張 寧，張敏娟，銀子燕

（中北大學 信息與通信工程學院，山西 太原 030051）

0 引 言

取樣示波器在電子信息測量、高速信號的完整性分析、雷達、航空航天等重要領(lǐng)域中被廣泛應(yīng)用[1]。因其不僅具有對信號進行測量及顯示的功能[2]，還具有眼圖分析、眼圖模板測試、波形分析以及幅度分析等功能，所以取樣示波器可以有效地完成時域測試任務(wù)，是一種不可或缺的測試工具。取樣示波器采用等效采樣技術(shù)[3-5]，對數(shù)字信號進行多次觸發(fā)、多次采樣，把信號在連續(xù)周期的采樣數(shù)據(jù)重組，從而復(fù)現(xiàn)頻率遠低于Nyquist 極限頻率的信號波形[6-7]，降低了對ADC 器件的要求及系統(tǒng)實現(xiàn)的復(fù)雜度。等效采樣按觸發(fā)方式不同可以分為順序等效采樣和隨機等效采樣兩種方式[8]，兩者的區(qū)別在于隨機等效采樣的采樣時刻在一個周期內(nèi)都是隨機的，而順序等效采樣的采樣時刻是按順序等時間間隔增幅，每次采樣時刻相對于采樣觸發(fā)時間都會比上一次采樣時刻有一個相同的時間增量，這個增量就是等效出來的采樣間隔。

國外在取樣示波器的波形測量與性能分析這一方面的研究仍然占據(jù)著主導(dǎo)地位，代表公司包括是德科技、泰克、力科等[1]。近年來，國內(nèi)在信號測量儀器的研發(fā)方面也取得了不錯的成果，但取樣示波器相關(guān)技術(shù)的研究發(fā)展仍無法滿足市場的測試需求，取樣示波器產(chǎn)品目前還處于樣機研制階段，沒有成熟產(chǎn)品，最具有代表性的研究機構(gòu)為電子科技大學、蘇州聯(lián)訊儀器。因此，國內(nèi)需要加快對取樣示波器技術(shù)及樣機的研究。

取樣示波器的硬件與軟件分析功能融合，借助軟件進行硬件特性修正或數(shù)據(jù)處理，如統(tǒng)計、插值、頻域分析等復(fù)雜算法，軟件成為取樣示波器的重要組成部分。同時示波器作為測量儀器，對重構(gòu)波形參數(shù)的測量、眼圖及抖動的分析算法都將影響到儀器的測量精度、探測的靈敏度，所以提高算法的測量精度是非常有必要的。在等效采樣過程中，由于采樣點數(shù)存在非周期性的特點，因此很難得到被采樣信號的傳輸速率。為了得到準確的信號參數(shù)測量值，需要確定一個周期內(nèi)的信號數(shù)據(jù)，因此精確計算出信號的傳輸速率至關(guān)重要。本文提出一種快速傅里葉變換的優(yōu)化算法，對重構(gòu)的眼圖信號取對稱變換變成周期信號之后進行傅里葉變換，將信號從時域分析轉(zhuǎn)換為頻域分析，從而獲取信號的頻譜分布，測得信號傳輸速率。該算法用時較少、精確度高，而且在采樣數(shù)據(jù)量比較少的情況下也可以準確計算出信號的傳輸速率。

1 順序等效采樣原理

順序等效采樣的基本原理是利用取樣技術(shù)把高頻、快速的重復(fù)信號轉(zhuǎn)換成低頻、慢速的信號[9]。該等效采樣重構(gòu)方法能以遠小于Nyquist 采樣頻率的采樣速率對周期信號進行采樣重構(gòu)[10]，能夠有效地解決ADC 在采集高速通信信號過程中面臨的問題。

被測信號為周期信號，其重復(fù)周期為T，根據(jù)順序等效采樣原理[8，11-12]，每個周期只采樣一次，且每個采樣點都較前一次增加一個精確的增量時延Δt的時間，該增量時延由信號頻率、時基設(shè)置和采樣點數(shù)決定。其采樣過程如圖1 所示。當?shù)? 個觸發(fā)沿到來時，取樣示波器會對被測信號進行第一次取樣，對應(yīng)于信號波形第1 個采樣點；當?shù)? 個觸發(fā)沿到來時，對被測信號進行第二次取樣，對應(yīng)于信號波形第2 個采樣點，其中觸發(fā)信號相對于前一次取樣時間延時了Δt的時間；當?shù)? 個觸發(fā)沿到來時，先對觸發(fā)信號延時2Δt，再對信號進行采樣；類似地，當每一次觸發(fā)到來時，都會對觸發(fā)信號較前一次取樣時間延時Δt后再進行采樣。此過程會一直重復(fù)，直到獲取完整的波形。當采樣周期足夠多時，遍歷所有采樣點數(shù)，將采集到的數(shù)據(jù)點根據(jù)時間位置排列進行重組[13-14]，重構(gòu)出原始信號，從而達到比較高的等效采樣速率。其結(jié)果與采樣間隔為Δt的樣本還原結(jié)果等效，等效時間采樣相當于原信號在時間軸上放大了(T+Δt)/ Δt倍，然后進行采樣周期為T+Δt的實時采樣。將重構(gòu)之后的波形進行疊加就形成了眼圖。

圖1 順序等效采樣原理及眼圖的形成

為滿足Nyquist 采樣定理，順序等效采樣的觸發(fā)點和采樣點之間的延時調(diào)整分辨率很小，可以是皮秒級別甚至幾十飛秒，這樣在波形重構(gòu)的時候采樣點之間的時間間隔很小，因此會等效出非常高的采樣率。順序等效采樣原理簡單，采樣點以時間為順序排列易于波形恢復(fù)，但是由于相鄰的兩次采樣間的時間間隔不一致，采樣點為非周期點，因此被測信號的傳輸速率難以確定。

2 高速數(shù)字信號傳輸速率測量算法

由于各個采樣點之間的時間信息無法確定，并且采樣信號為非周期信號，直接對其進行傅里葉變換，結(jié)果如圖2 所示，其頻譜分布比較均勻，不能確定采樣信號的頻率。針對這一問題本文將眼圖信號（如圖3 所示）的中間電平幅值作為閾值0，大于閾值的幅值為正，小于閾值的幅值為負，將幅值變換后的眼圖信號做對稱變換成為周期信號，然后進行傅里葉變換。

圖2 眼圖信號直接FFT 變換結(jié)果

圖3 眼圖信號

2.1 計算眼圖信號閾值

為了確定眼圖信號的閾值，首先需要將眼圖分為上下兩部分，上面部分為1 電平，數(shù)據(jù)集幅值為正，下面部分為0 電平，數(shù)據(jù)集幅值為負。使用聚類算法可以將每個數(shù)據(jù)點劃分為一個特定的組，同一組中的數(shù)據(jù)點具有相似的屬性或特征，而不同組中的數(shù)據(jù)點具有高度不同的屬性或特征。聚類算法[15]主要有基于劃分的算法、基于層次的算法、基于密度的算法、基于網(wǎng)格的算法和基于模型的算法等。這些算法都能取得不錯的聚類效果，其中基于劃分的K-Means 算法[16-17]應(yīng)用最多且算法思想較為簡單，當處理大量數(shù)據(jù)時其時間效率較高，這里幅值（Y軸）通過K-Means 聚類算法完成分組，算法具體流程如圖4 所示。

圖4 K-Means 聚類算法計算信號閾值流程圖

讀取N個波形點的數(shù)據(jù)，每個數(shù)據(jù)點包含時間信息和電壓幅值信息，利用K-Means 聚類算法首先隨機選擇k個數(shù)據(jù)點作為最初的聚類中心{C1,C2,…,Ck}，1 ＜k≤n（此處k為2），計算出剩余數(shù)據(jù)點到各個聚類中心的距離，可表示為：

式中：Xi為第i個對象；Cj為第j個聚類中心；Xit為第i個對象的第t個屬性；Cjt為第j個聚類中心的第t個屬性。

根據(jù)最小距離原則將剩余數(shù)據(jù)分配到各類中，劃分完成后將得到k個簇{ }S1,S2,…,Sk。重新計算新簇的中心點，再次重新分配數(shù)據(jù)集。算法通過在前兩個步驟之間交替重復(fù)，直到準則函數(shù)發(fā)生收斂為止，即聚類中心點不再切換或者計算的質(zhì)心不再改變，則分組完成。

完成分組后取上面部分幅值的最小值為眼圖數(shù)據(jù)的閾值，并將其幅值設(shè)為零，剩余點的幅值以閾值點為基準進行相應(yīng)的變換，則閾值以上部分幅值為正，閾值以下部分幅值為負。

2.2 眼圖數(shù)據(jù)做對稱處理

將幅值變換后的眼圖數(shù)據(jù)取絕對值，如圖5 所示。

圖5 眼圖數(shù)據(jù)對稱處理結(jié)果

2.3 FFT 算法確定信號傳輸速率

FFT 算法是離散傅里葉變換基礎(chǔ)上的一種改進算法[18]，可以將一個信號從時域變換到頻域[19-20]，將信號的頻譜提取出來，對頻譜進行分析，根據(jù)采樣定理可計算出信號的周期。本文采用以2為基的FFT算法[21]，提升運算性能。該算法做FFT 時并不要求數(shù)據(jù)點個數(shù)必須為以2為基數(shù)的整數(shù)次方，當數(shù)據(jù)點數(shù)不是以2 為基數(shù)的整數(shù)次方時，可以在原始數(shù)據(jù)末尾補零，即將數(shù)據(jù)補到以2 為基數(shù)的整數(shù)次。根據(jù)Nyquist 采樣定理可知FFT 返回值的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)存在對稱關(guān)系，即：X(i)=X(n-i)，只需要關(guān)心前N/2 個有效采樣點就能得到頻率，而每個采樣點與頻率的關(guān)系由下面公式給出：Fn=(n-1)*Fs/N，其中：Fn為信號頻率；n為采樣點；Fs為采樣頻率；N為采樣總數(shù)。同時得到信號周期：Tn=N/(n-1)*Fs。

3 仿真驗證

為了驗證本文算法的正確性，采用Visual Studio 2019 開發(fā)環(huán)境在.net 平臺對本文算法進行仿真。測試實驗前，對實驗平臺進行了搭建。如圖6 所示，實驗平臺包括：誤碼儀（BERTWave E410A）一臺、取樣示波器一臺和筆記本電腦一臺。實驗中使用誤碼儀產(chǎn)生NRZ數(shù)據(jù)流作為串行數(shù)據(jù)輸入，其支持112.5 Mb/s～11.3 Gb/s速率串行數(shù)據(jù)輸出。

圖6 測試實驗平臺

將2.2 節(jié)中取對稱處理后的數(shù)據(jù)進行快速傅里葉變換，單邊頻譜如圖7 所示，頻譜絕對值對應(yīng)的最大值點的位置為二進制信號的比特率，可根據(jù)采樣定理計算出信號的傳輸速率。

圖7 FFT 單邊頻譜圖

調(diào)節(jié)誤碼儀輸出不同的信號速率，并且截取每組數(shù)據(jù)的前2 048 個點作為處理對象，部分輸出速率存在微小誤差，誤差均在允許的范圍之內(nèi)。誤差分析如表1 所示。由表1 可知，絕對誤差較小，相對誤差未超過1%。產(chǎn)生誤差的原因可能是：由于硬件時基測量不準確，從而導(dǎo)致FFT 計算時產(chǎn)生誤差；采樣點數(shù)較少，頻譜分辨率低?？蓪︻l譜進行細化處理從而減小誤差，并對同一速率的波形進行多次測量，使其結(jié)果具有較高的一致性。

表1 不同信號速率測量結(jié)果誤差分析

4 結(jié) 論

本文針對取樣示波器順序等效采樣系統(tǒng)恢復(fù)的眼圖信號，在采樣點為非周期時速率計算的局限性，提出一種基于快速傅里葉變換的速率計算方法。通過誤碼儀產(chǎn)生的NRZ 數(shù)據(jù)流為輸入信號進行等效采樣，然后對恢復(fù)的波形疊加形成的眼圖信號進行統(tǒng)計，結(jié)合KMeans 聚類算法確定其0/1 電平及閾值，再對其做對稱處理后進行傅里葉變換，從而確定信號的傳輸速率。在采樣數(shù)據(jù)較少的情況下，實驗結(jié)果驗證了通過優(yōu)化算法計算信號傳輸速率結(jié)果比較精確，絕對誤差及相對誤差均在允許的范圍之內(nèi)。該算法運算速度快、易于實現(xiàn)，并且有效解決了采樣數(shù)據(jù)較少和點分布不夠密集時計算存在的問題。