時天昊, 白銀山, 沈 堤, 沈志遠

(1.南京航空航天大學民航學院,南京,211106;2.94116部隊,新疆和田,848000;3.空軍工程大學空管領(lǐng)航學院,西安,710051)

根據(jù)《“十四五”民用航空發(fā)展規(guī)劃》,預計到2025年,民用運輸機場數(shù)量達到270個以上,保障起降架次1 700萬。民航的快速發(fā)展導致機場終端區(qū)的頻譜資源需求及安全隱患大大增加,對頻譜的快速高效監(jiān)測可以指導頻譜的智能管理。在機場終端管制區(qū)認知無線電技術(shù)可以包括:利用信號能量檢測實現(xiàn)信號狀態(tài)感知及稀疏化處理,將電磁信號轉(zhuǎn)換成二進制信號,并將二進制信號作為測量信號,引入寬帶壓縮頻譜感知模型,利用壓縮感知[1](compressed sensing,CS)算法進行信號傳遞后的重構(gòu)工作。壓縮感知可以在較小的采樣頻率的情況下對頻譜進行高精度監(jiān)測,同時在廣播式自動相關(guān)監(jiān)視(automatic dependent surveillance-broadcast, ADS-B)的來波信號估計、干擾抑制、空管數(shù)據(jù)處理等方面也有著廣泛的應用。

壓縮感知算法是一種高效的信號采集及重構(gòu)算法,該算法在采樣頻率遠低于奈奎斯特頻率情況下依然有著優(yōu)秀的重構(gòu)精度,大大降低了信號的傳輸量,在圖像重建[2]、遠距離通信[3]等領(lǐng)域有廣泛的應用前景。對于壓縮感知的研究主要集中在測量矩陣構(gòu)造、信號稀疏表示、重構(gòu)算法3個方面[4]。重構(gòu)算法的選擇直接影響著信號恢復的精度及速度。重構(gòu)算法主要有組合類算法、凸優(yōu)化類算法和貪婪追蹤類算法3種[5]。貪婪類算法憑借復雜度低,重構(gòu)效果好,收斂速度快等特點得到了廣泛應用。貪婪算法需要較多的先驗信息,然后在每次迭代過程中,不斷地將迭代目標像原始信號靠近,并通過設(shè)定一個收斂條件來結(jié)束算法,從而達到具有較高重構(gòu)精度的信號。常用的貪婪類算法包括匹配追蹤[6]、正交匹配追蹤[7]、正則化正交匹配追蹤[8]、分段正交匹配追蹤[9]、壓縮采樣匹配追蹤[10]、子空間追蹤算法[11]。但是上述介紹的算法一般需要先驗參數(shù)稀疏度K來確定迭代的次數(shù),在實際運用中不具備較高的應用性,為了解決這個問題,文獻[12]提出了稀疏度自適應匹配追蹤算法(sparsity adaptive matching pursuit,SAMP),該算法在稀疏度未知的情況下依舊具有較高的重構(gòu)精度。SAMP算法在迭代過程中的原子篩選標準均采用的是內(nèi)積匹配準則,有時會導致2個相似原子信息的丟失,降低重構(gòu)精度。SAMP-RB算法[13]在原子篩選階段采用了正則化回溯的思想,用正則化進行原子的二次篩選,大大提高了重構(gòu)精度,但是由于增加了二次篩選,其算法運行時間也大大增加。文獻[14]提出的DSAMP算法用Dice系數(shù)代替了SAMP算法中的內(nèi)積匹配準則進行原子篩選,Dice系數(shù)可以更好地突出殘差信號中的重要元素組成部分,更準確的選擇符合信號重構(gòu)的原子,大大提高了重構(gòu)精度。同時,SAMP算法在運行前需要進行一個固定步長設(shè)置,過大的步長設(shè)置會導致算法的精度達無法達到理想效果,而過小的步長設(shè)置會降低算法的運行效率。文獻[15]將變步長的思想引入到算法之中,作者利用Sigmoid函數(shù)作為變步長的判斷條件,利用大步長逼近,小步長漸進的方法提高了算法的重構(gòu)精度及運行效率。SAMP-PVRB[16]不僅采用了正則化回溯的思想,還將拋物線函數(shù)和變步長思想結(jié)合,函數(shù)的變化率與算法迭代過程中步長的大小變化呈正相關(guān),取得了良好的效果。在變步長思想中增加初始稀疏度估計有助于大小步長的設(shè)置,降低算法的迭代次數(shù),Gao[17]根據(jù)定理:稀疏度小于等于測量數(shù)的1/4時,信號可以完全準確地重建。將初始稀疏度大小設(shè)置為測量數(shù)的1/4進行取根號處理,與未設(shè)置初始稀疏度情況相比重構(gòu)效率大大提高。

由于民航終端區(qū)頻譜資源態(tài)勢復雜,以上方法在解決頻譜感知等問題時的精度及效率還未達到要求,為解決上述問題,本文提出了一種基于SAMP算法改進的算法:JTVS-SAMP(J代表廣義Jaccard系數(shù),T代表t-平均相關(guān)系數(shù),VS代表變步長思想)。該算法在原子篩選過程中,利用廣義Jaccard系數(shù)代替了SAMP算法中的內(nèi)積匹配準則,并引入t-平均相關(guān)系數(shù)對初始稀疏度進行預測來確定算法迭代的初始步長,同時引入了變步長的思想來優(yōu)化算法的重構(gòu)效率和重構(gòu)精度。

1 壓縮感知

1.1 壓縮感知的概述

壓縮感知的流程如圖1所示[18],主要分為3步:信號稀疏表示、信號采樣、信號重構(gòu)。

圖1 壓縮感知流程圖

常用的信號稀疏化處理包括小波變換[19]、曲波變換[20]、離散傅里葉變換[21]等。圖1中,Ψ是N×N維稀疏表示陣,x∈RN是長度為N的一維信號,經(jīng)過稀疏表示陣處理后,信號就具備了稀疏性,數(shù)學表達為:

y=ΦΨx=Θx

(1)

式中:y∈RM為壓縮信號;Φ表示測量矩陣;Θ=ΦΨ為M×N的感知矩陣。

如果一個信號本來就具備稀疏性且為一維的,那就可以直接使用一個測量矩陣來對信號進行測量,數(shù)學表達為:

y=Φx

(2)

式中:Φ∈RM×N,M?N為測量矩陣;y是被測量矩陣測量后的測量信號。

在信號的采樣過程中,會丟棄原始信號x大量的無用信息,因此測量信號會有一定程度上的能量缺失,Tao和Candès證明了稀疏度為K的測量信號要從M個測量值準確的進行信號重構(gòu),就要保證測量矩陣Φ滿足有限等距特性[22](restricted isometry property,RIP)。

信號重構(gòu)過程即對式(2)的逆向求解過程。在式中M?N,因此x的解會有無窮多個,考慮到x具有稀疏性,可以把信號重構(gòu)過程轉(zhuǎn)換成l0范數(shù)問題進行計算[23],信號重構(gòu)的數(shù)學模型可表示為:

(3)

式中:‖·‖0是一個非凸函數(shù),代表輸入信號中非零元素數(shù)量,對于公式的求解屬于NP(non-deterministic polynomial,NP)難問題,無法直接求解,文獻[24]將L0范數(shù)最小化問題轉(zhuǎn)換成了更加簡單的L1范數(shù)最小化問題,實現(xiàn)了從非凸向凸的轉(zhuǎn)變,計算式如下:

(4)

1.2 SAMP算法

SAMP算法是貪婪類算法的一種,該算法不需要稀疏度K等先驗信息,更符合自然界信號的實際情況。算法步驟流程如下:

表1 SAMP算法步驟

2 JTVS-SAMP算法

2.1 算法改進

2.1.1 基于廣義Jaccard系數(shù)的原子篩選

傳統(tǒng)的SAMP算法采用了內(nèi)積匹配準則[25]來作為原子篩選標準,原子與迭代過程中的殘差匹配度越高,其內(nèi)積計算結(jié)果越大,將該原子加入到支撐集中就可以更快地逼近原始信號,可以達到較為優(yōu)秀的重構(gòu)精度,內(nèi)積匹配準則表達式為:

(5)

式中:x=(x1,x2,…,xn);y=(y1,y2,…,yn)。

由于內(nèi)積匹配準則更多地考慮了原子和信號殘差之間角度的差距,缺乏對信號本身的關(guān)注,這會導致在原子篩選過程中會忽略2個相似度較高的原子,造成信號丟失,降低重構(gòu)質(zhì)量。為了避免上述情況的出現(xiàn),引用了廣義jaccard系數(shù)來代替內(nèi)積匹配準則[23],計算式如下:

(6)

由式(6)可以看出,廣義jaccard系數(shù)可以反應出2個向量之間的相似度。分母上放大了2個原子的差異部分,減去了兩者的相似部分,使得原子不容易混淆,減少了重要信息的丟失,使得重構(gòu)精度大大提升。

2.1.2 初始稀疏度的預估計

準確合適的初始稀疏度估計可以指導設(shè)置初始步長,有效地減少迭代次數(shù),提高運行效率,本文采用的稀疏估計策略基于如下性質(zhì)[26]:

當滿足RIP條件的測量矩陣Φ在稀疏度K下有以下規(guī)定時:

(7)

式中:‖Λ‖0=K0,則K0

式(7)中RIP系數(shù)δK計算復雜,不容易通過計算得出準確結(jié)果。δK與矩陣的正交性呈正相關(guān),其值的大小與信號采樣過程中保留的原始信號信息有關(guān),與0越靠近代表保存的原始信息更完整。根據(jù)上述特點,引入了t-平均相關(guān)系數(shù)來代替RIP系數(shù)δK,可以在保證稀疏度估計精確度的同時大大降低計算復雜度,如式(8)所示:

(8)

式中:μt(Φ)是測量矩陣Φ的t-平均相關(guān)系數(shù)。

t-平均相關(guān)系數(shù)作為測量矩陣的評價指標,定義如下[27]:

(9)

由此,可以對初始稀疏度K0進行估計,初始化K0=1,代入式(8)進行驗證,如果滿足條件,則K0=K0+1,繼續(xù)代入公式驗證,否則就結(jié)束迭代并輸出K0。

2.1.3 迭代過程中的變步長處理

在測量矩陣滿足RIP條件的前提下,測量信號y與原始稀疏信號x滿足以下關(guān)系[17]:

(10)

雖然考慮了大小步長變化的方法來平衡重構(gòu)效率及重構(gòu)精度之間的平衡,但是由于稀疏度K的未知性,無法準確地確定算法迭代的次數(shù),若在最后一次迭代計算時,步長S仍然有著較大的值,可能會導致過估計[28]的現(xiàn)象,為了避免出現(xiàn)上述情況,結(jié)合回溯的思想,本文提出了一種步長S的處理方法。若最后一次迭代過程中,步長S=1,就不進行額外處理;若S>1,則將迭代中的參數(shù)回溯至上次迭代的數(shù)據(jù),然后以步長S=1繼續(xù)迭代,直到再一次滿足迭代結(jié)束條件,經(jīng)過回溯處理后,重構(gòu)信號的誤差會大大降低。

2.2 算法步驟

根據(jù)以上改進措施,本文在SAMP算法的基礎(chǔ)上提出了JTVS-SAMP算法,步驟流程如下:

表2 JTVS-SAMP算法步驟

3 仿真結(jié)果及對比分析

為了比較本算法和其他算法重構(gòu)精度及重構(gòu)效率上的優(yōu)越性,本文選擇一維高斯隨機稀疏信號來模擬算法所需的測量信號,該信號可以有效的模擬機場終端區(qū)信號經(jīng)過能量檢測處理后的信道狀態(tài)[27]。測量矩陣Φ選擇為高斯隨機矩陣進行信號采樣,實驗中所采用的對比算法為實驗選用OMP、CoSaOMP、SP、gOMP、SAMP,參數(shù)設(shè)置見表3。

表3 仿真參數(shù)表

本文所有實驗運行的平臺為MATLAB R2022a,計算機配置為Intel i5-6500 CPU @ 3.20Hz,8.00 GB RAM,Windows 7。為避免額外因素干擾,程序運行期間保證后臺其余程序全部關(guān)閉。

3.1 不同觀測值下的算法重構(gòu)成功率

每種算法實驗重復500次,運行結(jié)果見圖2。

圖2 不同觀測值信號重構(gòu)成功率

從圖中的曲線我們可以看出,隨著測量數(shù)M的的增加,各個算法的信號重構(gòu)成功率都有較大的提升。50

3.2 不同稀疏度下的算法重構(gòu)成功率

圖3 不同稀疏度信號重構(gòu)成功率

從圖3可以看出,在測量值為定值的情況下,隨著稀疏度K的增加,所有的算法信號重構(gòu)成功率均呈現(xiàn)不同程度的下降。JTVS-SAMP算法下降速度遠遠慢于其它算法,在稀疏度K=65的時,依然保持著一定的信號重構(gòu)成功率,而SAMP算法的重構(gòu)成功率已經(jīng)接近0。

3.3 不同算法的重構(gòu)誤差比較

為了驗證JTVS-SAMP算法及SAMP算法在信號重構(gòu)成功情況下其重構(gòu)精度的優(yōu)劣,我們引入了重構(gòu)誤差這個指標來表示重構(gòu)信號和原始信號的相似性,重構(gòu)誤差越大,代表信號重構(gòu)效果越差,計算公式如下:

(11)

選擇K=30,35,40共3個稀疏度。SAMP算法的步長設(shè)置由2～8,選取步長為4和8兩種情況進行對比分析。對每個特定K值條件下仿真1 000次,統(tǒng)計仿真結(jié)果計算信號的平均重構(gòu)誤差,見表4。

表4 重構(gòu)誤差對比表

由表格可得,隨著稀疏的K的增加,JTVS-SAMP、SAMP-4和SAMP-8的重構(gòu)誤差都會逐漸增大,SAMP-4相比于SAMP-8,采用了更小的步長設(shè)置,在算法迭代過程中具有更高的精度,因此其重構(gòu)誤差小于SAMP-8的重構(gòu)誤差。JTVS-SAMP的重構(gòu)誤差略優(yōu)于SAMP-4算法,這是因為JTVS-SAMP算法利用廣義Jaccard系數(shù)篩選原子、小步長逼近等措施,使得該算法具有較高的精度。

3.4 不同信號采樣率情況下的重構(gòu)精度分析

信號采樣率的大小是測量數(shù)與信號長度的比值,代表了采集過程中的所需的信號采集數(shù)量。為了證明算法在不同信號采樣率情況下的重構(gòu)性能,引入均方誤差(MSE)作為評價指標,其計算公式如下:

(12)

在壓縮感知中,測量信號K≤M/4是稀疏信號完全恢復的充分條件[17]。因此在本次仿真實驗中,設(shè)置測量信號稀疏度K=M/4。采用SAMP算法作為對比算法,其步長設(shè)置分為4和8兩種情況,探討采樣率為0.1,0.2,0.3,0.4,0.5情況下的改進算法與對比算法的重構(gòu)精度,結(jié)果見圖4。

圖4 不同采樣率下的算法均方誤差比較圖

從圖4可以看出,隨著采樣率的增加,3種算法的均方誤差數(shù)值在逐漸減小,當采樣率大于0.3時,所有的算法均可以完成高精度信號重構(gòu),但在低采樣率的信號重構(gòu)過程中,JTVS-SAMP算法相比于SAMP算法,具有更高的誤差控制能力,表明了算法在低采樣率情況下也具有較高的算法穩(wěn)定性。

3.5 算法重構(gòu)時間的比較

為了驗證JTVS-SAMP算法的重構(gòu)效率的優(yōu)越性,使用Matlab軟件進行算法用時統(tǒng)計,與步長設(shè)置為4、8的SAMP-4、SAMP-8算法進行比較。采樣信號固定測量數(shù)M=128,設(shè)置稀疏度K從5開始,步長為10增加到40。進行循環(huán)200次處理計算平均運行時間,仿真結(jié)果見圖5。

圖5 平均運行時間對比圖

由圖5可以看出,隨著稀疏的K的增加,3種算法的平均運行時間都在增加,這是由于信號重構(gòu)的內(nèi)容增多,其耗費的時間也在逐漸增加。SAMP-4的平均運行時間大于其余兩種算法,是由于其步長設(shè)置較小導致的效率偏低。JTVS-SAMP算法在效率方面略優(yōu)于SAMP-4算法,這是因為JTVS-SAMP算法對初始稀疏度進行了預測,且采用了變步長的思想,在大步長階段的快速迭代,大大降低了算法所需時間。

4 結(jié)語

本文基于的SAMP算法,通過融合廣義Jaccard系數(shù)、t-平均相關(guān)系數(shù)、變步長思想,提出了JTVS-SAMP算法。相比于SAMP,COSaOMP,gOMP等傳統(tǒng)壓縮感知算法,在使用二進制信號模擬信號能量檢測后的機場電磁信號時,JTVS-SAMP算法在同稀疏度不同觀測值、不同稀疏度同觀測值下的情況下,算法重構(gòu)的成功率表現(xiàn)更為優(yōu)秀,且與其原算法SAMP相比,在重構(gòu)誤差、低采樣率信號穩(wěn)定性、重構(gòu)時間等方面均有了明顯的提高。該改進算法未來可在機場終端區(qū)頻譜分析、波達方向估計等領(lǐng)域廣泛應用。