魯元昊，艾學(xué)忠，楊葉禮，胡昆，袁天奇

（吉林化工學(xué)院 信息與控制學(xué)院，吉林吉林，132000）

0 引言

隨著智能裝備制造產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，電機(jī)作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)被廣泛應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)中。直流減速電機(jī)相較于步進(jìn)電機(jī)等同類產(chǎn)品以其低廉的價(jià)格，較大的扭矩受到人們的青睞。然而在實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)中，直流減速電機(jī)帶動復(fù)雜負(fù)載運(yùn)動時(shí)，電機(jī)內(nèi)部參數(shù)攝動、復(fù)雜負(fù)載疊加在電機(jī)上的轉(zhuǎn)動慣量等問題會致使電機(jī)位置控制產(chǎn)生超調(diào)、振蕩、精度較差等問題。

針對電機(jī)伺服系統(tǒng)建模和位置控制精度的問題，國內(nèi)外學(xué)者展開大量研究。文獻(xiàn)[1]針對無刷直流電機(jī)內(nèi)置行星減速器采用SolidWorks 仿真軟件建模。文獻(xiàn)[2]使用Simulink 搭建永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型，并利用SolidWorks和Adams 仿真軟件建立同步帶傳動模型，探究建立負(fù)載精確模型。文獻(xiàn)[3]采用Simulink 中的Simscape 庫對直流電機(jī)本體進(jìn)行建模，未涉及內(nèi)置減速裝置及外部負(fù)載建模。文中仿真也僅采用額定電壓驅(qū)動電機(jī)并且不能實(shí)現(xiàn)電機(jī)實(shí)時(shí)切換正反轉(zhuǎn)。同時(shí)，也并未采用控制算法進(jìn)行伺服控制。文獻(xiàn)[4]提出了一種優(yōu)化的粒子群算法整定PID 參數(shù)提高伺服系統(tǒng)精確度。文獻(xiàn)[5]采用蟻群算法對PID 參數(shù)進(jìn)行整定，取得普通PID 參數(shù)的最優(yōu)解以此來優(yōu)化位置伺服系統(tǒng)。利用算法對傳統(tǒng)PID 參數(shù)整定的方法雖然會使控制精度有所提高，但系統(tǒng)實(shí)時(shí)性不夠好。文獻(xiàn)[6]設(shè)計(jì)了一個(gè)非線性擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器對速度和擾動信號進(jìn)行觀測補(bǔ)償。文獻(xiàn)[7]通過設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對干擾進(jìn)行補(bǔ)償。文獻(xiàn)[8]采用反饋線性化的控制算法，這些算法必須要在能得到被控對象精確模型的前提下才能保證伺服系統(tǒng)的高性能。文獻(xiàn)[9]為解決無人機(jī)巡檢精度問題提出了一種基于反步法－積分滑模的控制策略。文獻(xiàn)[10]運(yùn)用反步法設(shè)計(jì)滑模控制器，采用低通濾波器消除“微分膨脹”問題。目前仍存在被控對象數(shù)學(xué)模型與實(shí)際存在偏差，控制算法實(shí)時(shí)性不好，位置跟蹤易產(chǎn)生超調(diào)與振蕩現(xiàn)象等問題。

上述論文給本文提供了極大的參考價(jià)值。本文總體設(shè)計(jì)方案如圖1 所示，為解決多剛體動力學(xué)系統(tǒng)數(shù)學(xué)建模與實(shí)際存在誤差，提出在仿真軟件Simulink 中利用Simscape庫建立直流電機(jī)帶載物理模型，模擬直流減速電機(jī)帶動負(fù)載轉(zhuǎn)動。利用反步法求得滑?？刂扑惴?，控制運(yùn)動系統(tǒng)精準(zhǔn)定位。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相較于傳統(tǒng)PID，本文控制算法在應(yīng)對多剛體動力學(xué)模型運(yùn)動控制具有魯棒性好，響應(yīng)速度快，位置跟蹤精度高等優(yōu)點(diǎn)。

圖1 總體設(shè)計(jì)方案圖

1 直流電機(jī)帶動負(fù)載物理模型

在實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)中，直流減速電機(jī)被用來驅(qū)動各種機(jī)械設(shè)備，比如齒輪，轉(zhuǎn)盤等機(jī)械零部件組合成的復(fù)雜系統(tǒng)。在進(jìn)行伺服系統(tǒng)控制研究的時(shí)候，一方面工業(yè)設(shè)備數(shù)學(xué)建模困難，另一方面負(fù)載之間的作用力復(fù)雜，極大的影響了伺服系統(tǒng)的位置控制精度。對于在工業(yè)生產(chǎn)中常見的多剛體運(yùn)動系統(tǒng)，選取其中一種如圖2所示系統(tǒng)進(jìn)行建模。直流減速電機(jī)作為驅(qū)動設(shè)備，對外提供動能。電機(jī)內(nèi)置行星齒輪減速器，以降低轉(zhuǎn)速的辦法來增大扭矩，動能通過鏈傳動的辦法傳遞到旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)，帶動其繞軸心旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)上的三個(gè)托盤等效為一個(gè)大圓盤，其上均勻分布小質(zhì)量物體，由于摩擦力做功，小質(zhì)量物體跟隨托盤轉(zhuǎn)動。

針對此運(yùn)動系統(tǒng)，本文提出在仿真軟件中建立電機(jī)帶載伺服系統(tǒng)物理模型，解決數(shù)學(xué)建模對于實(shí)際擾動估計(jì)不準(zhǔn)確的問題，更貼近于實(shí)際情況，也更能反映出控制算法對于多剛體運(yùn)動系統(tǒng)的控制情況。搭建的直流電機(jī)位置跟蹤系統(tǒng)物理模型如圖3 所示。

圖3 直流電機(jī)帶載物理模型

物理模型前半部分搭建的是電機(jī)驅(qū)動電路?，F(xiàn)實(shí)情況下，控制器產(chǎn)生PWM 信號改變輸出電壓的占空比，再通過H 橋電路驅(qū)動直流電機(jī)。在本文仿真中，H 橋模塊有4 個(gè)輸入口，分別為PWM 口、REF 口、REV 口、BRK 口。控制信號取絕對值經(jīng)由數(shù)據(jù)類型轉(zhuǎn)換模塊輸入至受控電壓源模塊轉(zhuǎn)化為電壓信號，電壓信號再經(jīng)由PWM 模塊轉(zhuǎn)化為等值PWM 信號，隨后PWM 信號接入H 橋模塊驅(qū)動電機(jī)旋轉(zhuǎn)。PWM 模塊輸出頻率為10k Hz，滿占空比輸入電壓為3.3 V。H 橋模塊和PWM 模塊的REF 口與受控電壓源的負(fù)端共地。為使H 橋模塊能夠根據(jù)控制信號的正負(fù)驅(qū)動電機(jī)正反轉(zhuǎn)，設(shè)置參數(shù)反轉(zhuǎn)閾值電壓為趨于零的值。經(jīng)實(shí)驗(yàn)可知，當(dāng)REV 口輸入電壓大于反轉(zhuǎn)閾值電壓時(shí)，H 橋控制電機(jī)反轉(zhuǎn)。因此，取控制信號的負(fù)值經(jīng)數(shù)據(jù)類型轉(zhuǎn)化模塊再轉(zhuǎn)化為電壓信號接入REV 口。BRK 口為電機(jī)制動信號輸入口，設(shè)置制動閾值電壓為大于零的值，外部接地，則電機(jī)不會制動。

物理模型中間部分搭建的是直流減速電機(jī)模型，由電阻、電感、旋轉(zhuǎn)電動機(jī)械轉(zhuǎn)換器、轉(zhuǎn)動慣量模塊、轉(zhuǎn)子阻尼模塊、行星齒輪減速箱和理想轉(zhuǎn)動傳感器組成。行星齒輪減速箱模擬直流減速電機(jī)內(nèi)部減速機(jī)構(gòu)，通過降低直流電機(jī)轉(zhuǎn)速來提供較大的扭矩。直流減速電機(jī)末端通過理想轉(zhuǎn)動傳感器模塊模擬旋轉(zhuǎn)編碼器，實(shí)時(shí)反饋伺服系統(tǒng)角速度和角位移。模塊輸出角速度和角位移單位為弧度/秒、弧度，為保證伺服系統(tǒng)控制的精準(zhǔn)度，根據(jù)單位換算關(guān)系，將傳感器輸出信號輸出角速度和角位移單位為度/秒、度。

物理模型后半部分搭建的是負(fù)載模型，由鏈傳動模塊、轉(zhuǎn)動慣量模塊、負(fù)載模塊、輪軸、承載接觸摩擦模塊組成。轉(zhuǎn)動慣量模塊表示的是轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動慣量，而負(fù)載模塊則是通過力矩產(chǎn)生模塊給模型施加一個(gè)脈沖信號代表擾動。輪軸模塊將繞軸機(jī)械轉(zhuǎn)動的動能轉(zhuǎn)化為垂直于軸心機(jī)械平動的力。當(dāng)小質(zhì)量物體均勻分布在轉(zhuǎn)盤邊緣時(shí)，由受力分析可得，摩擦力帶動小質(zhì)量物體轉(zhuǎn)動，因此模型中設(shè)置了承載接觸摩擦模塊。在本文研究對象中，物體的質(zhì)量相對于轉(zhuǎn)盤質(zhì)量過小，因此物體的轉(zhuǎn)動慣量可忽略不計(jì)。

行星齒輪減速箱仿真模塊內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖4 所示，由兩組行星齒輪組連接構(gòu)成，模擬直流減速電機(jī)內(nèi)部的減速機(jī)構(gòu)。電機(jī)傳動由太陽輪輸入，再由行星架齒輪輸出。

圖4 行星齒輪減速箱模塊

單個(gè)行星齒輪組減速比求解公式滿足：

行星齒輪組要達(dá)到同向減速的效果，須使環(huán)形齒圈固定，太陽輪輸入，行星架輸出。行星架角速度再作為第二組的太陽輪角速度輸入，最后第二組行星架角速度輸出。

解得：

其中，wC為行星架角速度，wS為太陽輪角速度，gRS為環(huán)形齒圈與太陽輪傳動比。

對于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，轉(zhuǎn)動慣量表達(dá)式為：

轉(zhuǎn)盤在仿真中可近似為薄圓盤，它的面密度為：

在圓盤上任取半徑為r，寬度為dr的圓環(huán)，質(zhì)量為σ2π rdr。

聯(lián)解(4)、(5)，得圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為：

(4)、(5)、(6)式中：J圓盤為轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動慣量；m為轉(zhuǎn)盤質(zhì)量；R1為轉(zhuǎn)盤半徑。

2 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

2.1 直流電機(jī)狀態(tài)方程

構(gòu)建控制器前提是求出直流電機(jī)狀態(tài)方程。根據(jù)基爾霍夫定律和牛頓第二定律，列出直流電機(jī)基本方程式為：

聯(lián)解(7)、(8)、(9)、(10)式可得：

(7)、(8)、(9)、(10)、(11)中，R 為電樞總電阻；i(t)為電樞回路電流；L 為電樞總電感；Ea為反電動勢；u(t)為加載到電機(jī)兩端電壓；KE為反電動勢系數(shù)；KT為電磁轉(zhuǎn)矩系數(shù)；w為轉(zhuǎn)子角速度；B 為電機(jī)轉(zhuǎn)子阻尼；J 為電機(jī)轉(zhuǎn)動慣量；Te為電磁轉(zhuǎn)矩；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；d代表負(fù)載轉(zhuǎn)矩、機(jī)械損耗、電機(jī)內(nèi)部參數(shù)攝動等擾動。令x1為轉(zhuǎn)子角位移，x2為轉(zhuǎn)子角速度，可得直流電機(jī)狀態(tài)方程為：

2.2 控制器設(shè)計(jì)

設(shè)期望角位移為xa，則位移跟蹤誤差為：

跟蹤誤差的導(dǎo)數(shù)為：

由李雅普諾夫判據(jù)方法：若存在連續(xù)可導(dǎo)的標(biāo)量函數(shù)V(x)，且V(x)正定，(x)負(fù)定，則x 漸近穩(wěn)定。

定義Lyapunov 函數(shù)：

取虛擬控制項(xiàng)：

令e2=x2-α，可得：

取滑模面s=e2;

定義Lyapunov 函數(shù)：

設(shè)計(jì)滑?？刂祈?xiàng)：

滑?？刂破鬟x取合適的趨近律，有利于提高控制器的性能。因此在設(shè)計(jì)趨近律時(shí)采用sat(s)函數(shù)代替sgn(s)函數(shù)，降低抖振。即：

式中：

Δ 為邊界層厚度。

將式(21)代入式(20)中可得：

3 仿真驗(yàn)證

本文仿真驗(yàn)證選用直流減速電機(jī)及負(fù)載參數(shù)如表1 所示，物體質(zhì)量取0.01 kg,轉(zhuǎn)盤質(zhì)量取1～15 kg，以此來檢驗(yàn)控制器帶動電機(jī)加載不同負(fù)載的狀態(tài)。

表1 物理模型參數(shù)

行星減速箱仿真結(jié)果如圖5 所示，令環(huán)形齒圈與太陽輪傳動比gRS1和gRS2為7，輸入常量經(jīng)理想旋轉(zhuǎn)速度源模塊變換為等量的角速度信號，通過行星齒輪箱后，再由角速度傳感器測量前后角速度的比值，可得到仿真總減速比為64。

圖5 行星齒輪減速箱仿真圖

本文仿真對照組選用工程實(shí)踐中常用的普通PID 控制算法和模糊控制算法作為對比。經(jīng)試湊法得出較優(yōu)的控制參數(shù)為P=5，I=0.1，D=0.01?；？刂扑惴▍?shù)c1=10，ε=10，Δ=0.02。在本文研究對象中，轉(zhuǎn)盤質(zhì)量小于15 kg，當(dāng)期望值為階躍信號時(shí)，取轉(zhuǎn)盤質(zhì)量為1kg，5kg，10kg，15kg 得到如圖6、圖7、圖8、圖9 仿真結(jié)果。如圖所示，普通PID 算法及模糊算法在控制直流減速電機(jī)帶有負(fù)載的情況下會產(chǎn)生超調(diào)現(xiàn)象，隨后在期望值附近振蕩，最終歸于穩(wěn)態(tài)。并且隨著負(fù)載的增大，普通PID 算法控制的位移曲線超調(diào)量變大，振蕩趨于穩(wěn)態(tài)的速度變慢。模糊控制相較于PID 算法,仍然存在超調(diào)現(xiàn)象，但超調(diào)量減小。而本文算法并未產(chǎn)生超調(diào)和振蕩現(xiàn)象，誤差精度控制在0.1 度范圍內(nèi)，但在轉(zhuǎn)盤質(zhì)量過小時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)間略慢。

圖6 轉(zhuǎn)盤質(zhì)量1 kg

圖7 轉(zhuǎn)盤質(zhì)量5 kg

圖8 轉(zhuǎn)盤質(zhì)量10 kg

圖9 轉(zhuǎn)盤質(zhì)量15 kg

負(fù)載端施加脈沖信號，通過轉(zhuǎn)矩傳感器轉(zhuǎn)化為額定的負(fù)載轉(zhuǎn)矩，可得到如圖10 的仿真結(jié)果。在負(fù)載端伴有負(fù)載轉(zhuǎn)矩?cái)_動的情況下，本文控制方法對于此多剛體運(yùn)動系統(tǒng)相較于PID 控制和模糊控制算法，負(fù)載擾動產(chǎn)生的角度偏移量小，更快趨于穩(wěn)態(tài)，具有較強(qiáng)的抗干擾能力。

圖10 突加負(fù)載擾動

4 結(jié)論

針對傳統(tǒng)直流減速電機(jī)帶動復(fù)雜負(fù)載建立數(shù)學(xué)模型困難、控制效果不佳的問題，本文利用Simulink 仿真軟件搭建直流減速電機(jī)帶動復(fù)雜負(fù)載的物理模型，解決了復(fù)雜傳動系統(tǒng)建模困難問題，并運(yùn)用一種基于反步滑模方法實(shí)現(xiàn)電機(jī)位置跟蹤。仿真結(jié)果驗(yàn)證了該種控制方法在帶動不同質(zhì)量復(fù)雜結(jié)構(gòu)負(fù)載下，都能夠避免直流電機(jī)控制過程中的超調(diào)與振蕩現(xiàn)象，并且具有較強(qiáng)的抗干擾能力，這在一定程度上擴(kuò)大了直流減速電機(jī)在實(shí)際生產(chǎn)中的應(yīng)用范圍。