余慧敏，張玲麗，過(guò) 靜

（江西科技師范大學(xué)大數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，江西 南昌 330038）

1 前言

橢圓曲線的整數(shù)點(diǎn)是數(shù)論中很重要的問(wèn)題。關(guān)于橢圓曲線

的整數(shù)點(diǎn)問(wèn)題，目前主要結(jié)論集中在m=1，2，3，4上。當(dāng)m=1 時(shí)，橢圓曲線（1.1）變?yōu)椋?/p>

當(dāng)n 為奇素?cái)?shù)時(shí)，廖思泉,樂(lè)茂華等[1-5]對(duì)橢圓曲線（1.2）的整數(shù)點(diǎn)進(jìn)行了研究；當(dāng)n 只含奇素因子時(shí)，李玲、張緒緒[6]對(duì)橢圓曲線（1.2）的整數(shù)點(diǎn)進(jìn)行了研究；當(dāng)n 含2 及1 個(gè)奇素?cái)?shù)時(shí)，杜曉英[7]對(duì)橢圓曲線（1.2）的整數(shù)點(diǎn)進(jìn)行了研究；當(dāng)n 含3 及1 個(gè)奇素?cái)?shù)時(shí)，萬(wàn)飛、鄧婭容等[8]對(duì)橢圓曲線（1.2）的整數(shù)點(diǎn)進(jìn)行了研究。

當(dāng)m=2 時(shí)，橢圓曲線（1.1）變?yōu)椋?/p>

當(dāng)n 為奇素?cái)?shù)時(shí)，萬(wàn)飛、杜先存[9]對(duì)橢圓曲線（1.3）的整數(shù)點(diǎn)進(jìn)行了研究；當(dāng)n 含29 及1 個(gè)奇素?cái)?shù)時(shí)，杜先存等[10]對(duì)橢圓曲線（1.3）的整數(shù)點(diǎn)進(jìn)行了研究。

當(dāng)m=3 時(shí)，橢圓曲線（1.1）變?yōu)椋?/p>

當(dāng)n 為奇素?cái)?shù)時(shí)，杜先存、林杏等[11]對(duì)橢圓曲線（1.4）的整數(shù)點(diǎn)進(jìn)行了研究；當(dāng)n 只含奇素因子時(shí)，趙健紅[12]對(duì)橢圓曲線（1.4）的整數(shù)點(diǎn)進(jìn)行了研究。

當(dāng)m=4 時(shí)，橢圓曲線（1.1）變?yōu)椋?/p>

當(dāng)n 為奇素?cái)?shù)時(shí)，趙健紅[13]對(duì)橢圓曲線（1.5）的整數(shù)點(diǎn)進(jìn)行了研究，當(dāng)n 只含奇素因子時(shí)，趙健紅[14]對(duì)橢圓曲線（1.5）的整數(shù)點(diǎn)進(jìn)行了研究。

而對(duì)于n 為奇素?cái)?shù)時(shí)，橢圓曲線

的整數(shù)點(diǎn)問(wèn)題，目前還沒(méi)有相關(guān)結(jié)論。因此，本文主要討論橢圓曲線（1.6）的正整數(shù)點(diǎn)情況。

2 重要引理

引理1[15]若D 是一個(gè)非平方的正整數(shù)，2|D，則丟番圖方程x2-Dy4=1 至多有一組正整數(shù)解。

3 定理證明

定理如果n≡5（mod 8）為奇素?cái)?shù)，則橢圓曲線

至多有一個(gè)正整數(shù)點(diǎn)。

證明：令（x，y），x，y∈Z+是橢圓曲線（3.1）的正整數(shù)點(diǎn)。因?yàn)閚 為奇素?cái)?shù)，所以由（3.1）式得7n|y，令y＝7nz，z∈Z+。把y=7nz 代入（3.1）式得

由于gcd（x，x2＋32）＝gcd（x，32）＝1 或2 或4 或8或16 或32，因此（3.2）式可以分解成下面4 種情形：

情形Ⅰ x=ka2，x2+32=7nkb2，z=kab，gcd（a，b）=1，a，b∈Z+

情形Ⅱ x=kna2，x2+32=7kb2，z=kab，gcd（a，b）=1，a，b∈Z+

情形Ⅲ x=7ka2，x2+32=nkb2，z=kab，gcd（a，b）=1，a，b∈Z+

情形Ⅳ x=7kna2，x2+32=kb2，z=kab，gcd（a，b）=1，a，b∈Z+

其中k=1，2，4，8，16，32。

下面分別討論四種情形下（3.2）式的正整數(shù)點(diǎn)的情況。

情形Ⅰ 對(duì)x2+32=7nkb2兩邊同時(shí)取模7，得

情形Ⅱ x2+32=7kb2兩邊同時(shí)取模7，得

由情形Ⅰ的證明知情形Ⅱ不成立，即橢圓曲線（3.1）無(wú)正整數(shù)點(diǎn)。

情形Ⅲ x2+32=nkb2兩邊同時(shí)取模n，得

情形Ⅳ

（i）當(dāng)k=1 時(shí)，x=7nka2，x2+32=kb2為x=7na2，x2+32=b2。解x2+32=b2得，（9，7），（6，2）。又x∈Z+，故x＝2 或x＝7。由x＝7na2，得x＝2不成立，故7na2＝7，則有na2＝1，得n＝a＝1，這與“n≡5（mod 8）為奇素?cái)?shù)”矛盾，故x=7 不成立，因此k=1時(shí)情形Ⅳ不成立，即橢圓曲線（3.1）無(wú)正整數(shù)點(diǎn)。

（ii）當(dāng)k=2 時(shí)，x=7kna2，x2+32=kb2為x=14na2，x2+32=2b2。將x=14na2代入x2+32=2b2，整理得

由（3.6）式知，2|b，則令b=2c，c∈Z+，代入（3.6）式，化簡(jiǎn)得

由（3.7）式知2|a，則2|gcd（a，b），這與“gcd（a，b）=1”矛盾，所以（3.7）式不成立，則k=2 時(shí)情形Ⅳ不成立，即橢圓曲線（3.1）無(wú)正整數(shù)點(diǎn)。

（iii）當(dāng)k=4 時(shí)，x=7kna2，x2+32=kb2為x=28na2，x2+32=4b2。將x=28na2代入x2+32=4b2，整理得156n2a4+8=b2，兩邊同時(shí)取模n，得

（iv）當(dāng)k=8 時(shí)，x=7kna2，x2+32=kb2為x=56na2，x2+32=8b2。將x=56na2代入x2+32=8b2，整理得392n2a4+4=b2。由此可知2|b，則令b=2c，c∈Z+，代入得392n2a4+4=b2

（v）當(dāng)k=16 時(shí)，x=7kna2，x2+32=kb2為x=112na2，x2+32=16b2。將x=112na2代入x2+32=16b2，整理得784n2a4+2=b2。兩邊同時(shí)取模n，得

（vi）當(dāng)k=32 時(shí)，x=7kna2，x2+32=kb2為x=224na2，x2+32=32b2。將x=224na2代入x2+32=32b2，整理得1568n2a4+1=b2，即

由引理1 知，（3.11）式至多有一個(gè)正整數(shù)點(diǎn)，故橢圓曲線（3.1）至多有一個(gè)正整數(shù)點(diǎn)。

綜上在情形Ⅳ下橢圓曲線（3.1）至多有一個(gè)正整數(shù)點(diǎn)。

綜上所述定理得證。

4 結(jié)論

橢圓曲線是一根“神線”，它在眾多的數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)和密碼學(xué)等領(lǐng)域中有著廣泛而深入的應(yīng)用。橢圓曲線的整數(shù)點(diǎn)是數(shù)論中的一個(gè)重要問(wèn)題，目前還有很多橢圓曲線的整數(shù)點(diǎn)問(wèn)題沒(méi)有解決。橢圓曲線y2=ax（x2±b），a，b∈Z+的整數(shù)點(diǎn)問(wèn)題是橢圓曲線的一個(gè)重要問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題僅有部分得到解決，關(guān)于n為素?cái)?shù)時(shí)橢圓曲線y2=7nx（x2+a），a∈Z+，的整數(shù)點(diǎn)問(wèn)題至今未相關(guān)結(jié)論。本文主要利用四次Diophantine方程的已知結(jié)果，運(yùn)用唯一分解定理、奇偶數(shù)的性質(zhì)、同余的性質(zhì)、Legendre 符號(hào)的性質(zhì)等初等方法，證明了n≡5（mod 8）為奇素?cái)?shù)時(shí)橢圓曲線y2=7nx（x2+32），至多有1 個(gè)正整數(shù)點(diǎn)。此結(jié)果對(duì)于n 是素?cái)?shù)時(shí)橢圓曲線y2=7nx（x2+a），a∈Z+，的求解有一定的借鑒作用，同時(shí)推進(jìn)了該類(lèi)橢圓曲線的研究。