胡巧， 劉賢寧

西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400715

水痘(varicella)是一種由水痘-帶狀皰疹病毒引起的急性傳染病,對(duì)水痘傳播動(dòng)力學(xué)模型的研究最早見(jiàn)于文獻(xiàn)[1],之后有許多學(xué)者在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了新的模型[2-7],對(duì)水痘的傳播進(jìn)行預(yù)測(cè).文獻(xiàn)[8]利用傳染病模型評(píng)價(jià)水痘爆發(fā)疫情的控制效果.文獻(xiàn)[9]根據(jù)水痘在人群中的傳播特征建立了流行病模型,得出了模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.鑒于雙線性發(fā)生率[9-10]和標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率[11]具有局限性,在模型中考慮非線性發(fā)生率[12-14]具有很重要的現(xiàn)實(shí)意義.由于水痘的潛伏期較長(zhǎng),因此在模型中考慮潛伏期時(shí)滯就顯得尤為重要,但前期相關(guān)文獻(xiàn)研究中很少有包含潛伏期時(shí)滯的水痘傳播動(dòng)力學(xué)模型的研究.針對(duì)上述問(wèn)題,本文在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上,將總?cè)丝诜譃?個(gè)倉(cāng)室,分別是:S為易感者,V為接種疫苗者,E為潛伏者,I為染病者,R為恢復(fù)者,在模型中引入潛伏期時(shí)滯并考慮一般發(fā)生率,建立如下具有一般發(fā)生率和潛伏期時(shí)滯的水痘傳播動(dòng)力學(xué)模型

(1)

其中:A為人口的常數(shù)輸入率,μ是自然死亡率,ε為易感人群的疫苗接種率,β反映了疫苗接種者V免疫的有效性(β∈[0,1]),σ為疫苗接種成功率,τ表示潛伏期時(shí)滯,γ代表染病者的恢復(fù)率．

系統(tǒng)(1)滿足初始條件:

(2)

關(guān)于系統(tǒng)(1)中的f(I)有如下假設(shè):

(H2)If′(I)-f(I)≤0;f″(I)≤0,I>0且f′(I)≥0,即0≤f′(I)≤f′(0)．

由于系統(tǒng)(1)中的第1,2,4個(gè)方程與E和R無(wú)關(guān),故我們可以研究以下約化系統(tǒng):

(3)

1 解的非負(fù)有界性及平衡點(diǎn)的存在性

引理1在初始條件(2)的情況下,系統(tǒng)(3)的解(S(t),V(t),I(t))始終非負(fù)且有界．

證1) 利用反證法證明非負(fù)性.假設(shè)存在時(shí)間t1>0使得S(t)第一次到達(dá)0,即S(t1)=0,則

S′(t1)=A>0

所以對(duì)于充分小的ε>0,當(dāng)t∈(t1-ε,t1)時(shí),S(t)<0,這與在(0,t1)上S(t)>0矛盾.類(lèi)似地,可證得V(t)>0,I(t)>0．

2) 有界性.令N(t)=S(t)+V(t)+eμτI(t+τ),則

N′(t)=A-μN(yùn)-σV-γeμτI(t+τ)≤A-μN(yùn)

從而有

引理1證畢．

由引理1知,系統(tǒng)(3)的可行域?yàn)?/p>

本文將在可行域Ω內(nèi)研究系統(tǒng)(3)的動(dòng)力學(xué)性態(tài)．

令系統(tǒng)(3)的右端為0,易知系統(tǒng)(3)總存在無(wú)病平衡點(diǎn)

基于下一代矩陣的方法[15],可以得到系統(tǒng)(3)的基本再生數(shù)為:

引理2當(dāng)R0>1時(shí),系統(tǒng)(3)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)E*=(S*,V*,I*)．

證令系統(tǒng)(3)的右端等于0,可以得到如下方程組:

(4)

解方程組(4)得

(5)

把式(5)代入方程組(4)的第三個(gè)方程得

令

則有

由條件(H2)可知,φ′(I)<0.故由根的存在性定理可知,當(dāng)R0>1時(shí),系統(tǒng)(3)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)E*=(S*,V*,I*)．

2 穩(wěn)定性分析

定理1當(dāng)R0<1時(shí),無(wú)病平衡點(diǎn)E0局部漸近穩(wěn)定．

證系統(tǒng)(3)在E0處的特征方程為

則

λ1=-μ-ε,λ2=-μ-σ

矛盾,故當(dāng)R0<1時(shí),無(wú)病平衡點(diǎn)E0局部漸近穩(wěn)定．

定理2當(dāng)R0<1時(shí),無(wú)病平衡點(diǎn)E0全局漸近穩(wěn)定．

證定義如下Lyapunov泛函:

則對(duì)V1(t)沿著系統(tǒng)(3)的軌線求導(dǎo)得

由條件(H2)可知f(I)≤f′(0)I,所以

因此,如果R0<1則V′1(t)≤0,且僅在E0處V′1(t)=0,故由Lyapunov-LaSalle不變集原理[16]知E0全局漸近穩(wěn)定．

系統(tǒng)(3)在地方病平衡點(diǎn)E*處的特征方程為

g(λ)=λ3+A1λ2+A2λ+A3+(B1λ2+B2λ+B3)e-(λ+μ)τ=0

(6)

其中

定理3當(dāng)R0>1,τ≥0時(shí),地方病平衡點(diǎn)E*局部漸近穩(wěn)定．

證當(dāng)τ≥0時(shí),由系統(tǒng)(3)的第三個(gè)方程可得

所以由假設(shè)(H2)得

從而

故g(λ)不存在零根．

假設(shè)λ=iω(ω>0)是g(λ)=0的一個(gè)純虛根,代入特征方程(6)并分離實(shí)部和虛部得

(7)

將方程組(7)兩個(gè)等式兩邊分別平方并相加得

ω6+a1ω4+a2ω2+a3=0

其中

由于A3+B3e-μτ>0,又

因此

a3>0

故g(λ) 不會(huì)存在純虛根．

假設(shè)g(λ)存在一根λ0>0,使得g(λ0)=0,即

因?yàn)?/p>

所以

因此可知

因?yàn)?/p>

所以

這與g(λ0)=0矛盾.所以g(λ)=0不存在正根.綜上可得g(λ)=0只存在負(fù)實(shí)部根.故定理3得證．

定理4當(dāng)R0>1時(shí),地方病平衡點(diǎn)E*全局漸近穩(wěn)定．

證首先,定義函數(shù)h(x)=x-1-lnx.顯然,h(x)≥0(?x>0),且當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),h(x)=0. 定義如下Lyapunov泛函:

則對(duì)V2(t)沿著系統(tǒng)(3)的軌線求導(dǎo)得

由系統(tǒng)(3)的第2個(gè)方程知βV*f(I*)-εS*=-(μ+σ)V*,結(jié)合條件(H3)可得V′2(t)≤0,且僅在E*處V′2(t)=0,故由Lyapunov-LaSalle不變集原理[16]知當(dāng)R0>1時(shí)E*全局漸近穩(wěn)定．

3 數(shù)值模擬與結(jié)論

下面利用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值模擬來(lái)驗(yàn)證理論分析的結(jié)果.圖1和圖2分別模擬了無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性．

圖1 R0<1時(shí)E0全局漸近穩(wěn)定

圖2 R0<1時(shí)E*全局漸近穩(wěn)定

本文建立并研究了一類(lèi)具有一般發(fā)生率和潛伏期時(shí)滯的水痘傳播動(dòng)力學(xué)模型,證明了解的非負(fù)性和有界性,給出了基本再生數(shù)R0的表達(dá)式,通過(guò)構(gòu)造Lyapunov泛函并應(yīng)用LaSalle不變集原理得出: 當(dāng)R0<1時(shí)無(wú)病平衡點(diǎn)E0全局漸近穩(wěn)定,當(dāng)R0>1時(shí)地方病平衡點(diǎn)E*全局漸近穩(wěn)定．