印俊秀

摘 要：“深度”是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)然追求.唯有深化概念教學(xué)，通過深度教學(xué)深化學(xué)生理解、發(fā)展學(xué)生能力，才能從根本上提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).有深度的數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)基于學(xué)生興趣追問“知識(shí)從何而來(lái)”，基于深度理解探尋“知識(shí)的本質(zhì)是什么”，基于高階思維考量“知識(shí)去向何方”.數(shù)學(xué)概念深度教學(xué)呼喚著教師的深度探索.

關(guān)鍵詞：深度教學(xué)；數(shù)學(xué)概念；平方差公式

1 提出問題

數(shù)學(xué)概念是在數(shù)學(xué)家反復(fù)實(shí)踐與檢驗(yàn)的基礎(chǔ)上生成的，是構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)的細(xì)胞.毋庸諱言，數(shù)學(xué)概念確實(shí)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的形成和發(fā)展十分重要，但在教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)一些教師的概念教學(xué)往往是浮光掠影，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解呈現(xiàn)出一種淺層化、模糊性的狀態(tài).事實(shí)上，唯有通過深化概念教學(xué)來(lái)深化學(xué)生理解、發(fā)展學(xué)生能力，才能從根本上提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)［1］.

如何實(shí)現(xiàn)概念深度教學(xué)？首先，教師需站在一個(gè)較高的層面上研究概念本身，并引領(lǐng)學(xué)生思考學(xué)習(xí)這個(gè)概念的原因、這個(gè)概念產(chǎn)生的緣由、生成的過程及與其他概念間的聯(lián)系等問題，從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)就是師生共同經(jīng)歷概念產(chǎn)生和發(fā)展的曲折過程，通過不斷介入概念的過程因素和實(shí)踐因素深化對(duì)概念的認(rèn)識(shí)和理解，此時(shí)還是滲透數(shù)學(xué)文化元素的好時(shí)機(jī).其次，在理解上述問題之后，可以通過不斷介入理論因素、結(jié)果因素和證實(shí)因素，引領(lǐng)學(xué)生理清概念的結(jié)果，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)概念解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題.最后，自然需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考概念的去向，即還能衍生出哪些新概念、新知識(shí)，這里借助猜想、證偽、證實(shí)等方法的指引可以培養(yǎng)學(xué)生思維的反思性、批判性和創(chuàng)造性.下面筆者結(jié)合“平方差公式”的概念教學(xué)，實(shí)現(xiàn)概念深度教學(xué)上的融會(huì)貫通.

2 數(shù)學(xué)概念深度教學(xué)策略

2.1 基于學(xué)生興趣追問“知識(shí)從何而來(lái)”

想要促成概念教學(xué)中穩(wěn)定、清晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，首先需要明晰本節(jié)課前后概念間的邏輯體系，切實(shí)理清概念的來(lái)處.在課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)基于學(xué)生的興趣追問“知識(shí)從何而來(lái)”，對(duì)于學(xué)生思維的喚醒、情感的深度發(fā)展具有一定的意義.這就需要教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)整體分析和思考教學(xué)內(nèi)容，這樣才能在課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)以主導(dǎo)者的角色引領(lǐng)學(xué)生深入思考概念本身，以啟發(fā)學(xué)生思維［2］.

片斷1：溫故知新導(dǎo)入概念

問題1：整式乘法中的多項(xiàng)式乘法法則是什么？請(qǐng)?jiān)囍貌煌谋磉_(dá)方式闡述.（學(xué)生分別從文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言展開描述）

追問：那這樣的多項(xiàng)式相乘后展開都有四項(xiàng)嗎？

問題2：數(shù)學(xué)在古希臘人的心目中是神奇的，他們對(duì)數(shù)學(xué)十分重視，也研究出很多計(jì)算技巧.下面揭示其中的一種方法：a²=（a+b）（a-b）+b².例如：297²=（297+3）×（297-3）+3²=300×294+9=88 209.你能試著用這種算法驗(yàn)算9²、15²、28²、99²嗎？從中你能發(fā)現(xiàn)哪些規(guī)律？

以上案例中，教師以問題引領(lǐng)學(xué)生回顧多項(xiàng)式乘法法則和體驗(yàn)古希臘人計(jì)算的技巧，盡管設(shè)問的方式不同，但在激活已有認(rèn)知、引發(fā)學(xué)生興趣上效果明顯.事實(shí)上，正是因?yàn)榻處熐∪缙浞值貙?dǎo)入，才實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的正向遷移；也正是因?yàn)榻處熐〉胶锰幍貟伋隽艘粋€(gè)有趣的算法，才引發(fā)了探索與發(fā)現(xiàn)，最終實(shí)現(xiàn)了高階思維的自然發(fā)展.

2.2 基于深度理解探尋“知識(shí)的本質(zhì)是什么”

從教育教學(xué)角度可以發(fā)現(xiàn)，教師在教學(xué)中最關(guān)心且投入時(shí)間最久的環(huán)節(jié)就是探尋“知識(shí)的本質(zhì)是什么”.真正理解數(shù)學(xué)概念就是要理解概念的本質(zhì)、類屬及與其他概念間的聯(lián)系，這個(gè)過程也是學(xué)生順應(yīng)新概念的過程.如果說(shuō)在概念導(dǎo)入階段教師已然引領(lǐng)學(xué)生建立起了新舊概念間的聯(lián)系，那么深度理解就需要學(xué)生在教師的引導(dǎo)下自主探究，從而切實(shí)理解和掌握概念本質(zhì).

片斷2：在自主探究中獲得公式

此時(shí)，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生很快自主歸納得出公式：a²-b²=（a+b）（a-b）.

問題3：這個(gè)式子可以推導(dǎo)得出嗎？（學(xué)生展示方法，繼而，在教師的點(diǎn)撥下學(xué)生歸納得出了平方差公式，即（a+b）·（a-b）=a²-b².

問題4：我們?cè)凇皵?shù)”的角度完成了公式的推導(dǎo)，那下面是不是該從“形”的角度予以驗(yàn)證？哪里可以得出圖形呢？（師生再一次共同探索，通過構(gòu)造與公式相關(guān)幾何圖形的面積，并在GeoGebra軟件下拼圖，最終生成了圖1所示的3種驗(yàn)證方法）

在教材內(nèi)容結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上以問題引領(lǐng)學(xué)生運(yùn)用多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算，并從“數(shù)”與“形”這兩個(gè)角度著手推導(dǎo)和驗(yàn)證平方差公式，再以信息技術(shù)為輔助，給予學(xué)生多感官的刺激與體驗(yàn)，讓學(xué)生在切身感受中深化對(duì)公式本身的理解和認(rèn)識(shí).這樣的過程，不僅讓學(xué)生自主獲得了數(shù)學(xué)知識(shí)，還自然而然地滲透了數(shù)學(xué)思想方法，使深度教學(xué)真正指向了深度理解和創(chuàng)新意識(shí).

3 基于高階思維考量“知識(shí)去向”

深度教學(xué)理念下的概念教學(xué)并非追尋概念的深度與難度，很大程度上應(yīng)是讓學(xué)生在體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的過程中理解概念、建構(gòu)概念、促進(jìn)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的生成，發(fā)展學(xué)習(xí)力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).這就需要用有效的概念應(yīng)用環(huán)節(jié)促使學(xué)生思維的進(jìn)階，用有效的課堂小結(jié)引領(lǐng)學(xué)生走向知識(shí)的更遠(yuǎn)處和思維的更深處，使知識(shí)的去向一目了然.

片斷3：在概念應(yīng)用中進(jìn)階思維

練習(xí)1 辨析（a+b）（a-b）=a2-b2，并分別圈出以下式子中的a和b.

（1） （x+1）（x-1）；

（2） （-x+3）（-x-3）；

（3） （2x-3y）（2x+3y）；

（4） （0.2a+1）（1-0.2a）；

（5） （x+y+z）（x+y-z）.

練習(xí)2 用平方差公式計(jì)算：

（1） （2x+1）（2x-1）；

（2） 102×98；

（3） （y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）.

練習(xí)3 閱讀材料并解決問題.

計(jì)算（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）時(shí)，東東發(fā)現(xiàn)適當(dāng)變式原式即可出現(xiàn)特殊的結(jié)構(gòu)，再應(yīng)用平方差公式解決就簡(jiǎn)單多了.

這里練習(xí)1和練習(xí)2則是對(duì)學(xué)生公式直接應(yīng)用、簡(jiǎn)化應(yīng)用等的考查.而練習(xí)3具有較強(qiáng)的綜合性且閱讀信息量大，因此教師通過微課視頻展示的方法，為學(xué)生更深層次理解平方差公式和更加?jì)故斓剡\(yùn)用平方差公式提供輔助，同時(shí)適時(shí)地插入視頻，讓原本沉寂的課堂瞬間活躍起來(lái)，更重要的是為學(xué)生問題的解決適切搭建了思維的腳手架，讓學(xué)生一步步地走向思維的深處.整個(gè)過程中，師與生、生與生深度交流，共同實(shí)現(xiàn)了思維的進(jìn)階.

片斷4：在課堂小結(jié)中走向知識(shí)的更遠(yuǎn)處

問題5：請(qǐng)大家對(duì)今天所學(xué)的內(nèi)容談?wù)勈斋@與疑惑.

問題6：如圖2，你還想探索什么問題？

追問：據(jù)a2-b2=（a+b）（a-b），你還能想到什么問題？可以從“形”的其他角度驗(yàn)證平方差公式嗎？你能根據(jù)“雪球效應(yīng)”自主編制習(xí)題并解決嗎？這個(gè)問題就留到課后，下節(jié)課我們一起再來(lái)研究.

將課堂延展到課后，讓學(xué)生深度思考“知識(shí)去向何處”，這樣不僅可以促成完整的教學(xué)過程，還能引發(fā)學(xué)生的想象思維，讓學(xué)生張開想象的翅膀，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

總之，深度教學(xué)模式不僅指向教師深度的“教”，還指向?qū)W生深度的“學(xué)”.在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，當(dāng)教師深入解讀概念本身，直面研究概念時(shí)，當(dāng)教師意識(shí)到概念教學(xué)設(shè)計(jì)需基于學(xué)生立場(chǎng)時(shí)，當(dāng)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和思維水平通過概念習(xí)得發(fā)生改變時(shí)，數(shù)學(xué)深度概念教學(xué)才真正發(fā)生，才真正意義上達(dá)到了深度教學(xué)的目的.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 馬華平.核心問題引領(lǐng)，在深度學(xué)習(xí)中逼近數(shù)學(xué)本質(zhì)［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（16）：4748.

［2］ 翟麗萍，吳登文.數(shù)學(xué)概念深度教學(xué)的情境創(chuàng)設(shè)策略［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2016（19）：1718.