周智勇，葉慶紅，惠賓亮，張劍峰

（上海航天能源股份有限公司，上海，201112）

0 引言

在實(shí)際控制過程中，被控系統(tǒng)的穩(wěn)定性是一個(gè)重要考量。當(dāng)被控對象身處環(huán)境復(fù)雜多變時(shí)，其參數(shù)容易受到各種內(nèi)外部因素的影響。為準(zhǔn)確得到被控對象的性能指標(biāo)和控制系統(tǒng)的誤差，利用系統(tǒng)的控制輸入或輸出的變化，自適應(yīng)調(diào)整控制器參數(shù)使控制系統(tǒng)的性能實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化，已廣泛運(yùn)用到飛行器控制、工業(yè)流程控制等[1]。在文獻(xiàn)[2]中，采用魯棒控制理論，對于不確定非線性擾動系統(tǒng)，得到了系統(tǒng)參數(shù)在變化過程中具有較強(qiáng)的抗干擾能力。在文獻(xiàn)[3]中針對跟蹤精度已知的不確定非線性系統(tǒng)研究了一種半全局穩(wěn)定的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反步控制方案，系統(tǒng)信號有界得以保證。文獻(xiàn)[4]對于動態(tài)干擾的系統(tǒng)給出了一種誤差驅(qū)動的非線性反饋遞推方式，顯著提升了水面艦船自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)軌跡跟蹤性能。然而，自適應(yīng)控制常常受到外部干擾會對系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生影響，因此，有必要考慮帶外部擾動的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。

對存在不確定及外部擾動的非線性系統(tǒng)的建模，難以得到與實(shí)際系統(tǒng)一樣的數(shù)學(xué)模型。在文獻(xiàn)[5]中，對于輸出受限的擾動系統(tǒng)構(gòu)建控制律，得出系統(tǒng)的模型誤差快速收斂。反步控制發(fā)展三十多年來一直都是非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)的核心方式，其實(shí)現(xiàn)手段是對原系統(tǒng)分解的子系統(tǒng)完成控制律的設(shè)計(jì)，對于帶有擾動和未知參數(shù)的非線性系統(tǒng)，為避免對控制變量導(dǎo)函數(shù)的過度計(jì)算，常在反步控制中引入DSC 技術(shù)。在文獻(xiàn)[6]中，利用反步和DSC 技術(shù)，由Lyapunov 穩(wěn)定性理論，得出誤差有界且收斂。在文獻(xiàn)[7]中，針對存在未知動力學(xué)的嚴(yán)格反饋系統(tǒng)，利用DSC 和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近技術(shù)實(shí)現(xiàn)飛行器的穩(wěn)定運(yùn)行及閉環(huán)信號的一致最終有界。

綜上，本文的行文思路是利用反步控制完成自適應(yīng)控制律虛擬控制律等控制器的設(shè)計(jì)，引入DSC 來克服因反復(fù)微分造成的計(jì)算負(fù)荷，以及用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來近似逼近非線性系統(tǒng)中的函數(shù)。通過選取非負(fù)Lvapunov 泛函，推導(dǎo)出為使非線性閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)范圍。得到跟蹤誤差在0 附近小幅振蕩。本文的貢獻(xiàn)如下：

（1）設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制律，更新律式(25)及式(24)極大簡化了定理的證明過程。與文獻(xiàn)[8]相比，本文將誤差信號和給定參考軌跡嵌入到自適應(yīng)控制律(18)中在穩(wěn)定性分析過程中保留更少變量，便于計(jì)算。與文獻(xiàn)[9]不同的是，本文用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)去逼近系統(tǒng)(1)中的函數(shù)fi，減少變量耦合及計(jì)算量。

（2）本文針對非線性擾動系統(tǒng)，采用反步，DSC 及不等式放縮等分析手段，得出閉環(huán)控制信號一致最終有界的條件，如式(39)所示。在例1 中驗(yàn)證在不同擾動下f1(x1)的位置及速度的跟蹤誤差均收斂到 ∪(0,σ)；在例2 中實(shí)現(xiàn)四旋翼無人機(jī)系統(tǒng)“彈簧”軌跡跟蹤，得到系統(tǒng)跟蹤誤差在x，y軸方向上均有限時(shí)間收斂，跟蹤效果優(yōu)良。

1 準(zhǔn)備工作與系統(tǒng)描述

RBF 網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)簡單（類雙層感知機(jī)模型），學(xué)習(xí)能力強(qiáng)，常用于非線性映射及函數(shù)逼近。設(shè)X=[x1,x2,…,xn]T為網(wǎng)絡(luò)的輸入，網(wǎng)絡(luò)隱層中的神經(jīng)元激活單元通常由高斯核函數(shù)（呈正態(tài)分布）組成，層與層之間含有連接權(quán)值，網(wǎng)絡(luò)的輸出，其理想權(quán)值，其中i=1,2,…,n。

引理1.1([10]) 常用的Young 不等式：對任意的a,b≥ 0，，有。

考慮帶有擾動的非線性系統(tǒng)：

式中um是系統(tǒng)輸入的最大值。為便于計(jì)算，進(jìn)一步將u(v)表示為u(v)=mv，且：

假設(shè)1 擾動ψi(t)滿足||ψi||≤ιi，其中ιi＞ 0。

假設(shè)2 給定的參考信號r(t)的導(dǎo)函數(shù)是關(guān)于時(shí)間t的可微有界函數(shù)。

注1 對于非線性系統(tǒng)式(1)，需要構(gòu)造自適應(yīng)控制器，以確保閉環(huán)信號是一致最終有界。假設(shè)1 是式(1)的穩(wěn)定性條件。對于假設(shè)2，參考軌跡的任何階導(dǎo)數(shù)都是有界和連續(xù)的，滿足，其中r(i)表示r(t)的第i階導(dǎo)函數(shù)，?是正的標(biāo)量。

注2 本文基于式(1)，設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制律，虛擬控制律及更新律，使控制器滿足：系統(tǒng)的誤差信號穩(wěn)定后收斂到0的σ鄰域（由仿真驗(yàn)證實(shí)現(xiàn)）；保證緊集中的信號一致有界（由定理證明實(shí)現(xiàn)）。

2 控制器設(shè)計(jì)

對式(1)中的fi(Xi(t))(i=1,2,…,n)用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)做變換：

Step1.e1關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為：

設(shè)李雅普諾夫泛函：

由于：

式中μ∈?。根據(jù)式(8)-式(10)可知：

式中l(wèi)i是正的常數(shù)，zi是虛擬控制律。

定義自適應(yīng)控制律

設(shè)第一個(gè)虛擬控制律：

式中l(wèi)i為未知參數(shù)，為ψ1的估計(jì)。根據(jù)式(12)，第一個(gè)低通濾波器可表示為：

Step i.引入第i個(gè)誤差面：

結(jié)合式(5)，對式(16)求導(dǎo)可得：

相應(yīng)地，第i個(gè)自適應(yīng)控制律：

式中參數(shù)的設(shè)計(jì)過程同式(13)。第i個(gè)虛擬控制律：

式中l(wèi)i為未知參數(shù)，為ψi的估計(jì)。根據(jù)式(12)，第i個(gè)低通濾波器表示為：

Step n.設(shè)第n個(gè)誤差面信號：

相應(yīng)地，自適應(yīng)控制律：

式中ε≠ 0，ρ是未知參數(shù)。

3 穩(wěn)定性分析

定義濾波誤差：

對式(26)求導(dǎo)有：

定理 3.1 考慮系統(tǒng)(5)，自適應(yīng)控制律(13)，(18)，(23)，虛擬控制律(14)，(19)及更新律(25)。根據(jù)假設(shè)1 和假設(shè)2，使系統(tǒng)(5)中閉環(huán)信號是一致最終有界的條件為l1＞ 2，li＞ 2.5(i=2,…,n-1)，ln＞ 1.5，0 ＜ιi＜ 1(i=1,…,n)，κiλm/χm＜ 0，ρ/γ＞ 0。

證 設(shè)非負(fù)Lyapunov 泛函：

同理可知，

根據(jù)式(30)－式(34)并結(jié)合式(25)可知：

由引理1.1 可得：

實(shí)際上，

將式(36)-式(37)代入到式(35)，則有：

由式(38)可知，為使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，參數(shù)li，ιi，κi，λm，χm，ρ，γ需滿足：

4 仿真結(jié)果

例1 設(shè)x1，x2為式(1)的狀態(tài)變量，并有x1(0)=6，x2(0)=0。考慮在不同擾動5sin(x2(t)±x1(t))，2sin(t)，7sin(x2(t)+x1(t))，4cos(t)組合下的跟蹤效果。根據(jù)式(1)，在擾動5sin(x2(t)-x1(t))，2sin(t)下的數(shù)值模型為：

對比在擾動7sin(x2(t)+x1(t))，4cos(t)下的數(shù)值模型為：

在擾動5sin(x2(t)+x1(t))，2sin(t)下的數(shù)值模型為：

RBF 網(wǎng)絡(luò)權(quán)重向量初始化為0，設(shè)激活函數(shù)的寬度為5，中心向量分布在[-15,-9,0,9,15]T，系數(shù)l2=2.5，t2=0.25，κ1=0.04。仿真結(jié)果如圖1～圖6 所示。

圖1 上部分表示在擾動下5sin(x2(t)-x1(t))，2sin(t)下f1(x1)位置實(shí)際值與理想值的變化示意圖，二者之差為跟蹤誤差。由圖1 可知，一定時(shí)間后跟蹤誤差的值域在區(qū)間[δ2-δ1]內(nèi)振蕩，其中δ2為穩(wěn)定后跟蹤誤差值域的下確界，δ1為穩(wěn)定后跟蹤誤差值域的上確界。圖1 下部分為擾動7sin(x2(t)+x1(t))，4cos(t)下f1(x1)位置跟蹤誤差圖?？梢钥闯鰣D1 上部分|δ1-δ2|L與圖1 下部分|δ1-δ2|R的大小關(guān)系為|δ1-δ2|L＜|δ1-δ2|R，但|δ1-δ2|相對擾動幅值較小，控制系統(tǒng)的跟蹤性能優(yōu)良。圖2～圖6 的分析過程同理。圖2～圖6 中|δ1-δ2|L與|δ1-δ2|R相對關(guān)系如表1 所示(為方便起見，用｜·｜Lj表示圖j(j=1,2,…,6)中上部分|δ1-δ2|的值，用｜·｜Rj表示圖j(j=1,2,…,6)中下部分|δ1-δ2|的值)。例1 閉環(huán)系統(tǒng)的控制原理及仿真驗(yàn)證的流程圖如圖7 所示。

圖1 式(40)和式(41)下f1(x1)的位置跟蹤對比圖

圖2 式(40)和式(41)下f1(x1)的速度跟蹤對比圖

圖5 式(41)和式(42)下f1(x1)的位置跟蹤對比圖

表1 圖1～圖6中|δ1-δ2|的相對關(guān)系

圖7 例1 系統(tǒng)原理過程圖

例2 本例研究對象選取四旋固定翼無人機(jī)。為便于分析與計(jì)算，假設(shè)無人機(jī)的質(zhì)量均勻分布，結(jié)構(gòu)對稱，槳葉旋轉(zhuǎn)時(shí)無偏移。圖8 為某型號無人機(jī)在三維空間運(yùn)動的俯視圖，并抽象出機(jī)體坐標(biāo)系XYZ。

圖8 四旋翼無人機(jī)俯視圖及空間坐標(biāo)系

圖8 中θ1，θ2及θ3分別為運(yùn)動過程中的橫滾角，俯仰角及偏航角。記q=[x,y,z,θ1,θ2,θ3]T為系統(tǒng)的狀態(tài)，(x，y，z)為無人機(jī)在機(jī)體坐標(biāo)系下的位置坐標(biāo)。將四旋翼無人機(jī)的模型寫成Euler-Lagrange 方程的形式，Euler-Lagrange 系統(tǒng)的一般形式為[11]：

令τ.x1=q，x2=，則式(44)可表示為：

采用自適應(yīng)控制律(13)，(18)，(23)，虛擬控制律(14)，(19)及更新律(25)。令參考軌跡的表達(dá)式為：

初始值q(0)=[1,0.8,0.5,0,0,0]T，(0)=[0,π/5,0.20,0,0 0,0]T，仿真時(shí)間為15s。仿真結(jié)果如圖9～圖10 所示。

圖9 “彈簧”軌跡跟蹤

圖10 x，y 軸方向的跟蹤誤差

圖9 為“彈簧”軌跡的理想值與實(shí)際值，圖10 為x，y軸方向上的跟蹤誤差，實(shí)驗(yàn)表明，在無人機(jī)系統(tǒng)中，x，y軸方向的跟蹤誤差均收斂到0 的∪(0,σ)鄰域內(nèi)，可快速實(shí)現(xiàn)預(yù)定軌跡的跟蹤。

5 總結(jié)

（1）由系統(tǒng)模型出發(fā)，通過恒等變換對系統(tǒng)模型中的未知函數(shù)用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)去逼近。在反步控制策略中設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制律及虛擬控制律并引入DSC 技術(shù)避免對虛擬控制變量的求導(dǎo)，減少計(jì)算負(fù)擔(dān)。

（2）根據(jù)Lyapunov 穩(wěn)定性理論，通過泛函分析，證明了閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定且推導(dǎo)出系統(tǒng)中閉環(huán)信號是一致最終有界的取值范圍。

（3）仿真實(shí)驗(yàn)表明，例1 對比驗(yàn)證了跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0 的小鄰域內(nèi)，閉環(huán)系統(tǒng)在不同擾動下，控制系統(tǒng)的跟蹤性能好，具有強(qiáng)魯棒性。例2 利用四旋翼無人機(jī)系統(tǒng)，選取的跟蹤軌跡為“彈簧”形狀，在整個(gè)仿真時(shí)間內(nèi)跟蹤誤差均在0 的小鄰域內(nèi)。