■山東省沂源縣第一中學(xué) 楊成柱

用單擺測(cè)定當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣仁橇W(xué)中的一個(gè)重要實(shí)驗(yàn)。用單擺測(cè)定重力加速度的原理:當(dāng)擺角較小時(shí),單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)周期,則,因此只要測(cè)出單擺的擺長(zhǎng)l和周期T,就可以求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭的值。下面就這個(gè)實(shí)驗(yàn)中的要點(diǎn)做詳細(xì)說明,供同學(xué)們參考。

一、單擺的制作

選用密度大、體積小的金屬小球,長(zhǎng)度約為1 m 的不可伸長(zhǎng)的輕細(xì)線,將細(xì)線穿過金屬小球上的小孔,做成單擺。

二、單擺的擺動(dòng)

金屬小球擺動(dòng)時(shí),擺線與豎直方向間的最大夾角不要超過5°,因?yàn)橹挥薪饘傩∏蜃鲂〗嵌葦[動(dòng)時(shí),單擺的周期公式才成立;同時(shí),應(yīng)保持金屬小球在豎直面內(nèi)擺動(dòng),而不能擺成圓錐擺。

三、擺長(zhǎng)、周期的測(cè)量

擺長(zhǎng)等于擺線長(zhǎng)與擺球半徑之和,用毫米刻度尺量出擺線長(zhǎng)度l',用游標(biāo)卡尺測(cè)出擺球的直徑d,即可計(jì)算出擺長(zhǎng)。

單擺的周期是擺球完成一次全振動(dòng)所用的時(shí)間。在測(cè)量周期時(shí),從擺球到達(dá)平衡位置開始計(jì)時(shí),先測(cè)出單擺完成30 次或50 次全振動(dòng)所用的總時(shí)間t,再計(jì)算出單擺的周期T,可以有效減小實(shí)驗(yàn)誤差。

四、數(shù)據(jù)處理

1.公式法:先測(cè)出擺長(zhǎng)l,并利用求出周期,再利用公式求出重力加速度。

2.圖像法:根據(jù)測(cè)出的多組擺長(zhǎng)l和對(duì)應(yīng)的周期T,作l-T2(T2-l)圖像,根據(jù)單擺周期公式得,因此l-T2(T2-l)圖像應(yīng)是一條過原點(diǎn)的直線。如圖1所示,求出過原點(diǎn)傾斜直線的斜率k,即可利用g=4π2k求出重力加速度。

例1(2022年高考上海卷)在“用單擺測(cè)定當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取钡膶?shí)驗(yàn)中:

(1)擺線質(zhì)量和擺球質(zhì)量分別為m線和m球,擺線長(zhǎng)為l,擺球直徑為d,則( )。

A.m線?m球,l?d

B.m線?m球,l?d

C.m線?m球,l?d

D.m線?m球,l?d

(2)小明在測(cè)量后作出的T2-l圖像如圖2所示,則他測(cè)得的結(jié)果是g=_____m/s2。(保留2位小數(shù))

(3)為了減小實(shí)驗(yàn)誤差,判斷應(yīng)該從最高點(diǎn)還是最低點(diǎn)開始計(jì)時(shí),并簡(jiǎn)述理由。

解析：(1)單擺模型要求用輕細(xì)線懸掛小球,不計(jì)細(xì)線質(zhì)量,將擺球視為質(zhì)點(diǎn),因此該實(shí)驗(yàn)要求擺線質(zhì)量遠(yuǎn)小于擺球質(zhì)量,擺線長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于擺球直徑,即m線?m球,l?d。

(3)因?yàn)閿[球擺動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速度達(dá)到最大,所以從最低點(diǎn)開始計(jì)時(shí),誤差最小。

答案：(1)D (2)9.74 (3)應(yīng)從最低點(diǎn)開始計(jì)時(shí),因?yàn)閿[球擺動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速度最大,計(jì)時(shí)誤差最小。

命題意圖：本題考查用單擺測(cè)定重力加速度實(shí)驗(yàn)對(duì)裝置的要求,以及用圖像法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的能力和誤差分析的能力。

例2在“用單擺測(cè)定當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取钡膶?shí)驗(yàn)中:

(1)利用如圖3所示的方式測(cè)量擺長(zhǎng),若測(cè)出單擺的周期為T、擺線長(zhǎng)為l、擺球直徑為d,則當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭=____(用測(cè)出的物理量表示)。

圖3

(2)某同學(xué)用一個(gè)鐵鎖代替小球做實(shí)驗(yàn)。只改變擺線的長(zhǎng)度,測(cè)量了擺線長(zhǎng)度分別為l1和l2時(shí)單擺的周期為T1和T2,則當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭=____(用測(cè)出的物理量表示)。

(3)另一位同學(xué)在利用如圖3所示裝置測(cè)量擺長(zhǎng)l時(shí),每次都在小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)b時(shí)取數(shù),然后測(cè)量了多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作出了T2-l圖像,則他得到的圖像最有可能是圖4中的( )。

圖4

解析：(1)根據(jù)單擺的周期公式T=,解得。

(2)設(shè)擺線下端到鎖的重心的距離為x,根據(jù)單擺的周期公式得,解得。

(3)設(shè)小球的半徑為r,根據(jù)單擺的周期公式,解得,因此他得到的T2-l圖像最有可能是圖4 中的C。

答案：(1)

命題意圖：本題考查用單擺測(cè)定重力加速度的實(shí)驗(yàn)原理,以及用圖像法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的能力。

例3用單擺測(cè)定當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣鹊膶?shí)驗(yàn)裝置如圖5所示。

(1)下列對(duì)測(cè)量原理的理解中正確的是____。

A.由g=a可知,周期T一定時(shí),重力加速度g與擺長(zhǎng)l成正比

B.由g=a可知,擺長(zhǎng)l一定時(shí),重力加速度g與周期的平方T2成反比

C.單擺的周期T和擺長(zhǎng)l可用實(shí)驗(yàn)測(cè)定,由可算出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?/p>

(2)若測(cè)量得到的g值偏大,則可能是因?yàn)開___。

A.組裝單擺時(shí),選擇的擺球質(zhì)量偏大

B.測(cè)量擺長(zhǎng)時(shí),將擺線長(zhǎng)當(dāng)成了擺長(zhǎng)

C.測(cè)量周期時(shí),把n次全振動(dòng)誤認(rèn)為是(n+1)次全振動(dòng)

(3)表1是某同學(xué)記錄的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),并做了部分處理。

表1

請(qǐng)計(jì)算第5組實(shí)驗(yàn)中的T2=____s2。

(4)將表1中的數(shù)據(jù)輸入計(jì)算機(jī),可得到如圖6所示的l-T2圖像,傾斜直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),斜率k=0.25。由此求得當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭=____m/s2。(取π2=9.87,結(jié)果保留3位有效數(shù)字)

圖6

解析：(1)重力加速度與單擺的擺長(zhǎng)和周期均無關(guān),選項(xiàng)A、B 錯(cuò)誤。根據(jù)單擺的周期公式,測(cè)出單擺的擺長(zhǎng)l與周期T,可以算出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?選項(xiàng)C正確。

(3)根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)可知,第5組實(shí)驗(yàn)中完成50次全振動(dòng)所用的時(shí)間為100.0 s,則單擺的周期T=2.0 s,因此T2=4.00 s2。

答案：(1)C (2)C (3)4.00 (4)9.87

命題意圖：本題考查用單擺測(cè)定重力加速度的實(shí)驗(yàn)原理,誤差分析的能力,以及用圖表法和圖像法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的能力。

1.在用單擺測(cè)定當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣鹊膶?shí)驗(yàn)中,根據(jù)多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作出T2-l圖像,可以求出重力加速度g。已知某次實(shí)驗(yàn)中三位同學(xué)作出的T2-l圖像如圖7中的a、b、c所示,其中直線a和b平行,直線b和c都過原點(diǎn),直線b對(duì)應(yīng)的g值最接近當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊闹?則相對(duì)于直線b,下列判斷中正確的是( )。

圖7

A.出現(xiàn)直線a的原因可能是誤將懸點(diǎn)到擺球上端的距離記為擺長(zhǎng)l

B.出現(xiàn)直線c的原因可能是誤將49 次全振動(dòng)記為50次全振動(dòng)

C.直線c對(duì)應(yīng)的g值小于直線b對(duì)應(yīng)的g值

D.直線a對(duì)應(yīng)的g值等于直線b對(duì)應(yīng)的g值

2.用如圖8所示的實(shí)驗(yàn)裝置做“用單擺測(cè)定當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取睂?shí)驗(yàn)。

圖8

(1)為了減小測(cè)量誤差,下列說法中正確的是_____。

A.將鋼球換成塑料球

B.從擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)開始計(jì)時(shí)

C.把擺球從平衡位置拉開一個(gè)很大的角度后釋放

D.記錄一次全振動(dòng)的時(shí)間作為周期,根據(jù)公式計(jì)算重力加速度g

(2)某同學(xué)用質(zhì)量分布不均勻的球體作擺球測(cè)定當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?擺球的重心不在球心,但是在球心與懸點(diǎn)的連線上。他仍將從懸點(diǎn)到球心的距離當(dāng)成擺長(zhǎng)l,通過改變擺線的長(zhǎng)度,測(cè)得6組l和對(duì)應(yīng)的周期T,畫出T2-l圖像如圖9所示,然后在直線上選取A、B兩個(gè)點(diǎn),其坐標(biāo)分別為,則重力加速度g=_____。

圖9

參考答案：1.ABD