謝朝平

摘 要：含參不等式恒成立問題是新高考與競賽等方面數(shù)學試卷中的一個重點與熱點.此類問題場景新穎，知識交匯，內(nèi)涵豐富，解法靈活.本文結(jié)合一道競賽題，就含參不等式恒成立場景下確定參數(shù)的取值范圍問題加以剖析，總結(jié)解題技巧，歸納方法策略，指導師生的數(shù)學教學與學習以及解題研究.

關(guān)鍵詞：不等式；恒成立；函數(shù)；單調(diào)性；性質(zhì)

含參不等式恒成立問題一直是高考、競賽以及模擬考試中數(shù)學試卷命題的熱點題型，有時以小題（選擇題或填空題）形式出現(xiàn)，有時以解答題形式出現(xiàn)，多是壓軸題.此類問題形式多樣，變化多端，創(chuàng)新新穎，難度較大，解題思維靈活多變，對于考查“四基”、數(shù)學能力與素養(yǎng)等方面都是一個很好的落腳點，具有較好的區(qū)分度，倍受各方關(guān)注.

1 問題呈現(xiàn)

問題：（2023年清華大學優(yōu)秀中學生暑期學堂）已知x≥y≥0，且x+y+x-y≤a（x+y），則實數(shù)a的取值范圍是 ???.

此題以含參不等式恒成立為場景加以巧妙創(chuàng)設，通過確定參數(shù)的取值范圍來達到全面考查“四基”的目的.題目簡單明了，在同一不等式中含有兩個變量和一個參數(shù)，會給問題的分析與求解造成較大的困惑與難度.

在實際解決問題時，可以從函數(shù)思維切入，利用函數(shù)的構(gòu)建以及函數(shù)單調(diào)性的判斷來確定最值；也可以從不等式思維切入，利用不等式的基本性質(zhì)與重要不等式的應用來放縮處理等.

函數(shù)思維與不等式思維是解決該問題的兩個主要思維方式，而具體處理問題時，又可以從不同視角來切入，結(jié)合不同的技巧方法來分析與處理.

2 問題破解

2.1 函數(shù)思維

3 教學啟示

3.1 總結(jié)方法，歸納策略

解決含參不等式恒成立問題，最為常見的技巧方法是函數(shù)思維與不等式思維.在函數(shù)思維應用中，合理地對相應的不等式進行恒等變換，分離參數(shù)并構(gòu)建函數(shù)，借助函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)與導數(shù)的應用等，正確判斷函數(shù)的單調(diào)性，從函數(shù)角度來化歸與應用；在不等式思維應用中，基于分離參數(shù)的基礎，借助不等式的基本性質(zhì)、重要不等式（基本不等式、柯西不等式等）的合理放縮，從不等式角度來分化與應用.

當然，結(jié)合含參不等式恒成立問題的實際情況，有時也可以通過代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征與幾何意義等，借助數(shù)形直觀思維、三角函數(shù)思維等來分析與處理，合理構(gòu)建數(shù)學模型或三角換元處理等，巧妙轉(zhuǎn)化.

3.2 交匯思想，提升能力

含參不等式恒成立問題，往往可以很好交匯并融合函數(shù)與方程、不等式、三角函數(shù)、函數(shù)與導數(shù)等相關(guān)的基礎知識，契合高考“在知識交匯點處命題”的指導精神，成為考查知識、思想、能力等方面一個比較突出的知識點.

同時，在分析與解題過程中，又很好滲入函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論以及數(shù)形結(jié)合等基本數(shù)學思想方法，技巧方法多變，這就需要教師在教學與學習過程中，不斷去領(lǐng)悟、體會與總結(jié)，對于鍛煉學生的綜合解題能力與邏輯推理能力，培養(yǎng)學生思維的靈活性、創(chuàng)造性等都有著非常獨特的作用.