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        從三個視角看冪的運算

        2023-05-12 02:18:28王憲成
        初中生世界·七年級 2023年4期
        關(guān)鍵詞:乘方底數(shù)正整數(shù)

        王憲成

        “冪的運算”是蘇科版數(shù)學七(下)第8章的內(nèi)容。在此之前,我們已經(jīng)學習了“有理數(shù)”,知道了有理數(shù)的乘方運算的結(jié)果叫冪,還認識了冪的底數(shù)、指數(shù)、讀法、性質(zhì),科學記數(shù)法,有理數(shù)的混合運算等。同學們,你們有沒有思考過如下問題,比如冪是乘方運算的結(jié)果,也是一個數(shù),可以進行加、減、乘、除、乘方等運算嗎?冪的指數(shù)只能是正整數(shù)嗎?等等??磥?,我們有必要全面地認識本章內(nèi)容,并站在前后知識聯(lián)系、發(fā)展的角度來深入學習。

        一、從數(shù)的運算視角看冪的運算

        經(jīng)歷過小學數(shù)學運算,我們知道了,減法是加法的逆運算,除法是乘法的逆運算。在七年級上學期,我們學習了“有理數(shù)”。求相同因數(shù)積的運算叫作乘方,冪是乘方運算的結(jié)果,也是一個數(shù),自然有同學會問:乘方的結(jié)果“冪”,可以繼續(xù)進行加、減、乘、除、乘方運算嗎?這是從數(shù)學內(nèi)部角度進行的思考,值得重視。

        同學們可以展開討論,如24×23、(24)3、(2×3)3、24÷23、23÷24如何運算?我們從乘方運算的視角不難理解上述運算??墒菫槭裁匆攸c研究同底數(shù)冪的運算呢?經(jīng)歷過不同底數(shù)冪的運算之后,我們會發(fā)現(xiàn),同底數(shù)冪的運算更具有一般規(guī)律性,更便于表達,所以更有研究的價值。

        從生活與數(shù)學的聯(lián)系中,我們也能感受到研究冪的運算的必要性。本章的章頭圖里有這樣幾個問題,光在真空中的速度約是3×108m/s,光在真空中穿行一年的距離稱為1光年,請你算算:(1)一光年約是多少千米(1年以3×107s計算)?(2)銀河系的直徑達10萬光年,約是多少千米?(3)如果一架飛機的飛行速度為1000km/h,那么光的速度是這架飛機速度的多少倍?帶著這些問題,我們將學習同底數(shù)冪的乘法、除法以及冪的乘方和積的乘方。

        二、從數(shù)到式的發(fā)展視角看冪的運算

        同學們已經(jīng)知道,同底數(shù)冪的乘、除、乘方等運算更容易開展研究。那么,仍然以24×23、(24)3、(2×3)3、24÷23、23÷24這些冪的運算為例,我們能否將其進行一般化歸納呢?從特殊到一般,歸納表達一般性,這是我們常見的研究路徑,也應(yīng)該成為同學們的數(shù)學素養(yǎng)。于是,用字母表示數(shù)就自然產(chǎn)生了。從數(shù)到式的發(fā)展,合情合理,自然發(fā)生。同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪的除法法則就出現(xiàn)了?;诔朔降囊饬x,推理法則的形成過程,可以發(fā)展同學們的代數(shù)推理能力。

        從整式的運算視角來看,我們在整式加減的基礎(chǔ)上,又有了新的研究方向,即整式乘法如何運算。如a4b3?ab2、a4b3·(ab2-a2b)、(a+b)·(ab2+a2b)……這就有了“整式乘法與因式分解”的研究內(nèi)容。這樣,后續(xù)的學習就有了“根”。

        三、從指數(shù)的變化視角看冪的運算

        冪的指數(shù)難道就只能是正整數(shù)嗎?顯然不是。那么,負整數(shù)、零、分數(shù)都可以嗎?有時,數(shù)學學習需要我們大膽地提出問題,大膽猜想,細心分析問題。

        計算24÷23、23÷23、23÷24時,我們就可以思考一個問題:對于同底數(shù)冪的除法法則(am÷an=am-n),正整數(shù)m、n有什么限制?24÷23=24-3=21,23÷23=1=23-3=20,23÷24=23-4=2-1,這樣書寫計算過程是否合理?結(jié)合數(shù)軸,我們經(jīng)歷猜想、驗證,20=1,2-1=[12],于是,可以理解上述計算過程的合理性。

        我們再來看另一個生活情境,1個細胞分裂1次變?yōu)?個,分裂2次變?yōu)?個……分裂后的細胞個數(shù)與分裂次數(shù)的關(guān)系可以寫成2=21,4=22,8=23,16=24……那么,當細胞沒有分裂(即分裂次數(shù)為0)時,細胞的個數(shù)是幾?

        于是,冪的指數(shù)進行了數(shù)的擴充,更加豐富了同學們對冪的認識。指數(shù)可以是正整數(shù)、0和負整數(shù)。有的同學會進一步大膽思考:指數(shù)有沒有可能是分數(shù)呢?任意有理數(shù)呢?任意無理數(shù)呢?等等。隨著同學們的不斷追問,數(shù)學就這樣自然“生長”起來了。

        (作者單位:蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖實驗中學)

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