn)行探究,啟迪學(xué)生發(fā)散思維.

問(wèn)題:請(qǐng)同學(xué)們拿出一張三角形的紙片,你能通過(guò)折紙得到一個(gè)等腰三角形嗎?談?wù)勀愕恼鄯?

學(xué)生1:如圖4,折疊紙片使得點(diǎn)B與點(diǎn)C重合,得折痕MN交邊AB與點(diǎn)D,連接CD,則△BCD就是等腰三角形.理由是折痕MN是邊BC的垂直平分線,所BD=CD,所以△BCD是等腰三角形.

圖4 三角形紙片折疊圖① 圖5 三角形紙片折疊圖② 圖6 圖5變式圖1

學(xué)生2:如圖5,折疊紙片使得邊AC與BC重合,得折痕CD交邊AB與點(diǎn)D,再過(guò)點(diǎn)D畫(huà)DE∥BC交邊AC與點(diǎn)E,則△DCE就是等腰三角形.理由是因?yàn)檎郫B紙片使得邊AC與BC重合,得折痕CD,則∠BCD=∠ACD,又因?yàn)镈E∥BC,所以∠BCD=∠EDC,從而得∠ACD=∠EDC,所以DE=CE,所以△DCE是等腰三角形.

變式(1):請(qǐng)同學(xué)們拿出一張平行四邊形的紙片,你能通過(guò)折紙得到一個(gè)等腰三角形嗎?談?wù)勀愕恼鄯?

學(xué)生3:如圖6,折疊紙片使得邊AD與CD重合,得折痕DE交邊BC與點(diǎn)E,則△DCE就是等腰三角形.理由是因?yàn)檎郫B紙片使得邊AD與CD重合,得折痕CD,則∠ADE=∠CDE,又因?yàn)锳D∥BC,所以∠ADE=∠DEC,從而得∠CDE=∠DEC,所以DC=CE,所以△DCE是等腰三角形.

變式(2):請(qǐng)同學(xué)們拿出一張長(zhǎng)方形的紙片,你能通過(guò)折紙得到一個(gè)等腰三角形嗎?

談?wù)勀愕恼鄯?

學(xué)生4:如圖7,沿對(duì)角線BD折疊紙片,點(diǎn)A落在點(diǎn)E處,

圖7 圖5變式圖2 圖8 圖5變式圖3 圖9 學(xué)生6折疊圖

則重疊部分△DBF就是等腰三角形.

理由是:因?yàn)檎郫B紙片△ADB與△EDB重合,則∠ADB=∠EDB,又因?yàn)锳D∥BC,所以∠ADB=∠DBC,從而得∠EDB=∠DBC,所以DF=BF,所以△DBF是等腰三角形.

變式(3):請(qǐng)同學(xué)們拿出一張長(zhǎng)方形的紙片,你能通過(guò)折紙得到一個(gè)等邊三角形嗎?談?wù)勀愕恼鄯?

學(xué)生5:如圖8對(duì)折紙片得折痕EF,再折疊紙片使得點(diǎn)A落在折痕EF上點(diǎn)N處,則△ABN就是等邊三角形.理由是因?yàn)閷?duì)折紙片得折痕EF,則EF是邊AB的垂直平分線,所以AN=BN,又因?yàn)檎郫B紙片使得點(diǎn)A落在折痕EF上點(diǎn)N處,所以AB=BN,從而得AN=BN=AB,所以△ABN是等邊三角形.

變式(4):請(qǐng)同學(xué)們拿出一張長(zhǎng)方形的紙片,你能通過(guò)折紙得到一個(gè)菱形嗎?談?wù)勀愕恼鄯?

學(xué)生6:如圖9折疊紙片使得點(diǎn)B與點(diǎn)D重合得折痕MN,分別交邊AD與BC于點(diǎn)M、N,連接BM和DN,則四邊形BMDN就是菱形.理由是因?yàn)檎郫B紙片使得點(diǎn)B與點(diǎn)D重合得折痕MN,則MN是BD的垂直平分線,所以MN⊥BD,OB=OD,又因?yàn)锳D∥BC,所以∠ADB=∠DBC,且∠DOM=∠BON,所以△DOM≌△BON,可得OM=ON,所以四邊形BMDN就是菱形.

通過(guò)本題的折紙活動(dòng),多次變換紙片的形狀同時(shí)也變換所得到的幾何圖形的形狀,在變換的過(guò)程中,感受基本圖形的構(gòu)成,逐漸提煉出數(shù)學(xué)的本質(zhì),積累數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中的經(jīng)驗(yàn),提升了學(xué)生的幾何探究能力和發(fā)散創(chuàng)新思維能力.

3 折紙活動(dòng)教學(xué)中幾點(diǎn)建議

3.1 利用幾何畫(huà)板輔助教學(xué)

利用幾何畫(huà)板教學(xué)時(shí),可以將幾何圖形的折疊過(guò)程清晰地演示出來(lái),讓學(xué)生更直觀地觀察到變化過(guò)程,深入地理解變化過(guò)程中哪些量在變化,哪些量不變化,充分理解折疊前后的變化過(guò)程,從單純的抽象直觀的概念思維逐漸轉(zhuǎn)化成更具體更加形象豐富的幾何思維.

3.2 加強(qiáng)小組合作交流探究

在平時(shí)的課堂教學(xué)中,有很多老師不太注重學(xué)生動(dòng)手操作能力的培養(yǎng),習(xí)慣于“滿堂灌”,更不會(huì)組織學(xué)生進(jìn)行小組合作交流探究,讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過(guò)程以及思維的培養(yǎng).所以在平時(shí)的教學(xué)中,我們要選取和折紙相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容,提倡學(xué)生在實(shí)踐中先學(xué)會(huì)動(dòng)手折紙操作,交流實(shí)踐經(jīng)驗(yàn),總結(jié)實(shí)踐方法,以點(diǎn)帶面,讓折紙真正成為初中幾何實(shí)踐教學(xué)的一項(xiàng)重要活動(dòng).