楊 婧 余顯祥 沙明輝 崔國(guó)龍* 孔令講(電子科技大學(xué)信息與通信工程學(xué)院 成都 611731)(北京無線電測(cè)量研究所 北京 100854)

1 引言

隨著電子系統(tǒng)向信息化和智能化發(fā)展，新一代多功能一體化電子系統(tǒng)通過共用信號(hào)、信道、天線、數(shù)據(jù)處理等硬件和軟件資源以實(shí)現(xiàn)多功能共用，成為國(guó)內(nèi)外學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的研究熱點(diǎn)[1–4]。其中，多輸入多輸出(Multi-Input Multi-Output,MIMO)技術(shù)由于具有空間分集與復(fù)用增益等優(yōu)勢(shì)，在探通一體化系統(tǒng)中可增強(qiáng)系統(tǒng)性能，從而引發(fā)了廣泛關(guān)注[5–8]。

MIMO探通一體化系統(tǒng)根據(jù)載頻數(shù)量可分為兩種：(1)多載頻MIMO一體化系統(tǒng)：以跳頻(Frequency Hopping,FH)和正交頻分復(fù)用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing,OFDM)信號(hào)為代表[9]，通信信息可調(diào)制于頻率、頻率增量、相位、方向圖等參數(shù)中；(2)單載頻MIMO一體化系統(tǒng)：通過設(shè)計(jì)發(fā)射波形矩陣或正交波形加權(quán)矩陣[10]，用戶端通信信息可采用幅移鍵控(Amplitude Shift Keying,ASK)、相移鍵控(Phase Shift Keying,PSK)、正交調(diào)幅(Quadrature Amplitude Modulation,QAM)等調(diào)制。

對(duì)于多載頻MIMO一體化系統(tǒng)，Hassanien等人[11]提出將通信信息PSK調(diào)制在MIMO雷達(dá)正交FH信號(hào)中。文獻(xiàn)[12]放松了不同F(xiàn)H信號(hào)的正交性以增加通信數(shù)據(jù)量和優(yōu)化探通一體化性能，并在文獻(xiàn)[13]中通過空域調(diào)制進(jìn)一步提升數(shù)據(jù)傳遞速率。文獻(xiàn)[14]提出了MIMO系統(tǒng)多載波PM-FMCW架構(gòu)。通過選擇陣列天線、調(diào)制相位、載波和天線發(fā)射信號(hào)置換選擇調(diào)制通信信息，增加了通信信息量，且雷達(dá)分辨率接近于等孔徑寬帶雷達(dá)。文獻(xiàn)[15,16]采用多子脈沖OFDM信號(hào)實(shí)現(xiàn)雷達(dá)通信一體化，并提出了基于通信信息補(bǔ)償和解相干處理的目標(biāo)距離和速度超分辨估計(jì)算法。對(duì)于單載頻MIMO一體化系統(tǒng)，部分MIMO探通一體化系統(tǒng)利用陣列空間幾何結(jié)構(gòu)，通過多正交信號(hào)的線性加權(quán)將通信信息嵌入其旁瓣方向圖幅度或(和)相位中。其中，文獻(xiàn)[17]可同時(shí)實(shí)現(xiàn)主、旁瓣P(guān)SK下行鏈路通信，且有更高的精度和數(shù)據(jù)率，文獻(xiàn)[18]進(jìn)一步介紹了如何利用接收波束形成器將上行通信信號(hào)從接收混合信號(hào)中分離。文獻(xiàn)[19]提出采用置換矩陣混排天線間發(fā)射信號(hào)順序以調(diào)制通信信息，設(shè)計(jì)正交信號(hào)加權(quán)矩陣以實(shí)現(xiàn)理想雷達(dá)波束圖，該調(diào)制方法對(duì)雷達(dá)方向圖性能無影響。文獻(xiàn)[20]針對(duì)分離和共享式天線陣列，提出了基于方向圖模板匹配的一體化波束成型方法，保證了下行用戶的信干噪比(Signal to Interference plus Noise Ratio,SINR)以及系統(tǒng)的發(fā)射總功率預(yù)算。文獻(xiàn)[21]提出了基于空-頻域信息調(diào)制的MIMO一體化波形設(shè)計(jì)方法，通過通信方向接收信號(hào)多頻譜約束下最小化發(fā)射方向圖積分旁瓣電平(Integrated Sidelobe Level,ISL)，保證雷達(dá)探測(cè)功能的同時(shí)嵌入通信信息。

本文針對(duì)基于預(yù)編碼矩陣調(diào)制的MIMO探通一體化系統(tǒng)，提出了基于交替方向乘子(Alternation Direction Method of Multipliers,ADMM)的一體化信號(hào)矩陣設(shè)計(jì)方法。具體而言，在用戶和竊聽用戶參考密碼本約束下通過最大化MIMO一體化系統(tǒng)波束峰值主瓣旁瓣電平比(Peak Mainlobe to Sidelobe level Ratio,PMSR)，保證探測(cè)方向圖性能的同時(shí)防止通信信息被竊聽。針對(duì)預(yù)編碼矩陣解調(diào)問題，提出了基于交替方向懲罰(Alternating Direction Penalty Method,ADPM)的排序?qū)W習(xí)優(yōu)化解調(diào)算法，解決了窮舉法導(dǎo)致的維數(shù)災(zāi)難問題，可快速有效恢復(fù)置換矩陣。

本文后續(xù)使用以下符號(hào)定義：粗體小寫字母(例如：a)用于表示向量；粗體大寫字母(例如：A)用于表示矩陣；(·)T,(·)*和(·)H分別表示轉(zhuǎn)置、共軛和共軛轉(zhuǎn)置。CN×M,RN,CN分別表示N×M維復(fù)矩陣、N維實(shí)向量和復(fù)向量?！巍伪硎鞠蛄?范數(shù)。IN和1N分別表示N×N維單位陣和N維全1向量。?{·}和?{·}分別表示實(shí)部和虛部。arg(·)和|·|分別表示復(fù)數(shù)或復(fù)向量的相位和模。?·」表示向下取整。

2 信號(hào)模型

圖1描繪了基于預(yù)編碼矩陣調(diào)制的MIMO探通一體化系統(tǒng)框架[19]。一體化系統(tǒng)通過置換矩陣P混排正交波形Φ位置調(diào)制通信信息，通過優(yōu)化設(shè)計(jì)權(quán)重矩陣W得到發(fā)射信號(hào)矩陣Si，限制密碼本約束從而便于通信方向解調(diào)、防止竊聽方向截獲信息，同時(shí)抑制發(fā)射方向圖旁瓣電平以保證探測(cè)性能。通信和竊聽用戶為解調(diào)通信信息，令接收信號(hào)與正交波形組Φ脈壓。由于通信方向密碼本各元素不同(圖1中以PSK調(diào)制為例)，可通過恢復(fù)置換位置進(jìn)行解調(diào)。而竊聽用戶方向脈壓后信號(hào)元素全部相同，無法解調(diào)獲取通信信息。后續(xù)首先介紹窄帶MIMO體制探通一體化系統(tǒng)的發(fā)射信號(hào)模型和通信信息嵌入方法，進(jìn)而介紹其發(fā)射波束方向圖；然后針對(duì)通信用戶端介紹了對(duì)應(yīng)的接收信號(hào)模型。

圖1 基于預(yù)編碼矩陣調(diào)制的MIMO探通一體化系統(tǒng)框架示意圖Fig.1 The framework diagram of the MIMO DFRC system based on permutation matrix modulation

2.1 一體化系統(tǒng)發(fā)射信號(hào)模型

考慮探通一體化系統(tǒng)發(fā)射陣列為一個(gè)具有M個(gè)正交共置天線，間距為d的均勻線陣。令Φ∈CK×L為正交離散波形矩陣，并滿足所有時(shí)滯和多普勒位移下的正交條件，其中K和L分別為正交波形個(gè)數(shù)和每個(gè)脈沖的快拍數(shù)。則Φ滿足[22,23]

為了在MIMO一體化系統(tǒng)雷達(dá)探測(cè)任務(wù)中嵌入通信信息，采用預(yù)編碼矩陣以置亂預(yù)設(shè)正交波形集Φ。則第i個(gè)脈沖的重構(gòu)正交波形集可表示為

其中，Pi∈CK×K為任意置換矩陣并滿足

因此，單個(gè)脈沖嵌入信息量為

為了控制發(fā)射方向圖和通信性能，采用權(quán)重矩陣W=[w1w2...wK]∈CM×K，則基帶發(fā)射信號(hào)可表示為

假設(shè)傳播是非分散的，在第i個(gè)脈沖目標(biāo)方向θ上的合成信號(hào)為

其中，a(θ)是空域?qū)蚴噶?，表達(dá)式為

λ為波長(zhǎng)。則探測(cè)信號(hào)在θ方向上的能量，即發(fā)射方向圖，可寫作

其中，w=vec(W),A(θ)=IK ?a(θ)。注意到P(θ)與Pi無關(guān)，即通信信息的傳輸對(duì)于方向圖性能無影響。

為了提高M(jìn)IMO探通一體化系統(tǒng)探測(cè)目標(biāo)回波SINR、增強(qiáng)系統(tǒng)的探測(cè)性能，MIMO探通一體化系統(tǒng)發(fā)射波束賦形旨在通過控制發(fā)射波形能量盡可能集中于主瓣區(qū)域，從而獲得更大能量感興趣方位目標(biāo)信息，降低旁瓣區(qū)域輻射能量以減少信號(hào)相關(guān)干擾回波返回，是重要的探測(cè)性能指標(biāo)之一。

2.2 通信接收信號(hào)模型

假設(shè)Si是第i個(gè)脈沖發(fā)射波形矩陣，C個(gè)單天線通信用戶分別位于,c=1,2,...,C。則第c個(gè)通信接收機(jī)的輸入基帶信號(hào)可表示為

然后，接收信號(hào)通過匹配濾波器Φ，可得

表示通信密碼本并滿足P(θ)=∥s(θ)∥2。

3 基于ADMM的一體化信號(hào)矩陣設(shè)計(jì)方法

根據(jù)上述探通一體框架和信號(hào)模型，本節(jié)提出了基于ADMM的一體化加權(quán)矩陣設(shè)計(jì)算法，通過密碼本約束下最大化PMSR，以實(shí)現(xiàn)方向圖賦形的同時(shí)傳輸通信信息。

3.1 問題模型

此外，在通信和竊聽用戶方向，加權(quán)矩陣需滿足密碼本約束，即

由式(8)可知，式(13)，式(14)滿足

最后，該MIMO探通一體化系統(tǒng)的方向圖設(shè)計(jì)問題可表示為

其中，log函數(shù)是為了便于對(duì)分式目標(biāo)函數(shù)處理[24]，?為發(fā)射能量。問題(19)旨在抑制方向圖峰值旁瓣，同時(shí)控制密碼本相位和發(fā)射能量。接下來將引入基于ADMM的迭代算法求解該問題。

3.2 問題求解

首先，通過引入輔助變量η,?,yi,zs,xc,vh和n，問題(19)可等價(jià)轉(zhuǎn)化為[24]

因此，增廣拉格朗日函數(shù)定義為

其中，ρ=[ρ1ρ2ρ3ρ4]T為懲罰因子向量；μi,ιs,ξc,λh,ζ為對(duì)偶變量。

(1) 更新w(t+1)

問題(22)可等價(jià)變換為

其中

忽略無關(guān)常數(shù)項(xiàng)，問題(23)和問題(24)可分別等價(jià)轉(zhuǎn)換為[24]

然后，將式(41)反代回式(39)，即可得到關(guān)于?的優(yōu)化問題

將式(45)反代回式(40)可得

注意到問題(42)和問題(46)具有相似結(jié)構(gòu)，均為無約束優(yōu)化問題，可通過文獻(xiàn)[24]中方法求得其閉式解。

3.3 計(jì)算復(fù)雜度和收斂性

算法1的計(jì)算復(fù)雜度分析如下：R?1和d可在算法開始前計(jì)算并保存，其計(jì)算復(fù)雜度分別為O(QM2+(KM)2.373)[24]和O(QMK)，其中Q=I+S+C+E為約束個(gè)數(shù)。每次迭代中，式(22)—式(31)可用簡(jiǎn)單的閉式解來解決。因此，只需要基本的矩陣到向量的乘法。具體的，式(22)、式(23)—式(26)、式(28)—式(31)的計(jì)算復(fù)雜度分別為O(K2M2),O(KQ)和O(KMQ)。因此，算法1的總計(jì)算復(fù)雜度為O(QM2+(KM)2.373+T0(K2M2+KMQ))，其中T0為迭代次數(shù)。

算法1 基于ADMM的一體化信號(hào)矩陣設(shè)計(jì)方法Alg.1 DFRC waveform matrix design method based on ADMM

4 基于ADPM的排序?qū)W習(xí)解調(diào)方法

針對(duì)通信接收信號(hào)解調(diào)問題，本節(jié)提出了基于ADPM的排序?qū)W習(xí)解調(diào)方法以優(yōu)化求解置換矩陣。假設(shè)每個(gè)通信接收機(jī)都完全已知正交波形矩陣Φ和，解調(diào)過程可建模為預(yù)編碼矩陣P的優(yōu)化問題[19]

其中，Λ={P|P(i,j)∈{0,1},P 1K=1K,PT1K=1K}定義了置換矩陣集合。

注意到問題(56)是一個(gè)混合-布爾優(yōu)化問題，文獻(xiàn)[19]中通過窮舉法解決該問題，然而當(dāng)K很大時(shí)窮舉法無法應(yīng)對(duì)維度爆炸。為實(shí)現(xiàn)快速有效信息解調(diào)，首先將目標(biāo)函數(shù)重新參數(shù)化為

其中，κ1和κ2為對(duì)偶變量。

(1) 更新pl+1

忽略常數(shù)項(xiàng)，問題(60)可重寫為

觀察問題(66)可知，目標(biāo)函數(shù)和約束對(duì)于p中各元素相互獨(dú)立，則式(66)的最優(yōu)解為

將等式約束并入增廣拉格朗日函數(shù)中，可得

則由KKT條件可得優(yōu)化問題(68)的閉式解

另外，問題(62)可以重寫為

類似可得問題(62)的最優(yōu)解為

(3) 計(jì)算復(fù)雜度

5 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)主要從發(fā)射波束方向圖、星座圖、SER以及收斂性等方面對(duì)所提出的算法框架進(jìn)行性能評(píng)估?？紤]具有M=10個(gè)發(fā)射天線且間隔為半波長(zhǎng)的均勻線陣MIMO探通一體化系統(tǒng)，空間角間隔1°均勻劃分離散格點(diǎn)，Rmain=[?10?,10?]。令算法1退出條件為δ1=K×10?8；懲罰因子為ρ1=ρ2=1；當(dāng)E ≥1時(shí)，ρ3=1，否則ρ3=0；ρ4=10。w的能量設(shè)為?=M。

5.1 單通信用戶探通一體化性能

當(dāng)單通信用戶采用PSK密碼本且不考慮通信接收信號(hào)幅度約束時(shí)，可由發(fā)射方向圖不變和選擇(Transmit Radiation Pattern Invariance and Selection,TRPIS)方法[19]實(shí)現(xiàn)。其中，TRPIS的波束形成權(quán)向量由文獻(xiàn)[26]生成，其母權(quán)向量采用最小最大準(zhǔn)則優(yōu)化，旁瓣保持在20 dB以下。

因此，首先考慮無竊聽用戶(E=0)時(shí)，一個(gè)通信接收機(jī)(即C=1)位于=?60?,Rtran=[?68?,?52?]∪[?18?,?11?]∪[11?,18?],Rside=[?90?,?69?]∪[?51?,?19?]∪[19?,90?]。假設(shè)一體化系統(tǒng)探測(cè)主瓣方向能量較大，通信用戶方向所需滿足能量約束參數(shù)為l1=0.05,u1=0.1。圖2(a)—圖2(c)描述了K=4,8,16時(shí)PSK和QAM調(diào)制下所提ADMM算法(簡(jiǎn)記為PSK-ADMM,QAM-ADMM)，以及PSK調(diào)制下TRPIS算法(簡(jiǎn)記為PSK-TRPIS)所得發(fā)射方向圖。其中，通信方向的能量上限和下限分別采用“+”和“×”標(biāo)記，并將不同方法所得PMSR值和運(yùn)行時(shí)間分別記錄于表1和表2中。TRPIS算法從2M?1?1個(gè)復(fù)數(shù)根中選擇K個(gè)，與母權(quán)向量相乘，形成相同的方向圖和通信方向不同的相位角。因此，TRPIS在不同K下所得方向圖相同，且時(shí)間相近。仿真結(jié)果表明，不同K下PSK-ADMM和QAM-ADMM均可控制通信方向發(fā)射能量且所得方向圖相似，并可在不設(shè)定方向圖模板下耗費(fèi)與TRPIS算法相近時(shí)間獲得更高的PMSR。

圖2 假設(shè)=?60?時(shí)發(fā)射方向圖Fig.2 The transmit beampattern with =?60?

表1 不同算法所得PMSRTab.1 PMSR derived by different methods

表2 不同算法所需時(shí)間Tab.2 Computing time required by different methods

接下來，隨機(jī)發(fā)射 104個(gè)符號(hào)對(duì)應(yīng)一體化信號(hào)并評(píng)估所提算法通信性能。K=4,8,16時(shí)總的符號(hào)個(gè)數(shù)分別為4!=24,8!=40320和16!>244，文獻(xiàn)[19]中所提窮舉法以求解解調(diào)問題(56)在K較大時(shí)無法應(yīng)對(duì)維度災(zāi)難問題，因此無法實(shí)現(xiàn)有效快速解調(diào)。定義第c個(gè)通信用戶接收端SNR為SNRc=|αcbc|2/，本文所提算法1(PSK-ADMM和QAM-ADMM)和TRPIS算法均采用本文所提算法2以恢復(fù)置換順序，相關(guān)參數(shù)設(shè)為ρ0=0.01,δ2=1.01和δ3=10?4。不同一體化信號(hào)通信用戶端符號(hào)SER隨SNR的變化曲線如圖4所示。其中，“KPSK”，K=4,8,16標(biāo)記的黑色實(shí)線表示在接收端采用PSK直接解調(diào)式(10)并恢復(fù)置換順序所得SER結(jié)果。正如預(yù)期，SNR的增加使得SER性能改善。算法2利用了置換矩陣特性，通過最大化字典與的互相關(guān)實(shí)現(xiàn)了SNR增益，因此相比PSK直接解調(diào)，在相同SNR下可得更小SER，驗(yàn)證了所提算法2在排序?qū)W習(xí)優(yōu)化問題上的有效性。由于PSK信號(hào)星座圖和QAM信號(hào)矩形星座圖點(diǎn)間最小距離特性，當(dāng)K=4,8時(shí)，PSK-ADMM,QAM-ADMM和PSK-TRPIS算法所得SER隨SNR變化曲線相近；當(dāng)K=16時(shí)，QAMADMM性能優(yōu)于PSK-ADMM，由于TRPIS所得參考密碼本相位具有一定偏差，因此SER高于PSKADMM。

算法2 基于ADPM的排序?qū)W習(xí)優(yōu)化解調(diào)方法Alg.2 The permutation learning demodulation method based on ADPM

圖3 通信星座圖Fig.3 Communication constellation diagram

圖4 不同算法SER隨SNR變化曲線Fig.4 SER versus SNR for different algorithms

以4QAM-ADMM為例，圖5描繪了SNR=4 dB時(shí)不同角度解調(diào)SER。由于通信信息嵌入在?60?中，因此在該方向具有最低的誤碼率。如圖6所示，s(65?)與s(?60?)元素分布(即|s(θ)|隨arg(s(θ))變化)相似，因此該方向解調(diào)也可得較小誤碼率。因此，若該方向存在竊聽用戶，則可在較大信噪比下解調(diào)調(diào)制信息。

圖5 SER隨角度變化曲線Fig.5 SER versus angle

圖6 s (65?)與 s (?60?)元素分布Fig.6 The element distributions of s (65?) and s(?60?)

圖7(a)展示了不同K下算法1分別采用PSK和QAM調(diào)制所得原始可行性容差隨運(yùn)行時(shí)間變化情況。圖7(b)進(jìn)一步描繪了當(dāng)SNR=4 dB時(shí)算法2解調(diào)各發(fā)射信號(hào)所得隨運(yùn)行時(shí)間變化曲線。仿真結(jié)果說明本文所提算法均逐漸收斂，因此滿足約束條件。其中，算法2在K=16時(shí)運(yùn)行時(shí)間小于0.25 s，當(dāng)K=4,8時(shí)，運(yùn)行時(shí)間小于0.05 s，因此該算法適用于通信系統(tǒng)實(shí)時(shí)性需求。

圖7 算法1與算法2計(jì)算復(fù)雜度Fig.7 The computational complexities of Alg.1 and Alg.2

5.2 竊聽下多通信用戶探通一體化性能分析

圖8 探通一體化性能Fig.8 DFRC performance

圖9 SER隨SNR變化曲線Fig.9 SER versus SNR

6 結(jié)語

針對(duì)基于預(yù)編碼矩陣調(diào)制的MIMO探通一體化系統(tǒng)，本文提出了基于ADMM的一體化信號(hào)矩陣優(yōu)化設(shè)計(jì)方法和基于ADPM的排序?qū)W習(xí)優(yōu)化解調(diào)方法。首先，建立了通信和竊聽用戶方向密碼本約束下最大化方向圖PMSR優(yōu)化問題；然后，引入了輔助變量將二次分式耦合問題轉(zhuǎn)換為多個(gè)有閉式解的二次優(yōu)化子問題，提出了基于ADMM的一體化加權(quán)矩陣優(yōu)化設(shè)計(jì)方法并分析了該算法的計(jì)算復(fù)雜度和收斂性。最后，基于通信發(fā)射調(diào)制解調(diào)機(jī)理，建立了排序?qū)W習(xí)混合布爾優(yōu)化問題，提出了基于ADPM的排序?qū)W習(xí)優(yōu)化解調(diào)方法提升了解調(diào)效率。仿真結(jié)果評(píng)估了所提一體化信號(hào)矩陣設(shè)計(jì)和解調(diào)方法的有效性。后續(xù)研究過程將考慮寬帶MIMO[27,28]和信道估計(jì)誤差下的穩(wěn)健MIMO一體化系統(tǒng)波形設(shè)計(jì)[29]，以及非完全正交波形集帶來的性能損失[30]。