韓璐羽，白佳鈺，于曹陽(yáng)，連 璉,2

(1.上海交通大學(xué)海洋學(xué)院，上海 200030；2.上海交通大學(xué)海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240)

0 引言

近年來(lái)，無(wú)人航行器被廣泛應(yīng)用于海洋科學(xué)與工程任務(wù)，建立高精度操縱模型是航行器設(shè)計(jì)、優(yōu)化與控制的基礎(chǔ)。目前常用的Abkowitz 整體模型和MMG分離模型中水動(dòng)力參數(shù)較多，相應(yīng)的辨識(shí)系統(tǒng)輸入矩陣維度增加，辨識(shí)計(jì)算量較大[1]；而Notomo提出的操縱響應(yīng)方程參數(shù)較少、計(jì)算簡(jiǎn)捷且可直接從約定試驗(yàn)中獲得，這有利于提高運(yùn)動(dòng)控制、性能預(yù)測(cè)等的實(shí)時(shí)性，在無(wú)人航行器研究領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。

精確辨識(shí)方程中各水動(dòng)力系數(shù)是優(yōu)化建模的關(guān)鍵一環(huán)。傳統(tǒng)系統(tǒng)辨識(shí)方法包括最小二乘法(least square,LS)[2–3]、極大似然法(maximum likelihood,ML)[4]、卡爾曼濾波法(Kalman filter,KF)及其拓展[5–6]等，基于現(xiàn)代人工智能技術(shù)又發(fā)展出了人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(artificial neural network,ANN)[7]和支持向量機(jī)(support vector machine,SVM)[8]等方法。孫功武等[3]優(yōu)化最小二乘法，提出了一種基于模糊控制的動(dòng)態(tài)遺忘因子迭代最小二乘(recursive least square,RLS)算法，實(shí)現(xiàn)了遺忘因子針對(duì)誤差的動(dòng)態(tài)調(diào)整，有優(yōu)越的辨識(shí)精度與收斂速度。褚式新等[4]根據(jù)辨識(shí)原理與前向差分法設(shè)計(jì)了一種極大似然辨識(shí)方法，較傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法預(yù)報(bào)更為精準(zhǔn)。秦操[6]采用無(wú)跡卡爾曼濾波(unscented Kalman filter,UKF)算法，設(shè)計(jì)分步辨識(shí)，有效提高了辨識(shí)精度。以上研究側(cè)重于在現(xiàn)有試驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，改進(jìn)算法以提高收斂速度以及辨識(shí)精度。

但在系統(tǒng)辨識(shí)算法已較為成熟的情況下，用于計(jì)算的航向數(shù)據(jù)質(zhì)量對(duì)精度影響可能更為顯著。動(dòng)態(tài)試驗(yàn)中，航向傳感器的數(shù)據(jù)采集頻率與精度相互制約[9–10]，不足以支持高精度的模型辨識(shí)。當(dāng)前技術(shù)水平限制下，對(duì)稀疏數(shù)據(jù)進(jìn)行插值重構(gòu)是高效提高辨識(shí)精度的重要途徑。常用的插值方法有拉格朗日插值、分段線性插值、三次樣條插值等，但三者重構(gòu)的光滑程度不完全符合無(wú)人航行器航向隨時(shí)間光滑連續(xù)變化的實(shí)際情境[11 –12]。

阿基米德螺旋(Archimedesspiral, AS)在變量光滑連續(xù)變化方面具有較大優(yōu)勢(shì)。現(xiàn)有研究中，AS結(jié)構(gòu)多用于平面天線的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)[13–14]。此外，在對(duì)非圓二次曲線與樣條曲線輪廓機(jī)械加工時(shí)，應(yīng)用AS擬合離散點(diǎn)，較一系列折線、圓弧等，實(shí)現(xiàn)了確保精度前提下的計(jì)算量減少[15]。本文嘗試將AS應(yīng)用于初始航向數(shù)據(jù)的插值重構(gòu)，探索該方法在操縱辨識(shí)數(shù)據(jù)預(yù)處理方面的更大潛力，對(duì)于優(yōu)化原始稀疏數(shù)據(jù)以得到更為精準(zhǔn)的操縱模型有重要意義。

本文首先引入無(wú)人航行器一階線性響應(yīng)模型，使用采樣頻率不同的數(shù)據(jù)集進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，揭示航向預(yù)測(cè)精度與采樣頻率的關(guān)系；之后，使用AS插值重構(gòu)數(shù)據(jù)，改善最小二乘算法在初始采樣數(shù)據(jù)稀疏時(shí)的辨識(shí)精度。最后，通過(guò)與初始稀疏數(shù)據(jù)集、基于三次樣條插值的加密集辨識(shí)結(jié)果對(duì)比，證明AS插值方法的優(yōu)越性。

1 無(wú)人航行器操縱運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型

為實(shí)現(xiàn)對(duì)無(wú)人航行器航向的精準(zhǔn)預(yù)測(cè)與控制，需建立其航向角與垂直舵角之間的響應(yīng)方程。假定前向速度恒定，忽略橫搖、縱傾和浮潛自由度耦合的影響，無(wú)人航行器的水平面動(dòng)力學(xué)方程可簡(jiǎn)化為[16]：

式中：m為 無(wú)人航行器的質(zhì)量；mii(i=1,2,6)表示其附加質(zhì)量；Y?和N?為 線性/非線性水動(dòng)力系數(shù)；Y和N為無(wú)人航行器驅(qū)動(dòng)執(zhí)行器產(chǎn)生的側(cè)向推力及偏航力矩；Iz表示繞z軸的慣性矩。

假設(shè)僅小舵角操縱無(wú)人航行器，則式(1)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：

式(2)經(jīng)變換，得到：

式中： δ為舵角，rad；T1，T2，T3為時(shí)間常數(shù)，s，表征無(wú)人航行器的應(yīng)舵性和航向穩(wěn)定性；K為舵角增益，s?1，也稱旋回性指數(shù)。上述K和T參數(shù)具體表達(dá)為：

式(3)即為日本Notomo教授提出的一般性首搖響應(yīng)線性方程，通常稱作二階線性KT方程。本文側(cè)重于探究響應(yīng)方程參數(shù)辨識(shí)過(guò)程中由于輸入數(shù)據(jù)“航向-舵角”稀疏產(chǎn)生的問(wèn)題及相應(yīng)優(yōu)化方法。為此，在操舵不很頻繁的前提下，參數(shù)辨識(shí)與設(shè)計(jì)優(yōu)化階段選取進(jìn)一步簡(jiǎn)化的一階線性KT模型：

也可用航向角 φ(rad)表示為：

式中：

2 響應(yīng)模型參數(shù)辨識(shí)及辨識(shí)精度判定原理

2.1 基于最小二乘算法的響應(yīng)模型參數(shù)辨識(shí)

對(duì)一階線性KT 模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)時(shí)，首先將式(9)作離散化處理，即用向前差分代替原本微分形式。整理得：

式中： ?t表示航向/舵角傳感器兩次采樣的間隔時(shí)長(zhǎng)，s；φ(t) 和δ (t) 分別為t時(shí)刻無(wú)人航行器航向角和舵角。

將式(11)表達(dá)為矩陣形式，即可得到最小二乘法的標(biāo)準(zhǔn)辨識(shí)模型AX=b。矩陣具體表達(dá)為：

輸出矩陣

輸入矩陣

參數(shù)矩陣

此參數(shù)矩陣X的最小二乘解為：

因此，將操縱試驗(yàn)中航向/舵角傳感器采集的數(shù)據(jù)依次代入輸入矩陣和輸出矩陣，即可解得式(9)中一階線性響應(yīng)模型的K和T參數(shù)。

2.2 參數(shù)辨識(shí)精度的判定

為確定K和T的辨識(shí)精度，將式(11)整理得到如下遞推關(guān)系式：

代入初始采樣數(shù)據(jù)集 ?t，t和δ(t)等數(shù)據(jù)以及辨識(shí)所得參數(shù)K和T，預(yù)測(cè)無(wú)人航行器航向角φ′(t)。通過(guò)與操縱試驗(yàn) φ(t)對(duì)比，計(jì)算各時(shí)刻絕對(duì)誤差和總均方根誤差作為參數(shù)辨識(shí)精度的定量判定標(biāo)準(zhǔn)。

3 數(shù)據(jù)采樣頻率對(duì)辨識(shí)精度影響的定量分析

3.1 參數(shù)辨識(shí)輸入矩陣數(shù)據(jù)采集

Z 形操縱試驗(yàn)于1943年由Kempt 提出，用于衡量船舶操縱性能，目前被廣泛應(yīng)用于無(wú)人航行器性能分析，是確定參數(shù)K和T的標(biāo)準(zhǔn)方法。本文利用文獻(xiàn)[17]中模型數(shù)據(jù)，以Matlab為平臺(tái)，開(kāi)展15°Z 形全數(shù)字仿真試驗(yàn)。仿真采樣時(shí)間間隔為0.1 s，采樣總時(shí)長(zhǎng)為20 s，所得數(shù)據(jù)如圖1所示。

圖1 15° Z形仿真試驗(yàn)數(shù)據(jù)Fig.1 Data in 15° zigzag simulation

3.2 輸入矩陣采樣頻率對(duì)辨識(shí)精度的影響分析

基于圖1中的仿真數(shù)據(jù)，建立初始采樣數(shù)據(jù)集S0。從S0中取時(shí)間間隔放大為0.5 s和0.2 s 的數(shù)據(jù)，即分別取t=0.5 s，t=1 s，…，t= 20 s 和t= 0.2 s，t=0.4 s，…，t=20 s 時(shí)舵角 δ(t)和航向角φ(t)，構(gòu)成稀疏數(shù)據(jù)集S1和S1′。S0、S1和S1′數(shù)據(jù)如圖2所示。

圖2 不同采樣頻率數(shù)據(jù)集S0、S1和S1′對(duì)比圖Fig.2 Comparison of data sets(S0,S1 and S1′)with different acquisition frequencies

對(duì)各數(shù)據(jù)集開(kāi)展KT參數(shù)辨識(shí)，辨識(shí)結(jié)果如表1 所示。

表1 S0，S1和S1′辨識(shí)結(jié)果對(duì)比Tab.1 Comparison of identification results using S0,S1 and S1′

利用上述3個(gè)數(shù)據(jù)集辨識(shí)得到的KT數(shù)據(jù)，輔以式(16)得到無(wú)人航行器的航向預(yù)測(cè)對(duì)比結(jié)果，如圖3所示。

圖3 S0、S1和S1′所得KT 模型對(duì)應(yīng)的航向預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison of heading results derived from three data sets(S0, S1 and S1′)

不同密度數(shù)據(jù)辨識(shí)的航向結(jié)果均與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)存在一定誤差。S0模型預(yù)測(cè)的絕對(duì)誤差在0.02 rad 以內(nèi)，精度較高，能夠滿足無(wú)人航行器響應(yīng)建模與路徑預(yù)測(cè)的實(shí)際需求。然而，隨著數(shù)據(jù)采集頻率降低，數(shù)據(jù)集稀疏程度加深，相應(yīng)的辨識(shí)誤差增大，說(shuō)明有必要保持一定的數(shù)據(jù)采集密度。在航向/舵角傳感器數(shù)據(jù)采集頻率固定的情況下，應(yīng)用合適的數(shù)據(jù)插值加密方法對(duì)參數(shù)辨識(shí)輸入矩陣預(yù)先進(jìn)行優(yōu)化處理，有利于得到高精度無(wú)人航行器KT響應(yīng)模型。

4 基于阿基米德螺旋(AS)重構(gòu)加密的改進(jìn)辨識(shí)

4.1 稀疏數(shù)據(jù)集AS插值重構(gòu)

阿基米德螺旋(AS)的極坐標(biāo)表達(dá)形式如下：

式中：r和 θ分 別為極徑和極角，θ ∈[0,θmax]；k為正常數(shù)。

選取采樣間隔為0.5 s的數(shù)據(jù)集S1進(jìn)行重構(gòu)，以t和 φ為基本變量。設(shè)第i個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)為Ai(ti,φi)(i=1,2,3,…)，Ai與Ai+1之 間采用AS幾何連接，記作ASi，參數(shù)化表達(dá)為：

式中： ρ為依據(jù)Ai與Ai+1相對(duì)位置關(guān)系確定的AS螺旋方向， ρ=1表示螺旋路徑從極坐標(biāo)的原點(diǎn)(Ai)按順時(shí)針?lè)较騻鞑ィ?ρ=?1即按逆時(shí)針?lè)较騻鞑ィ?σ表示螺旋初始角度。由于需給定螺旋初始方向，插值至少?gòu)牟杉牡?個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(A2)開(kāi)始，由A2與前點(diǎn)A1確定 σ。ρ和σ 的表達(dá)式如下：

為盡可能縮小時(shí)間維度響應(yīng)不足對(duì) σ值的影響，設(shè)Ai與Ai?1離散化插值所得點(diǎn)中最接近Ai?1者 為B(i?1)ilast(i>2)，將σ計(jì)算調(diào)整為：

每段AS重構(gòu)終止于點(diǎn)Ai+1(ti+1,φi+1)，以此為邊界條件，給定常數(shù)k和θmax。完成重構(gòu)的數(shù)據(jù)集記作S2。

A1,…,A4數(shù)據(jù)點(diǎn)為例，重構(gòu)方法示意如圖4所示。

圖4 AS插值重構(gòu)方法示意圖Fig.4 The schematic diagram of ASinterpolation method

4.2 重構(gòu)數(shù)據(jù)集辨識(shí)效果對(duì)比

為了進(jìn)一步體現(xiàn)AS重構(gòu)加密的優(yōu)越性，除將其模型參數(shù)辨識(shí)精度與原稀疏數(shù)據(jù)集S1對(duì)比外，還選取S1基于三次樣條插值的加密集S3作為對(duì)照。S0，S1，S2和S3參數(shù)辨識(shí)結(jié)果如表2所示，航向預(yù)測(cè)精度對(duì)比分別如圖5和圖6所示。

由表2，圖5和圖6可以看出，重構(gòu)加密后的數(shù)據(jù)集S2和S3較原稀疏數(shù)據(jù)模型辨識(shí)效果有明顯改善，KT參數(shù)辨識(shí)精度顯著提高，其中K的相對(duì)誤差縮小至不到1%；基于KT模型的航向角預(yù)測(cè)結(jié)果絕對(duì)誤差縮小了一個(gè)數(shù)量級(jí)。此外，AS彌補(bǔ)了三次樣條插值光滑性不足的缺陷，更加符合Z 形操縱試驗(yàn)中航向角光滑連續(xù)變化的實(shí)際情景。圖6表明，AS較三次樣條重構(gòu)加密精度提高了20%，展現(xiàn)了AS的卓越性。圖5和圖6表明，S2，數(shù)據(jù)集辨識(shí)已較為接近S0所得結(jié)果，很大程度上減小了傳感器采樣頻率較低時(shí)對(duì)無(wú)人航行器響應(yīng)模型辨識(shí)的影響。

表2 S0，S1，S2和S3辨識(shí)結(jié)果對(duì)比Tab.2 Comparison of identified results of S0,S1,S2 and S3

圖5 S0，S1和S2 所得KT 模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.5 Comparison of heading results derived from three data sets(S0,S1 and S2)

圖6 S0，S2 和S3所得KT 模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig. 6 Comparison of heading resultsderived from three data sets(S0,S2 and S3)

5 結(jié)語(yǔ)

本文將阿基米德螺旋加密重構(gòu)算法應(yīng)用于Z 形操縱試驗(yàn)數(shù)據(jù)的插值優(yōu)化中，并基于重構(gòu)數(shù)據(jù)集進(jìn)行一階線性操縱響應(yīng)方程的參數(shù)辨識(shí)。該方法優(yōu)化了系統(tǒng)辨識(shí)算法在稀疏數(shù)據(jù)集上的表現(xiàn)，并且有效彌補(bǔ)了三次樣條插值光滑程度有限的不足。本文從AS插值優(yōu)化算法的引入必要性、數(shù)據(jù)預(yù)處理與辨識(shí)過(guò)程、辨識(shí)結(jié)果分析與對(duì)比等三方面展開(kāi)研究，得到以下結(jié)論：

1）航向數(shù)據(jù)采集間隔由0.1 s 下降至0.5 s時(shí)，KT參數(shù)辨識(shí)平均誤差增大了33.5%，說(shuō)明數(shù)據(jù)采集頻率對(duì)參數(shù)辨識(shí)精度有很大影響。

2）在數(shù)據(jù)采集頻率受限的情況下，AS加密預(yù)處理的數(shù)據(jù)集與高精度高頻率采樣數(shù)據(jù)集的參數(shù)辨識(shí)平均誤差僅相差2.4%。同時(shí)依據(jù)辨識(shí)所得模型預(yù)測(cè)航向，與實(shí)際仿真試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，均方根誤差僅為0.0258 rad。表明AS插值優(yōu)化算法提高稀疏數(shù)據(jù)集辨識(shí)精度的有效性。

3）與基于三次樣條插值算法加密數(shù)據(jù)的效果對(duì)比表明，KT辨識(shí)與預(yù)測(cè)結(jié)果誤差均有所下降，驗(yàn)證了AS在變量光滑連續(xù)變化方面具有較大優(yōu)勢(shì)，更適合航向數(shù)據(jù)優(yōu)化的實(shí)際情境。