栗會榮 李勇斌

摘 要：“綜合與實踐”內(nèi)容是初中數(shù)學(xué)經(jīng)典內(nèi)容之一，富有濃厚的數(shù)學(xué)文化氣息和豐富的數(shù)學(xué)歷史背景，滲透著“數(shù)學(xué)來源于生活又運用于生活”的數(shù)學(xué)本質(zhì).由于不少教師對問題情境的創(chuàng)設(shè)和數(shù)學(xué)活動的設(shè)計認(rèn)識不到位，導(dǎo)致綜合與實踐活動內(nèi)容長期被忽視，很少教師能真正對綜合與實踐活動進(jìn)行課堂設(shè)計和分析論證以及問題解決，使得學(xué)生缺乏對數(shù)學(xué)知識的整體運用意識.基于此，本文以“容器中的水能倒完嗎？”為例進(jìn)行課堂設(shè)計.

關(guān)鍵詞：活動經(jīng)驗；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；綜合與實踐

2022年新課標(biāo)中增加了對“綜合與實踐”活動部分的要求，新課標(biāo)強調(diào)“綜合與實踐應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生運用所學(xué)知識和方法解決實際問題的能力為目標(biāo)，根據(jù)不同學(xué)段學(xué)生特點，以跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)為主，適當(dāng)采用主題式學(xué)習(xí)和項目式學(xué)習(xí)的方式，設(shè)計情境真實、較為復(fù)雜的問題，引導(dǎo)學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)學(xué)科和跨學(xué)科的知識與方法解決問題”.因此，筆者從積累基本活動經(jīng)驗角度出發(fā)，結(jié)合學(xué)情，運用數(shù)學(xué)歸納，對教材進(jìn)行“二次開發(fā)”，嘗試用“拓展式”教學(xué)方法進(jìn)行教學(xué)，呈現(xiàn)知識的自然發(fā)生發(fā)展過程以及運用過程，促進(jìn)學(xué)生理解歸納整理的必要性，同時積累基本活動經(jīng)驗，逐步培育學(xué)生核心素養(yǎng).

1 創(chuàng)設(shè)情境，再現(xiàn)歷史

在《古希臘哲學(xué)（上）》中，有著名的“芝諾悖論”：阿喀琉斯是古希臘著名的大英雄，非常善于奔跑，然而芝諾通過自己的論證卻證明了阿喀琉斯永遠(yuǎn)追不上在他前面的一只烏龜.芝諾的論證是這樣的：烏龜在阿喀琉斯前面某處A向前爬，阿喀琉斯追上烏龜?shù)竭_(dá)A點時，烏龜此刻必然已經(jīng)到達(dá)了A點前面的一點B；當(dāng)阿喀琉斯再次追趕烏龜達(dá)到B點時，烏龜則到達(dá)了B點前面的一點C；如此下去，每當(dāng)阿喀琉斯到達(dá)烏龜上一刻所在的位置n時，烏龜必然已經(jīng)到達(dá)了在他前面的一點m，因此阿喀琉斯永遠(yuǎn)追不上在他前面的一只烏龜.

無獨有偶，我國古代莊子也有“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”的名言“一尺長的木棍，每天截去它的一半，千秋萬代也截不完.”那么問題的答案到底是什么呢？

教學(xué)分析與建議：新課標(biāo)提出，無情境不教學(xué).作為一節(jié)綜合與實踐活動課程，激趣環(huán)節(jié)的情境引入非常重要.通過外國和中國的兩個例子激發(fā)學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和好奇心.這兩個情境都貼合實際，相比較而言，后者中“一半”，因接近學(xué)生的思維發(fā)展區(qū)，容易與學(xué)生已有的知識儲備產(chǎn)生聯(lián)系，更容易被學(xué)生理解和接受.讓學(xué)生翻譯“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”這句話的意思，一方面滲透跨學(xué)科教學(xué)，另一方面與學(xué)生已有的認(rèn)知建立聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了分式的相關(guān)知識，具備一定的合情推理和演繹推理的能力.總之創(chuàng)設(shè)這樣的一個問題情境引入課題的意圖有二：一是復(fù)習(xí)分式相關(guān)基本內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生樹立用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的意識；二是使學(xué)生認(rèn)識到分式無處不在，用分式能解決生活中很多用整式無法解決的問題.因此，該問題情境將學(xué)生已有知識經(jīng)驗與接下來要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識之間建立了一種有機聯(lián)系，讓學(xué)生感受到將要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識是已有知識的延伸和發(fā)展.

請看下面問題：

容器中的水能倒完嗎？

你可能會想到通過實驗探尋問題的答案，但是實驗中要精確地測量倒出的水量，當(dāng)?shù)钩龅乃亢苄r測量的難度非常大，我們不考慮實際操作因素，將上面的問題抽象成數(shù)學(xué)模型加以解決.

容易列出倒n次水倒出的總水量為

根據(jù)分式的減法法則，

可以發(fā)現(xiàn)，從數(shù)學(xué)上看，隨著倒水次數(shù)n的不斷增加，倒出的總水量n/n+1也不斷增加，然而，不論倒水次數(shù)n有多大，倒出的總水量n/n+1總小于1.因此，按這種方法，容器中的1L水是倒不完的.

2 閱讀思考，實驗探究

為了解決上述問題，首先展示課本“回顧與思考”內(nèi)容.回答如下的問題：

作為一節(jié)與實際生活聯(lián)系緊密的數(shù)學(xué)課，這樣的課堂筆者選擇先讓學(xué)生動手操作.2022新課標(biāo)中提出“課程目標(biāo)以學(xué)生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，進(jìn)一步強調(diào)學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗，發(fā)展運用數(shù)學(xué)知識和方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力，形成正確的情感、態(tài)度和價值觀.”因此，本節(jié)課的一個非常重要的功能就在于使學(xué)生積累基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

教學(xué)分析與建議：提出“容器中的水能倒完嗎”后，先請兩個學(xué)生手持量筒動手操作，其余學(xué)生觀摩分析.

在兩位學(xué)生動手操作環(huán)節(jié)結(jié)束后，適時提出問題.

問題1：實驗探究會遇到哪些困難？

隨著實驗次數(shù)的增加，倒出的水量越來越少，也越來越難以精確衡量，操作層面變得越來越困難.設(shè)置這個問題的意圖是想讓學(xué)生逐步意識到：因為某些原因，實驗操作很難解決這類實際問題.為接下來把這個實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題解決做了鋪墊.這也與新課標(biāo)中提出的培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界”相吻合，進(jìn)而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的目的.

問題2：你是如何判斷水是否倒完的？

這個問題的提出直接產(chǎn)生了后面兩種解決策略.把“水是否倒完”的實際問題轉(zhuǎn)化為考查兩個數(shù)學(xué)量“倒出的水量”和“剩余的水量”的數(shù)學(xué)問題.

在課堂中，教師一定先讓學(xué)生動手操作，因為動手操作是學(xué)生遇到這樣的問題時首先會想到的一種方法.學(xué)生動手實踐的過程，是積累基本活動經(jīng)驗，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的過程.

3 論證分析，凸顯本質(zhì)

在經(jīng)歷了必要的自主探究過程后，適時提出“裂項相消法”，并給出具體展示和板演.

教學(xué)分析與建議：這個式子的變形過程是學(xué)生理解這道題的關(guān)鍵，學(xué)生需要清楚地看到每一步的來龍去脈，所以不能省步驟.一般情況下，遇到一些新的概念或技巧時，筆者會先從字面意思分析這個詞，然后結(jié)合具體題目，詳細(xì)說明何時用以及如何用，就像處方藥的“說明書”一樣.比方說，“裂項”就是通過一定的手段或方式，把一項分裂成兩項或多項，而“裂項”的目的是實現(xiàn)前后項“相消”，達(dá)到和為零從而抵消的目的，這種“相消”的思想方法與九年級上冊學(xué)到一元二次方程時，把“二次”轉(zhuǎn)化為“一次”的思想方法是有異曲同工之處的.結(jié)合具體的這道題目讓學(xué)生深刻理解裂項相消法以及它具體的使用技巧還是很有必要的.實際上，“裂項相消法”并不是學(xué)到分式部分才出現(xiàn)的，但盡管如此，還是要不斷給學(xué)生滲透，因為不同學(xué)段的學(xué)生對它的理解和接收程度是有差異的，學(xué)生需要有這樣的一個逐步掌握的過程，以達(dá)到使不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上都能有不同的發(fā)展的目的.

得出“前N次倒出的水量”后，帶領(lǐng)學(xué)生回到最初的問題：水能倒完嗎？用一個不等式來表示“前N次倒出的水量”，符合初中階段學(xué)生的學(xué)情.

∵n＜n+1，

∴0＜n/n+1＜1，所以水不能倒完.

處處有呼應(yīng).課堂上，向?qū)W生提出了一個問題，后面一定會有這個問題得到解決的方法.不慌不忙、有條不紊的節(jié)奏學(xué)生是能感受到的，并且學(xué)生也會從老師身上學(xué)習(xí)這種有條理的解決問題的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維.

方法二：用表格的方法，研究“剩余的水量”.

因為有方法一過程的鋪墊，學(xué)生容易得出“剩余的水量”為1n+1，只需對“剩余的水量”進(jìn)行研究即可.

∵n+1＞0，

∴1/n+1＞0，所以容器中的水倒不完.

不管是從“倒出的水量”還是從“剩余的水量”，兩種角度都得到“水不能倒完”的結(jié)論，從而解決了教材中給出的實際問題.

作為一節(jié)綜合與實踐活動課，對問題的探究應(yīng)該更進(jìn)一步.

4 變式訓(xùn)練，拓展提升

變式思考：邊長為1cm的正方形紙片，第一次剪去它的1/2，第二次剪去剩下的1/3，第三次剪去剩下的1/4，按這種剪法一直剪下去.

（1） 第5次減掉的紙片面積是多少？剩余的紙片面積是多少？

（2） 前n次剪掉紙片的總面積是多少？

教學(xué)分析與建議：初中階段需要培養(yǎng)學(xué)生的模型意識和建模思想.數(shù)學(xué)最重要的意義在于教會學(xué)生遇到實際問題時要有解決策略.因此，變式訓(xùn)練環(huán)節(jié)在此處呼之欲出.需要讓學(xué)生認(rèn)識建模思想，并意識到用建模思想來解決一些實驗難以解決的問題時具有無比的優(yōu)越性.同時，從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型也是初中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的中“抽象能力”的具體體現(xiàn).

5 數(shù)學(xué)建模，歸納小結(jié)

問題得到解決，學(xué)生獲得了新的技能，掌握了新的方法.為與開頭的“芝諾悖論”相呼應(yīng)，帶領(lǐng)八年級學(xué)生嘗試?yán)斫狻爸ブZ悖論”的隱形假設(shè)：

（1） 假設(shè)空間和時間是連續(xù)的，可以被無限分割.阿喀琉斯和烏龜之間的時間和空間都可以分割為無限多個.

（2） 假設(shè)這無限多的時間里，加起來有無窮大，這無限多的距離，加起來等于定值.

（3） 在目前的物理范疇內(nèi)，物體在有限范圍內(nèi)并不能被無限分割.

（4） 當(dāng)n無窮大時，1/n+1趨近于0，是一個無窮小量（無窮小量是以0為極限的變量）.

教學(xué)分析與建議：雖然初中學(xué)生理解這些抽象的概念是比較困難的，但是也許就有一部分學(xué)生會因為“芝諾悖論”而決心深入研究數(shù)學(xué)并從此愛上數(shù)學(xué).初中學(xué)生不能僅僅停留在初中知識的層面，適當(dāng)拓展學(xué)生的視野對成績優(yōu)異的學(xué)生來說也是大有裨益的.

“生活中的物理環(huán)境是具體有限的，數(shù)學(xué)世界卻可以是抽象無限的，以抽象升華具體，由特殊得出一般，生活問題數(shù)學(xué)化，可以給我們的生活增添無數(shù)可能性.”最后課堂以這段話作為結(jié)束語，道出了“數(shù)學(xué)來源于生活又運用于生活”的真諦.

“綜合與實踐”活動內(nèi)容在近幾年的初中數(shù)學(xué)中考中屢次出現(xiàn)，2022年新課標(biāo)對該部分內(nèi)容提出了新的要求，那么數(shù)學(xué)教師在平時課堂教學(xué)中就需要調(diào)整教學(xué)策略，改變教學(xué)思路，實現(xiàn)與中考的無縫銜接.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 林京榕.滲透數(shù)學(xué)文化 發(fā)展核心素養(yǎng)——以“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”教學(xué)為例［J］.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（7）：1921.

［2］ 倉萬林.課堂視角下的數(shù)學(xué)文化行動研究［J］.上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2014（9）：47.