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        單位圓盤上幾種Toeplitz算子的數(shù)值域①

        2023-05-08 04:39:00丁宣浩王章逸邵長慧李永寧
        關(guān)鍵詞:值域刻畫算子

        丁宣浩, 王章逸, 邵長慧, 李永寧

        1.重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,重慶 400067;2.經(jīng)濟(jì)社會應(yīng)用統(tǒng)計重慶市重點實驗室,重慶 400067

        設(shè)T為Hilbert空間上的有界線性算子.記T的譜為σ(T).記集合S的凸包為convS.則算子T的數(shù)值域定義為集合

        W(T)={〈Tf,f〉:f∈H,‖f‖=1}

        與算子的譜類似,算子的數(shù)值域是復(fù)平面中的子集,并且可以反映出算子的一些代數(shù)性質(zhì).例如,T是自伴算子當(dāng)且僅當(dāng)W(T)?R,T是半正定的當(dāng)且僅當(dāng)W(T)?[0,∞).

        由于本文的需要,這里列舉一些算子數(shù)值域的簡單性質(zhì),其證明可參見文獻(xiàn)[1-2].更多關(guān)于算子數(shù)值域的知識,我們推薦文獻(xiàn)[2-3].

        引理1[1]算子T的數(shù)值域W(T)具有下述性質(zhì):

        (i)W(T)是凸集;

        (iii) 對任意的α,β∈C,W(αT+βI)=W(T)+β;

        (v) 對任何的酉算子U,W(U*TU)=W(T);

        設(shè)H1,H2為Hilbert空間,記F為H1⊕H2上的由下述分塊形式給出的線性算子

        這里A和D分別表示H1和H2上的線性算子,B為從H2到H1上的線性算子,C為從H1到H2上的線性算子.

        2×2分塊算子的二次數(shù)值域的概念是由文獻(xiàn)[4]引入的,定義為集合

        下述關(guān)于F的二次數(shù)值域的性質(zhì)在我們主要結(jié)果的證明中很有用,故我們引用如下(引理2),而且,為了讀者閱讀方便,這里我們用更直接的方法證明了第一條性質(zhì),這與文獻(xiàn)[5]中的證明方法不同.

        引理2[5]H1⊕H2上的線性算子F的二次數(shù)值域W(F)具有如下性質(zhì):

        (i)W2(F)?W(F);

        (ii)σ(F)?W2(F);

        (iv) 若dimH2>1,則W(F)?W2(F); 若dimH1>1,則W(D)?W2(F).

        證(i) 對于任意給定的x∈H1,y∈H2且‖x‖=‖y‖=1,定義Fxy為

        則Fxy是從C2到C2的有界線性算子.而且,易知

        則有

        令f=α1x+α2y.因為x⊥y,

        由于

        故可得

        從而推出W(Fxy)?W(F).因為有限維線性空間上的有界線性算子的數(shù)值域是緊集,所以

        由上述事實和引理1,可得

        因此,對任意的x∈H1,y∈H2,則有

        (1)

        從而性質(zhì)(i)得證.

        對于有界線性算子,由引理2中的(i)和(ii)可知在線性算子的譜刻畫方面,二次數(shù)值域能提供比數(shù)值域更精確的信息.

        設(shè)D是復(fù)平面C上的單位開圓盤,H2是單位開圓盤上經(jīng)典的Hardy空間,L2=L2(T)為單位圓周T={z∈C: |z|=1}上的Lebesgue空間.設(shè)H∞為D上的有界解析函數(shù)所構(gòu)成的空間.根據(jù)Fatou定理和調(diào)和延拓定理[6],我們通常將H2與L2(T)中由解析函數(shù)構(gòu)成的閉子空間等同起來.

        設(shè)P為從L2到H2上的正交投影算子.對任意的φ∈L∞,Hardy空間上的Toeplitz算子Tφ定義為

        Tφx=Pu(φx)x∈H2

        Hφx=(I-P)(φx)x∈H2

        Hardy空間的正交補(bǔ)空間(H2)⊥上的對偶Toeplitz算子Sφ定義為

        Sφy=(I-P)(φy)y∈(H2)⊥

        容易驗證

        記Mφ為L2上的乘法算子,則在L2=H2⊕(H2)⊥下,由簡單計算可得

        (2)

        (3)

        1 Hardy-Toeplitz算子的數(shù)值域和二次數(shù)值域

        在本節(jié),我們研究用Toeplitz算子的符號來刻畫Hardy空間上Toeplitz算子的數(shù)值域和二次數(shù)值域.由Hardy空間上Toeplitz算子的代數(shù)性質(zhì)[11]可知,所有的Hardy-Toeplitz算子均是凸算子.文獻(xiàn)[12]應(yīng)用算子的譜完全刻畫了任意一個Hardy-Toeplitz算子的數(shù)值域.

        引理3[13](i)若φ∈L∞為非常值函數(shù)且Tφ是正規(guī)算子,則σ(Tφ)是一條連接a和b的閉直線段[a,b],并且W(Tφ)是對應(yīng)的開直線段(a,b);

        (ii) 若φ∈L∞為非常值的函數(shù)且Tφ不是正規(guī)算子,則W(Tφ)=(convσ(Tφ))°,其中E°表示集合E的內(nèi)部;

        (iii) 若φ∈H∞,則W(Tφ)=convφ(D).

        定理2設(shè)φ∈L∞,Mφ是L2上的乘法算子,則

        (4)

        證一方面,?z∈D,

        φ(z)=〈Mφkz,kz〉∈W(Mφ)

        則有

        φ(D)?W(Mφ)

        從而

        從而可得

        將以上兩方面結(jié)合起來,則結(jié)論得證.

        下述定理3用符號的值域刻畫了有界符號的Hardy-Toeplitz算子的數(shù)值域.

        定理3設(shè)φ∈L∞,則

        證一方面,由于Mφ在空間分解L2=H2⊕(H2)⊥下的表示為

        以及dim(H2)⊥>1,根據(jù)引理2,可得

        W(Tφ)?W2(Mφ)?W(Mφ)

        另一方面,對任意的z∈D,因為

        φ(z)=〈Tφkz,kz〉=〈φkz,kz〉∈W(Tφ)

        則有φ(D)?W(Tφ).從而

        (5)

        在Tφ的上述表示((5)式)下,Tφ的二次數(shù)值域為

        W2(Tφ)=W(Tφ)

        W(tφ)?W2(Tφ)?W(Tφ)

        W(tφ)=W(Tφ)

        從而

        W2(Tφ)=W(Tφ)

        2 Bergman-Toeplitz算子的數(shù)值域

        在本節(jié)中,我們給出了Bergman空間上Toeplitz算子的數(shù)值域的刻畫.

        文獻(xiàn)[19]研究了Bergman空間上調(diào)和符號的Toeplitz算子的性質(zhì),給出了有界調(diào)和符號的Bergman-Toeplitz算子的數(shù)值域刻畫,并應(yīng)用符號的值域刻畫了解析符號的Bergman-Toeplitz算子的數(shù)值域,這里我們引用如下(引理4).由于調(diào)和符號的Bergman-Toeplitz算子和Hardy-Toeplitz算子的性質(zhì)相似[20],本節(jié)我們運用符號的值域給出有界解析符號的Bergman-Toeplitz算子的數(shù)值域的類似刻畫.

        引理4[19](i) 設(shè)φ是單位圓盤D上的非常值的有界調(diào)和函數(shù),且Tφ為正規(guī)算子,則存在常數(shù)a,b使得σ(Tφ)=[a,b]且W(Tφ)=(a,b);

        (ii) 設(shè)φ是單位圓盤D上的非常值有界調(diào)和函數(shù),且Tφ不是正規(guī)算子,則W(Tφ)是一個開凸集;

        (iii) 若φ∈H∞,則W(Tφ)=convφ(D).

        類似定理2,應(yīng)用Berezin變換可證得下述結(jié)論:

        引理5設(shè)φ∈L∞(D),Mφ是L2(D)上的乘法算子,則

        下面,我們給出有界調(diào)和符號的Bergman-Toeplitz算子的數(shù)值域的不同形式的刻畫:

        定理5設(shè)φ是單位圓盤D上的有界調(diào)和函數(shù),則

        W(Tφ)=convφ(D)

        W(Tφ)?W2(Mφ)?W(Mφ)

        (6)

        對任意的z∈D,因為

        φ(D)?W(Tφ)

        因此

        根據(jù)引理5及關(guān)系式(6),可得

        因為緊集的凸包仍是緊集,開集的凸包仍是開集,以及開凸集等于其閉包的內(nèi)部,根據(jù)引理4,故可得

        W(Tφ)=convφ(D)

        3 對偶截斷Toeplitz算子的數(shù)值域和二次數(shù)值域

        (7)

        其中Sφ為定義在(H2)⊥上的對偶Toeplitz算子.下面,我們給出Dφ的數(shù)值域和二次數(shù)值域的刻畫:

        定理6設(shè)φ∈L∞,u為階大于1的內(nèi)函數(shù),則

        證根據(jù)Dφ的表示(7)式以及引理2,可得

        W(tφ)?W2(Dφ)?W(Dφ)

        從而

        可得

        W(Dφ)?W2(Mφ)?W(Mφ)

        從而

        因為

        φ(D)?W(tφ)?W2(Dφ)?W(Dφ)?W2(Mφ)?W(Mφ)

        從而

        因此可得

        結(jié)論得證.

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