齊曉龍

(隴東學(xué)院電氣工程學(xué)院, 甘肅 慶陽 745000)

多自主體系統(tǒng)的協(xié)調(diào)控制主要針對一致性問題、編隊(duì)控制和群集控制等方面．作為多自主體系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制研究的基礎(chǔ),一致性控制要求自主體的狀態(tài)趨于一個定值或函數(shù)[1-2]．當(dāng)系統(tǒng)中存在多個編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)者時, 系統(tǒng)的一致性問題則成為合圍控制問題[3-4]．編隊(duì)-合圍控制,即在由多個編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者組成的多自主體系統(tǒng)中,編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)者形成所要求的編隊(duì), 同時跟隨者趨于編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)者形成的凸包．Zheng[5], Han[6]等針對二階多自主體系統(tǒng)研究了存在時延下系統(tǒng)的編隊(duì)-合圍控制問題; Gong等[7]針對高階多自主體系統(tǒng)設(shè)計(jì)了基于觀測器的編隊(duì)-合圍控制協(xié)議; Zhang[8],Zhou[9]等探討了采樣數(shù)據(jù)、時延及網(wǎng)絡(luò)切換等因素對系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)編隊(duì)-合圍控制目標(biāo)的影響．時間觸發(fā)機(jī)制及隨機(jī)采樣機(jī)制也常被用于多自主體系統(tǒng)的編隊(duì)-合圍控制研究[10-11]．在上述編隊(duì)-合圍控制研究成果中, 編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)者的軌跡最終趨于編隊(duì)參考函數(shù),其值由系統(tǒng)的初始狀態(tài)決定．本文將多自主體系統(tǒng)擴(kuò)展為由一個虛擬領(lǐng)導(dǎo)者、多個編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者組成,在已知虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的輸入信號情形下利用自主體鄰接信息,考慮時變時延,分別針對編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者設(shè)計(jì)編隊(duì)和合圍跟蹤控制協(xié)議,再利用圖論及Lyapunov穩(wěn)定性定理給出協(xié)議有效的充分條件,以期使得編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者在所設(shè)計(jì)的控制協(xié)議作用下實(shí)現(xiàn)編隊(duì)-合圍控制目標(biāo),同時跟蹤虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的任意軌跡．

1 圖論與系統(tǒng)描述

1.1 圖論

1.2 問題描述

考慮由1個虛擬領(lǐng)導(dǎo)者和N個自主體(包括M個跟隨者和N-M個編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)者)構(gòu)成的多自主體網(wǎng)絡(luò)．描述虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的動態(tài)模型為

x0(k+1)=Ax0(k)+Bu0(k),

(1)

其中虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)x0(k)∈Rn, 虛擬領(lǐng)導(dǎo)者已知的輸入信號u0(k)∈Rr,A,B分別為系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣．描述N個自主體的模型為

xi(k+1)=Axi(k)+Bui(k),i=1,2,…,N,

(2)

其中xi(k)∈Rn,ui(k)∈Rr分別為第i個自主體的狀態(tài)和控制輸入．

(3)

則稱系統(tǒng)(2)實(shí)現(xiàn)了編隊(duì)-合圍控制, 并且能跟蹤虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的軌跡．

根據(jù)編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者鄰接集的特點(diǎn), 可將Laplacian矩陣分解為

其中L1∈RM×M表示M個跟隨者之間的鄰接信息,L2∈RM×(N-M)為跟隨者和編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)者之間的鄰接信息,L3∈R(N-M)×(N-M)為N-M個編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)者之間的鄰接信息．

假設(shè)1矩陣B是非奇異的．

假設(shè)2在多自主體網(wǎng)絡(luò)中, 對于每個跟隨者, 至少有一個編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)者與其之間存在有向路徑．

考慮時變時延, 設(shè)計(jì)如下編隊(duì)-合圍跟蹤控制協(xié)議:

(4)

ui(k)=u0(k)+K3∑j∈Ni(xi(k-dk)-xj(k-dk)),i∈F,

(5)

式中當(dāng)?shù)趇個編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)者能接收到虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的信息時,δi=1,否則δi=0;K1,K2,K3為常數(shù)矩陣;In為n維單位矩陣; 時變時延dk滿足

d1≤dk≤d2,

(6)

其中d1,d2為已知常數(shù)．

(7)

(8)

其中Δ=diag{δM+1,…,δN},?表示Kronecker積,1M為M維元素全為1的向量．

(9)

引理2若

(10)

φF(k)=(L1?In)xF(k)+(L2?In)xE(k)．

(11)

引理4[14]對于誤差系統(tǒng)(9), 若存在正定矩陣P,Q1,Q2,Q3,R,S及矩陣L1,L2,M1,M2,N1,N2滿足

(12)

定理1若存在正定對稱矩陣PE,QiE(i=1,2,3),RiE(i=1,2),RiF(i=1,2),PF,QiF(i=1,2,3), 滿足式(13)～(16):

(13)

(14)

(15)

(16)

式中Ξ11=-R1E-PE+Q1E+Q2E+(d12+1)Q3E,Am2=IM?A,Ad2=L1?BK3,d12=d2-d1, 則高階離散多自主體系統(tǒng)(1)(2)在協(xié)議(4)(5)的作用下能實(shí)現(xiàn)編隊(duì)-合圍跟蹤控制．

V(k)=V1(k)+V2(k),

(17)

其中

(18)

(19)

則

(20)

(21)

(22)

φF(k+1)=(IM?A)φF(k)+(L1?BK3)φF(k-dk)．

(23)

類似于系統(tǒng)(9), 當(dāng)線性矩陣不等式(15)(16)成立時, 誤差系統(tǒng)(23)漸近穩(wěn)定．根據(jù)引理2, 當(dāng)式(13)(16)成立時, 多自主體系統(tǒng)(1)(2)在控制協(xié)議(4)(5)的作用下可實(shí)現(xiàn)編隊(duì)-合圍跟蹤控制．證畢．

注1通過狀態(tài)轉(zhuǎn)換, 將系統(tǒng)的編隊(duì)-合圍跟蹤控制問題變換為分析誤差系統(tǒng)(9)和系統(tǒng)(23)的穩(wěn)定性問題．

證明 當(dāng)式(12)成立時, 令UE=RE+SE, 因d12=d2-d1, 故由Schur補(bǔ)引理, 有

(24)

(25)

(26)

3 仿真分析

考慮由1個虛擬領(lǐng)導(dǎo)者(自主體0), 3個編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)者(自主體3～5)和2個跟隨者(自主體1～2)組成的多自主體網(wǎng)絡(luò),其網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淙鐖D1所示．在多自主體網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D1中,只有編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)者才能獲得虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的信息, 并且對于每個跟隨者,都至少存在一個編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)者與其之間存在一條有向路徑且滿足假設(shè)2．

圖1 多自主體網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涫疽鈭DFig.1 Network topology of multi-agent system

當(dāng)K1=diag{-0.01, -0.01},K2=diag{-0.02, -0.02}時, 式(13)(14)成立, 此時,

當(dāng)K1=diag{-0.01, -0.01},K3=diag{-0.01, -0.01}時, 式(15)(16)成立, 此時,

圖2 誤差系統(tǒng)(9)的狀態(tài)軌跡Fig.2 State trajectories of error system (9)

圖3 誤差系統(tǒng)(23)的狀態(tài)軌跡Fig.3 State trajectories of error system (23)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證協(xié)議的有效性, 取初始狀態(tài)x0(1)=[0,-1]T,x1(1)=[2,-1]T,x2(1)=[3,-1]T,x3(1)=[2,-1]T,x4(1)=[4,-1]T,x5(1)=[-2,-1]T,u0(k)=[1,1]T, 多自主體系統(tǒng)(2)在協(xié)議(4)(5)作用下的編隊(duì)-合圍控制仿真結(jié)果如圖4所示．由圖4可見: 3個編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)者最終形成并保持預(yù)期的三角形, 并且2個跟隨者趨于編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)者形成的凸包中．

圖4 系統(tǒng)編隊(duì)合圍狀態(tài)仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of system formation encircle state

圖5 系統(tǒng)編隊(duì)合圍跟蹤軌跡Fig.5 Formation-containment tracking trajectories

分別取h3=[0,0]T,h4=[0,-80]T,h5=[80, -80]T, 自主體的初始狀態(tài)及虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的控制輸入與圖4中仿真數(shù)據(jù)相同,編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)者自主體的跟蹤軌跡如圖5所示．由圖5可見: 3個編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)者自主體可形成所要求的三角形編隊(duì), 同時跟蹤虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的軌跡, 其軌跡與編隊(duì)領(lǐng)導(dǎo)者 3的軌跡重合, 表明所設(shè)計(jì)的協(xié)議有效．