王彬，王莉，孫菊賀，孫藝寧，袁艷紅

（1. 沈陽航空航天大學 理學院，沈陽 110136；2. 太原理工大學 經(jīng)濟管理學院， 太原 030024）

本文研究二階錐雙約束變分不等式問題，即求解x*∈Ω，使得

其中C={y∈Ω|-g(x*，y)∈Km}。

式中：F：Rn→Rn為單調(diào)的向量值映射；g：Rn×Rn→Rm為連續(xù)可微映射；＜·，·＞為歐氏內(nèi)積；K=Km1×Km2×…×Kmp，且m1+m2+…mp=m，mi≥1，i=1，2，…，p，每個Kmi都是mi維的二階錐，集合Ω?Rn為一閉凸集。雙約束條件是形如-g(x*，y)∈Km的約束，該條件與經(jīng)典問題的不同主要在于它將問題的參量與其自身變量聯(lián)系在一起，這給雙約束優(yōu)化問題的研究帶來了難度和挑戰(zhàn)。

作為數(shù)學規(guī)劃領域一個重要的分支，借助變分不等式問題及其特例互補問題可以構(gòu)造出多種數(shù)學模型和均衡規(guī)劃模型，因此對于其數(shù)值解的研究具有一定的理論價值和實際意義。2000年，Antipin［1］首先提出了具有雙約束條件的變分不等式問題，它在許多數(shù)學問題中都有應用，如：帶有成本預算的經(jīng)濟均衡模型［2］、雙人博弈問題［3］、雙層規(guī)劃及層次規(guī)劃［4］等。Antipin［5］研究了雙約束的均衡規(guī)劃問題，討論了對稱和反對稱函數(shù)的性質(zhì)，提出了微分反饋控制梯度法，并證明了該方法的全局收斂性?；谧兎植坏仁嚼碚摰膹V泛應用，經(jīng)典變分不等式和廣義變分不等式都已被深入研究，F(xiàn)acchinei等［6］的專著囊括了有限維空間中互補問題與變分不等式幾乎所有的基礎成果，為該領域的進一步研究提供了理論支持。

最優(yōu)性條件是最優(yōu)化問題的目標函數(shù)和約束函數(shù)在最優(yōu)點所滿足的必要條件和充分條件。最優(yōu)性條件在優(yōu)化算法的終止判定以及優(yōu)化理論的證明中有著重要作用。在最優(yōu)化理論中，Robinson約束規(guī)范條件是最著名的約束規(guī)范條件之一，在進行優(yōu)化問題的最優(yōu)性條件以及穩(wěn)定性分析的研究中有著重要作用，相關(guān)介紹可參閱文獻［7-9］。學者Bonnans等［10-11］對非線性二階錐優(yōu)化問題所做的一階必要性、二階充分性條件、約束非退化條件等內(nèi)容的描述與分析，對本文相關(guān)結(jié)論的推導有很大幫助。張立衛(wèi)［12］全面介紹了非線性錐約束優(yōu)化的最優(yōu)性理論，其中第3、4章詳細論述了一些具體的約束優(yōu)化問題的最優(yōu)性理論，還介紹了不同類型的優(yōu)化問題的Robinson約束規(guī)范、約束非退化條件、最優(yōu)解的一階必要性條件、二階充分性條件等內(nèi)容。

本文提出了雙約束二階錐變分不等式問題，并對該問題進行最優(yōu)性條件分析。通過對原始問題進行等價轉(zhuǎn)換后，借助所得出的廣義鞍點問題，建立極小極大問題模型，將其轉(zhuǎn)換為變分不等式組問題，得到該變分不等式組對應的KKT條件，應用Lagrange對偶理論得到所研究雙約束二階錐變分不等式問題的一階必要性條件?；诩s束集合的切錐、二階切集公式以及對偶理論，推導出雙約束二階錐變分不等式問題的二階充分性條件，從而實現(xiàn)雙約束二階錐變分不等式問題的解的最優(yōu)性條件的研究。

1 預備知識

為了求解雙約束二階錐變分不等式問題的一階最優(yōu)性條件，首先介紹推導過程中所用到的概念與相關(guān)性質(zhì)。

定義1［1］稱向量值函數(shù)g：Rn×Rn→Rm在Rn×Rn上是對稱的，若有式（2）成立

對稱向量值函數(shù)的具體應用可以體現(xiàn)在帶有成本限制的經(jīng)濟均衡模型中，如：或者，式中：A為對稱矩陣；v、w為n維列向量。

性質(zhì)1［1］向量值對稱函數(shù)g：Rn×Rn→Rm關(guān)于變量x和y的梯度在集合Ω×Ω上的值相等，即有式（3）成立

證明：對式（2）中等號左側(cè)關(guān)于第二元y求導，等號右側(cè)關(guān)于第二元x求導可得

在上式中，令y=x可得等號左右兩側(cè)的m×n矩陣相等，即得式（3），證畢。

性質(zhì)2［1］算子與對稱函數(shù)g(x，y)|x=y在集合Ω×Ω上的梯度是一致的，即有下述關(guān)系成立

證明：由可微的定義對g(x，y)作展開，即

在上式中，令y=x，h=k，結(jié)合性質(zhì)1及其證明可得下述展開形式

該式可以看作是對g(x，y)作Taylor展開的一種特殊情形，式中g(shù)(x，x)可視為g(x，y)在y=x(x，y∈Ω)時的函數(shù)，其梯度為?Τg(x，x)，即式（4）成立，證畢。

定義2若Kn∈Rn(n≥1)滿足則稱Kn為n維的二階錐，又稱冰激凌錐。它是自對偶的閉凸錐，且其內(nèi)點集intKn與邊界點集bdKn表述如下intKn=。

可以發(fā)現(xiàn)，當n=1時，Kn退化為非負實數(shù)集R+，因此Antipin［1］提出的具有雙約束條件的變分不等式問題是本文的雙約束二階錐變分不等式問題（1）的特殊情形。

為了研究雙約束二階錐變分不等式的二階必要性條件，下面給出二階錐的切錐與二階切集公式。

引理1［8］二階錐Kn上任意一點x=(x0，)處的切錐為

Kn上任意一點x處沿方向d∈TKn(x)的二階切集為

定義3［9］設ΚX?X與ΚY?Y是任意非空集合，與函數(shù)L：ΚX×ΚY→相聯(lián)系的原始與對偶問題定義為

稱L為上述極小極大對偶性Lagrange函數(shù)，稱∈ΚX×ΚY是函數(shù)L(x，y)的鞍點。若

定義4［13］集合C?X的指示函數(shù)記為IC，定義為

并約定IRn=0，I?=∞。

2 雙約束二階錐變分不等式的等價轉(zhuǎn)換

本文所研究的雙約束二階錐變分不等式問題（1）對應的最優(yōu)化問題

優(yōu)化問題（7）對應的Lagrange函數(shù)為

式中：x*是原始問題的最優(yōu)解；y、λ分別為原始變量與對偶變量。由于x*是f(y)在集合Ω上的最小值點，在一定正則條件下（如Slater條件成立），點對(x*，λ*)是Lagrange函數(shù)L(x*，y，λ)的鞍點，根據(jù)鞍點定義3可知，有以下鞍點不等式成立

定理1雙約束二階錐變分不等式問題（1）等價轉(zhuǎn)化為變分不等式問題（10）

證明：原問題（1）可以視作線性函數(shù)

上述不等式說明(x*，λ*)滿足下面關(guān)系

對于鞍點不等式（11），運用極小極大問題模型［14］，可做如下推導

考慮極小極大問題

(x*λ*)∈C×Km是Lagrange函數(shù)

L(x*，y，λ)的鞍點的必要條件為

即

根據(jù)對稱函數(shù)的性質(zhì)2及向量值函數(shù)g(x，x)的各分量的凸性，式（15）中第一個表達式中關(guān)于函數(shù)g(x，x)的運算可以有下面的形式

則雙約束二階錐變分不等式（1）可等價轉(zhuǎn)化為鞍點問題（16）

因此，問題（16）可以表述為下面的形式

若令Y=C×Κm，

Y={z∈Rn+m|G(z)∈Κ2m}，其中參量z=，約束條件為，證畢。

3 一階必要性條件

本節(jié)研究問題（10）對應的優(yōu)化問題（18）的Lagrange對偶理論，由此分析出其最優(yōu)解同時也包括原變分不等式的解需要滿足的一階必要條件，并對相關(guān)性質(zhì)加以研究。

雙約束二階錐變分不等式問題（10）可以看作下述優(yōu)化問題的等價形式

其中函數(shù)

且f：Rn+m→Rn+m是一連續(xù)可微函數(shù)，約束條件中的G：R2m→R2m是一連續(xù)可微的向量值函數(shù)，K2m? R2m為一閉凸錐。

優(yōu)化問題（18）對應的Lagrange函數(shù)為

因此，問題（18）的Lagrange對偶問題為

由于最優(yōu)值val(P)≥val(D)，若對于點對(z*，p*)∈Y×Κ2m，使得原始與對偶目標函數(shù)值相等，即

式中：I為指示函數(shù)，則有val(P)=val(D)。進一步若其公共值是有限的，則z*∈Y與p*∈K2m分別為最優(yōu)化問題（18）與對偶問題（20）的最優(yōu)解。由鞍點定理可知，原始對偶問題的解(z，p)可由下述系統(tǒng)刻畫

總結(jié)上述關(guān)系，借助Lagrange對偶理論［9］，可以得到下述結(jié)論。

定理 2令val(P)與val(D)分別表示原始問題（18）與對偶問題（20）的最優(yōu)值，則有val(P)≥val(D)。進一步可推出，val(P)=val(D)，且該公共值是有限的，則z*∈Y與p*∈K2m分別為原始問題P與對偶問題D的最優(yōu)解的充分必要條件是式（21）成立。

稱點對(z*，p*)為問題（18）的KKT點，若(z*，p*)滿足KKT條件（22）

上述系統(tǒng)即為一般情形的一階必要性條件，是從代數(shù)角度推導出的，K-T乘子p*也稱為Lagrange乘子，z*為問題（18）的局部最優(yōu)解，可將其進一步總結(jié)為下述定理。

定理3設z*是雙約束二階錐優(yōu)化問題（18）的局部最優(yōu)解，且滿足Robinson約束規(guī)范

則在z*處的Lagrange乘子集合Λ(z*)是非空緊致凸集合。

證明：設(z*，p*)為問題（18）相應的La‐grange對偶問題的最優(yōu)解對，其中p*為La‐grange乘子，則(z*，p*)滿足KKT條件（22）。由于能夠保證（22）的Lagrange乘子集合是緊致集的充分必要條件正是Robinson約束規(guī)范條件，即

由文獻［15］知，式（24）的等價表達為

證畢。

假設z*是雙約束二階錐優(yōu)化問題（18）的穩(wěn)定點，即點對(z*，p*)滿足KKT條件（22）。若在z*處有下述約束非退化條件成立

式中：linΤK2m(G(z*))是二階錐K2m在G(z*)的切錐的線性化空間。則可得出約束非退化條件與Lagrange乘子的唯一性關(guān)系。

定理4假設z*是雙約束二階錐優(yōu)化問題（18）的一個穩(wěn)定點，若z*是約束非退化的，則存在唯一的Lagrange乘子p*；反之，若(z*，p*)滿足嚴格互補條件G(z*)+p*∈intK2m，且p*是唯一對應z*的Lagrange乘子，則z*是非退化的最優(yōu)解。

4 二階充分性條件

本節(jié)討論雙約束二階錐變分不等式問題（18）的二階充分性條件。設映射f(z)與G(z)是二階連續(xù)可微的。下述定理給出了問題（18）在穩(wěn)定點z*處的臨界錐的定義。

定理5設z*是問題（18）的一個穩(wěn)定點，Lagrange乘子p∈Λ(z*)。給定方向h∈Rn+m，借助引理1中的公式，可推出如式（25）的臨界錐的結(jié)論

定理6設z*是問題（18）的一個穩(wěn)定點，且滿足Robinson約束規(guī)范條件（23），則在z*處二階增長條件成立當且僅當式（26）的二階條件成立

式中：H(z*，p)=

證明：假設定理條件成立，則由文獻［9］可知二階錐是二階正則的，在z*處二階增長條件成立當且僅當下述條件成立

其中?2：=表示在G(z*)處沿方向?ΤG(z*)h的二階切集，σ(·，?2)為集合?2的支撐函數(shù)。

該定理只需證明式（26）是式（27）的具體表述形式即可?？紤]在G(z*)處沿著?ΤG(z*)h方向的二階切集形式如下：

由于二階錐是卡式積運算，故可以計算支撐函數(shù)σ(-p，?2)如下。

（1）由h∈C(z*)知，

?ΤG(z*)h∈TK2m(G(z*))，又由

-p*∈NK2m(G(z*))且G(z*)∈K2m，由二階切集的定義知，σ(-p，?2)≤0。

若0∈?2，則σ(-p；?2)=0。由式（28）可知，若?ΤG(z*)h∈intTK2m(G(z*))或者

G(z*)=0或者?ΤG(z*)h=0時，都有0∈?2。

（2）若?ΤG(z*)h，G(z*)∈bdK2m{0}，記滿足該情形的指標集合為I，由式（28）可得

故在此情形下，有

綜合上述情況，可推出

證畢。

5 結(jié)論

Antipin［1］所研究的雙約束變分不等式是雙約束二階錐變分不等式的特殊情形，本文討論了雙約束二階錐變分不等式問題的一階必要性條件和二階充分性條件。首先對原始雙約束二階錐變分不等式問題進行極小化問題轉(zhuǎn)化后得出了廣義鞍點不等式，借助極小極大問題模型，可以將其等價于一個變分不等式組。進一步對所得出的等價變分不等式組分析，應用Lagrange對偶理論得出其有解的一階必要性條件。然后借助約束集合的二階切集與對偶理論，得到雙約束二階錐變分不等式問題的二階充分性條件。雙約束二階錐變分不等式問題的最優(yōu)性條件的分析對該問題的解的存在性及收斂性的研究給出了理論支持。