南京航空航天大學(xué)航空學(xué)院 聞了然 張方

在工業(yè)自動(dòng)化的大背景下，企業(yè)對(duì)工業(yè)機(jī)器人的精度要求越來(lái)越高。為了減少機(jī)器人在制造、安裝、測(cè)量、連桿變形等因素下造成的定位誤差，本文以一六軸工業(yè)機(jī)器人為研究對(duì)象，提出一種基于最小二乘法和機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型參數(shù)修正法，通過(guò)對(duì)比分析末端執(zhí)行器的位置信息，對(duì)現(xiàn)有的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型進(jìn)行參數(shù)修正，從而降低工業(yè)機(jī)器人的模型誤差，為機(jī)器人后續(xù)的軌跡規(guī)劃工作提供了幫助。

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷更新與發(fā)展，工業(yè)機(jī)器人在搬運(yùn)、噴釉、弧焊等方面有著十分突出的貢獻(xiàn)，對(duì)末端執(zhí)行器的精度要求也變得更高[1]。工業(yè)機(jī)器人的定位精度決定著機(jī)器人工作性能的優(yōu)劣。然而在工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中，工業(yè)機(jī)器人不可避免的存在誤差，這些誤差主要分為兩個(gè)部分：制造、安裝以及長(zhǎng)時(shí)間工作導(dǎo)致的磨損和變形引起的幾何誤差和溫度、機(jī)器自重等因素導(dǎo)致的非幾何誤差。上述的幾種誤差最終都會(huì)在末端執(zhí)行器的位姿信息中體現(xiàn)出來(lái)，而位姿信息又與機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型相關(guān)。為了降低機(jī)器人的定位誤差，需要對(duì)原有的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型進(jìn)行修正。

當(dāng)前機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的建模方法普遍采用的是1955 年Danevit 和Hartenberg 提出的D-H 建模法[2]。而為了降低工業(yè)機(jī)器人定位精度誤差，通常會(huì)對(duì)末端執(zhí)行器進(jìn)行反饋檢測(cè)，實(shí)現(xiàn)全閉環(huán)控制[3,4]。這種方法雖然可以達(dá)到很高的精度，但是計(jì)算復(fù)雜，成本投入較高，不適用于焊接等精度要求不是特別高的工作。

針對(duì)該問(wèn)題，本文利用D-H 建模法得出的變換矩陣，建立末端位姿信息與各運(yùn)動(dòng)學(xué)模型參數(shù)的關(guān)系式，并提出一種基于最小二乘法的改進(jìn)模型修正法。在誤差允許范圍內(nèi)僅測(cè)量末端在不同關(guān)節(jié)角下的理論位置和實(shí)際位置，而忽略姿態(tài)信息，完成運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的參數(shù)修正，從而大大降低了運(yùn)算難度，同時(shí)滿足了精度要求，具有良好的工程實(shí)用性。

1 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1.1 機(jī)器人基本結(jié)構(gòu)及D-H 參數(shù)

機(jī)器人可以視作由一系列剛體通過(guò)關(guān)節(jié)連接而成的一個(gè)運(yùn)動(dòng)鏈，通常境況下，我們稱這些剛體為連桿，而關(guān)節(jié)將兩個(gè)相鄰的連桿連接起來(lái)。在進(jìn)行機(jī)械臂結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，通常優(yōu)先選擇僅具有一個(gè)自由度的關(guān)節(jié)作為連桿的連接方式，即轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)或移動(dòng)關(guān)節(jié)[5]。

本文以錢(qián)江QJRH4-1A 型機(jī)器人為例，從底部固定的基本連桿開(kāi)始從下往上開(kāi)始編號(hào)，第一個(gè)可動(dòng)連桿為連桿1，直至連桿6。同時(shí)，在工作空間中，為了使末端執(zhí)行器擁有6 個(gè)自由度，需要為機(jī)器人配置6 個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，前3 個(gè)主要確定位置，后3 個(gè)主要確定姿態(tài)。

一般情況下，在進(jìn)行機(jī)器人D-H 參數(shù)設(shè)計(jì)時(shí)，需要考慮連桿長(zhǎng)度、連桿轉(zhuǎn)角、連桿偏距和關(guān)節(jié)角4 個(gè)參數(shù)[6]。

參考實(shí)體結(jié)構(gòu)圖建立機(jī)器人連桿坐標(biāo)系，其中基坐標(biāo)系在1 軸位置，4-6 連桿坐標(biāo)系均在5 軸上，具體如圖1 所示。

圖1 錢(qián)江QJRH4-1A 型機(jī)器人連桿坐標(biāo)系Fig.1 Linkage coordinate system of Qianjiang QJRH4-1A robot

通過(guò)對(duì)官方給出的模型圖進(jìn)行測(cè)量，該機(jī)器人的D-H 參數(shù)表如表1 所示。

表1 錢(qián)江QJRH4-1A 型機(jī)器人D-H 參數(shù)表Tab.1 Table of D-H parameters of for Qianjiang QJRH4-1A robot

因?yàn)? 個(gè)關(guān)節(jié)均為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，D-H 參數(shù)表中，關(guān)節(jié)角一欄數(shù)值為機(jī)器人在零位時(shí)的數(shù)據(jù)，其本身是變量，取值范圍不能超過(guò)限位角。

1.2 機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)

正運(yùn)動(dòng)學(xué)的主要思路是已知機(jī)器人各關(guān)節(jié)角，計(jì)算求解出末端執(zhí)行器在基連桿坐標(biāo)系下的位置和姿態(tài)[7]。參考圖1 標(biāo)識(shí)的各連桿坐標(biāo)系位置，確定基連桿坐標(biāo)系為坐標(biāo)系{0}，原點(diǎn)為1 軸所在位置，之后根據(jù)D-H 參數(shù)表確定各連桿坐標(biāo)系的關(guān)系。任意2 個(gè)連桿坐標(biāo)系之間的關(guān)系可用四階變換矩陣T 來(lái)表示。對(duì)變換矩陣進(jìn)行分塊，左上角三階矩陣為旋轉(zhuǎn)矩陣R，右上3×1 矩陣代表后一個(gè)坐標(biāo)的原點(diǎn)在前一個(gè)坐標(biāo)系下的位置坐標(biāo)，最后一行為固定值。具體矩陣如公式（1）所示：

為了方便書(shū)寫(xiě)，公式（1）中對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行如下簡(jiǎn)化，后文同理：

對(duì)于本文機(jī)器人，共設(shè)有6 個(gè)連桿，將D-H 參數(shù)帶入公式（1），可得末端執(zhí)行器在基連桿坐標(biāo)系下的變換矩陣如公式（2）所示：

其中：

利用機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)，機(jī)器人末端的位置和姿態(tài)信息可以與連桿轉(zhuǎn)角、連桿長(zhǎng)度等參數(shù)一一對(duì)應(yīng)。這為后續(xù)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型參數(shù)修正提供了理論依據(jù)。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型參數(shù)誤差修正

2.1 最小二乘法原理

最小二乘法是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)。它通過(guò)最小化誤差（真實(shí)目標(biāo)對(duì)象與擬合目標(biāo)對(duì)象的差）的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。利用最小二乘法可以簡(jiǎn)便地求出未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小[8]。這種方法理論成熟，計(jì)算簡(jiǎn)便且工程適用性強(qiáng)，可用來(lái)對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，其具體估計(jì)過(guò)程如圖2 所示。

圖2 最小二乘法示意圖Fig.2 Schematic diagram of least squares method

最小二乘法的具體思路如下所示：令

設(shè)有m組實(shí)際值y，則有m組誤差值：

因?yàn)樽钚《朔ǖ募s束條件是保證函數(shù)的誤差平方和最小，所以誤差向量越小，最小二乘法最終擬合出來(lái)的數(shù)據(jù)質(zhì)量就越高。其具體估計(jì)過(guò)程如圖2 所示。

在這里假設(shè)最小二乘法的模型為：

在該模型中θ是變量，x是輸入的定量，y是輸出擬合值，即預(yù)測(cè)量。定義誤差：

可知誤差平方和：

上式可用以下方程組來(lái)表示，如公式（3）所示：

顯然該方程組可轉(zhuǎn)換為矩陣形式，如公式（4）所示：

該矩陣可簡(jiǎn)化為如公式（5）所示：

于是最小二乘法的表達(dá)式可簡(jiǎn)化為如公式（6）所示：

研究數(shù)據(jù)納入SPSS17.0軟件分析，計(jì)量資料以（± s）表示，采用t檢驗(yàn)；計(jì)數(shù)資料用（%）表示，采用χ2檢驗(yàn)，P＜0.05差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

滿足該式的向量即為最小二乘法的解。顯然，該誤差函數(shù)是關(guān)于θ的多元二次函數(shù)方程組，要求取最小值，則只需令其一階導(dǎo)數(shù)為0 即可。將上式對(duì)θ求導(dǎo)，并令其為0，可得到如公式（7）所示：

再變形可得到如公式（8）所示：

公式（8）就是最小二乘法所求的向量。

2.2 工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型修正

由公式（2）可知，因?yàn)镈-H 參數(shù)與變換矩陣相互獨(dú)立，工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型滿足最小二乘法要求的變量相互獨(dú)立原則，考慮機(jī)器人的焊接精度要求，這里只考慮機(jī)器人末端的位置誤差，不考慮姿態(tài)誤差，從而大大減少了計(jì)算難度[8]。結(jié)合公式（2）給出的變換矩陣，機(jī)器人末端的位置信息由以下參數(shù)決定，如公式（9）所示：

顯然影響末端位置的D-H 參數(shù)只有連桿長(zhǎng)度和連桿偏距，對(duì)公式（9）進(jìn)行偏微分可得如公式（10）所示：

根據(jù)2.1 節(jié)和公式（10）可設(shè)參數(shù)矩陣X，位置誤差矩陣參數(shù)誤差矩陣θ，其中：

接著多次測(cè)量機(jī)器人在任意關(guān)節(jié)角下末端直角坐標(biāo)系實(shí)際值，并計(jì)算在各個(gè)關(guān)節(jié)角下末端的理論坐標(biāo)值與誤差。將計(jì)算得出的誤差值列為矩陣放置在公式（4）右端，最終把所有矩陣帶入公式（8）計(jì)算即可，位置誤差矩陣具體為：

3 試驗(yàn)數(shù)據(jù)與分析

圖3 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型修正流程圖Fig.3 Kinematic model correction flow chart

錢(qián)江QJRH4-1A 型機(jī)器人是一個(gè)焊接機(jī)器人，對(duì)末端位置的誤差要求在1mm 以內(nèi)。試驗(yàn)過(guò)程中首先使用上位機(jī)關(guān)節(jié)角示教模式使各軸旋轉(zhuǎn)到任意位置并記錄當(dāng)前關(guān)節(jié)角度值，之后通過(guò)激光跟蹤儀測(cè)量得到末端的位置信息并與計(jì)算得出的理論結(jié)果進(jìn)行作差，最后將該數(shù)據(jù)輸入程序中計(jì)算參數(shù)誤差。試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)如圖4 所示。

圖4 試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)Fig.4 Experimental site

試驗(yàn)總共測(cè)量了10 組不同的關(guān)節(jié)角下末端的坐標(biāo)值，之后將上述數(shù)據(jù)代入程序計(jì)算可得參數(shù)誤差矩陣為：

θ=[-0.901 -1.441 2.673 -0.671 0.114 0.234 0.215 -0.098 0.505 0.273 -0.226 -0.027]

為了驗(yàn)證修正之后的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，將這10 組關(guān)節(jié)角代入新的D-H 參數(shù)并進(jìn)行正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解，與測(cè)量的末端位置進(jìn)行比較，具體數(shù)據(jù)如圖5 所示。修正后的平均定位誤差從1.396mm 減少到0.582mm，小于1mm，符合焊接工程要求。

圖5 機(jī)器人末端定位誤差值Fig.5 Positioning error value of robot end

4 結(jié)論

為了提高機(jī)器人末端執(zhí)行器的定位精度，本文首先對(duì)機(jī)器人進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)建模，用連桿長(zhǎng)度、連桿轉(zhuǎn)角、連桿偏距和關(guān)節(jié)角4 個(gè)參數(shù)與機(jī)器人的末端位姿信息建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系。之后集合最小二乘法，通過(guò)多次測(cè)量與計(jì)算，對(duì)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型進(jìn)行了修正，使其定位誤差降低在1mm 以內(nèi)，同時(shí)也為后續(xù)的機(jī)器人軌跡規(guī)劃工作提供了幫助。