■南通大學(xué)附屬中學(xué) 張 敏

圓錐曲線中的探索性問題,一直是歷年高考數(shù)學(xué)試卷考查的重點(diǎn)與難點(diǎn)之一。此類問題可以很好地考查圓錐曲線中的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能等,同時(shí)還能重點(diǎn)考查考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理素養(yǎng),難度為中高檔,具有很好的選拔性與區(qū)分度,備受命題者的青睞,常考常新,創(chuàng)新新穎。

一、定值或定點(diǎn)的探索性問題

圓錐曲線中的定值或定點(diǎn)的探索性問題,主要是涉及定值或定點(diǎn)的存在性問題,一般采用假設(shè)法,首先根據(jù)所解決的問題設(shè)出參數(shù),然后假設(shè)定值成立或定點(diǎn)存在,再根據(jù)定值或定點(diǎn)問題的解決方法,列出參數(shù)所滿足的等式關(guān)系,則可轉(zhuǎn)化為方程或方程組的解的存在性問題。

例1已知橢圓=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別為A,B,O為坐標(biāo)原點(diǎn)。以O(shè)B為對角線的正方形OPBQ的頂點(diǎn)P,Q在橢圓C上。

(1)求橢圓C的離心率。

(2)當(dāng)a=2時(shí),過點(diǎn)(1,0)作與x軸不重合的直線l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)(M在x軸上方),直線AM,BN的斜率分別為k1,k2。試判斷是否為定值? 若是,求出定值;若不是,請說明理由。

分析:(1)通過正方形的構(gòu)建來確定參數(shù)之間的關(guān)系,進(jìn)而利用離心率的變形公式加以分析與求解;(2)結(jié)合過定點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),進(jìn)而研究這兩點(diǎn)與對應(yīng)的橢圓頂點(diǎn)的連線所對應(yīng)的直線的斜率的比值為定值。

點(diǎn)評:研究參數(shù)或代數(shù)式的定值問題,關(guān)鍵是設(shè)置對應(yīng)的動(dòng)直線或動(dòng)曲線,結(jié)合直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,借助函數(shù)與方程思想的轉(zhuǎn)化,通過參數(shù)關(guān)系式的整體代換與變形,巧妙轉(zhuǎn)化所求參數(shù)或代數(shù)式的定值問題,實(shí)現(xiàn)定值的探索性問題,這是解決此類問題最常用的技巧方法。需要特別注意的是:在利用整體代換法處理解析幾何中的相關(guān)代數(shù)式時(shí),由于變量比較多,運(yùn)算量比較大,所以需要注意合理的整體化思維及變量代換。

二、位置關(guān)系的探索性問題

圓錐曲線中的位置關(guān)系的探索性問題,主要是涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的探索與開放問題,關(guān)鍵是利用代數(shù)法或幾何法將直線和圓錐曲線的位置關(guān)系,轉(zhuǎn)化為相關(guān)數(shù)量之間的關(guān)系,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的探究問題來分析與解決。

例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(0,1),N(t,-1)(t∈R),已知△MFN是以FN為底邊,且邊MN平行于y軸的等腰三角形。

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程。

(2)已知直線l交x軸于點(diǎn)P,且與曲線C相切于點(diǎn)A,點(diǎn)B在曲線C上,且直線PB∥y軸,點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)為Q,試判斷A,Q,O三點(diǎn)是否共線? 并說明理由。

分析:(1)根據(jù)題目條件,設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo),結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)確定MN=MF,由兩點(diǎn)間的距離公式構(gòu)建關(guān)系,加以變形轉(zhuǎn)化來確定軌跡方程;(2)設(shè)出直線l的方程,與拋物線方程聯(lián)立,利用直線與拋物線相切的條件結(jié)合判別式為零加以轉(zhuǎn)化,確定參數(shù)之間的關(guān)系,得以確定點(diǎn)P的坐標(biāo),利用條件及中點(diǎn)坐標(biāo)公式分別確定點(diǎn)B,Q的坐標(biāo),結(jié)合切線的幾何意義得到點(diǎn)A的坐標(biāo),進(jìn)而結(jié)合kAO=kOQ來判斷三點(diǎn)共線問題。

解:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y),因?yàn)镸N∥y軸,所以MN與直線y=-1垂直,則MN=|y+1|。

因?yàn)椤鱉FN是以FN為底邊的等腰三角形,所以MN=MF,即|y+1|=,即x2+(y-1)2=(y+1)2,化簡得x2=4y。

因?yàn)楫?dāng)M為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),M,F,N三點(diǎn)共線,無法構(gòu)成三角形,所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程為x2=4y(y≠0)。

(2)A,Q,O三點(diǎn)共線,理由如下:

因?yàn)橹本€l與曲線C相切,所以直線l的斜率必存在且不為零。

所以A,Q,O三點(diǎn)共線。

點(diǎn)評:解決圓錐曲線中的位置關(guān)系的探索性問題,關(guān)鍵是回歸問題本質(zhì),抓住所探究的位置關(guān)系中的特殊結(jié)構(gòu)問題,根據(jù)題目條件分別確定相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)、直線或曲線的方程等,由幾何直觀特征轉(zhuǎn)化為代數(shù)性質(zhì)形式,結(jié)合代數(shù)與幾何之間的關(guān)系,實(shí)現(xiàn)此類特殊結(jié)構(gòu)問題的化歸與轉(zhuǎn)化,進(jìn)而得以解決圓錐曲線中的位置關(guān)系的探索性問題。

圓錐曲線中的探索性問題,由于沒有明確的結(jié)論,需要通過探究后才能明確得到對應(yīng)的結(jié)論,看似方向不明,自由度大,但具體的研究方向也有一定目的性,要有針對性地加以探索與研究。借助圓錐曲線中的探索性問題的分析與解決,在考查基本知識(shí)的同時(shí),又能夠很好地培養(yǎng)同學(xué)們的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用能力。