潘竹樹 (福建省泉州市第九中學(xué) 362000)

1 課標(biāo)引領(lǐng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出,初中階段核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為抽象能力、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)[1]7．幾何直觀主要是指運(yùn)用圖表描述和分析問題的意識(shí)與習(xí)慣,能夠根據(jù)描述畫出相應(yīng)的圖形,分析圖形的性質(zhì);建立形與數(shù)的聯(lián)系,構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型,探索解決問題的思路[1]8．

幾何直觀能為學(xué)生理解與洞察其他更為抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容與結(jié)構(gòu)搭建橋梁,幾何直觀是啟發(fā)問題解決思路的基本策略[2]．抽象能力是數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ),只有具備一定的抽象能力,才可能從感性經(jīng)驗(yàn)中獲得事物的本質(zhì)特征,上升到理念認(rèn)識(shí)[3]．幾何直觀和抽象能力相互依托,幾何直觀本質(zhì)上是依托圖形展開想象的抽象思維;反之,只有具備一定的抽象能力,才能發(fā)展幾何直觀學(xué)習(xí)能力,增強(qiáng)運(yùn)用圖形思維的意識(shí),提升數(shù)形結(jié)合的能力．本文剖析2022年全國部分地區(qū)中考數(shù)學(xué)幾何直觀題型和考查的思想方法,提出培養(yǎng)學(xué)生抽象能力的“教—學(xué)—評(píng)”建議．

2 中考幾何直觀試題考查學(xué)生的思想方法案例分析

數(shù)學(xué)思想方法包括化歸思想、函數(shù)思想、分類討論思想、整體思想和形數(shù)結(jié)合思想等．借助幾何直觀試題,剖析中考試題考查的思想方法,通常按“觀察—構(gòu)造—推理”過程展開,此過程基本伴隨有運(yùn)算、建模和創(chuàng)新等活動(dòng)．

2.1 考查學(xué)生的化歸思想

化歸轉(zhuǎn)化思想能夠幫助學(xué)生從看似雜亂無章的現(xiàn)象中抽象找到一般規(guī)律,把問題數(shù)學(xué)化,利用數(shù)學(xué)方法解決問題,是幾何直觀過渡到抽象能力的重要途徑．

例1(2022·泰州)如圖1所示的象棋棋盤中,各個(gè)小正方形的邊長均為1,“馬”從圖中的位置出發(fā),不走重復(fù)路線,按照“馬走日”的規(guī)則,走兩步后的落點(diǎn)與出發(fā)點(diǎn)的最短距離為．

圖1

構(gòu)建直觀模型

通過觀察,建立“馬走日”模型,嘗試“馬”的幾種不同走法,作出預(yù)判．

推理解決問題

圖2

例2(2022·紹興)如圖3,在平行四邊形ABCD中,AD=2AB=2,∠ABC=60°,E,F是對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn),且BE=DF,M,N分別是邊AD,BC上的動(dòng)點(diǎn)．下列四種說法:①存在無數(shù)個(gè)平行四邊形MENF;②存在無數(shù)個(gè)矩形MENF;③存在無數(shù)個(gè)菱形MENF;④存在無數(shù)個(gè)正方形MENF．其中正確的說法個(gè)數(shù)是( )．

圖3

A.1 B.2 C.3 D.4

構(gòu)建直觀模型

根據(jù)平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)模型,畫草圖,作出預(yù)判．

推理解決問題

通過草圖作出的判斷只是“形似”,還要有一個(gè)數(shù)學(xué)化的過程．本例找出對(duì)角線的交點(diǎn)是關(guān)鍵．連結(jié)對(duì)角線AC交BD于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作直線交邊AD于點(diǎn)M,交邊BC于點(diǎn)N．易證OE=OF,OM=ON,所以四邊形MENF是平行四邊形,答案A正確．

2.2 考查學(xué)生的函數(shù)思想

真正的知識(shí),包括數(shù)學(xué)最為本質(zhì)的知識(shí),是來源于感性經(jīng)驗(yàn)的,是通過直觀得到的,抽象不能獨(dú)立于人的思維而存在[3]．建立在圖形特征上的幾何直觀結(jié)論,要通過抽象的論證加以確認(rèn)．

圖4

建立形數(shù)聯(lián)系

△AOB是等腰直角三角形,當(dāng)直角邊OA最小時(shí),斜邊OB也最?。?/p>

推理解決問題

例4(2022·濱州)如 圖5,正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,如果∠BOC繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),其兩邊分別與邊AB,BC相交于點(diǎn)E,F,連結(jié)EF,那么點(diǎn)E在由B到A的過程中,線段EF的中點(diǎn)G經(jīng)過的路線是( )．

圖5

A.線段 B.圓弧 C.折線 D.波浪線

構(gòu)建直觀模型

建構(gòu)“動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過的路線”模型,通常操作是找出起點(diǎn)、終點(diǎn)和中間任意一點(diǎn),通過觀察三個(gè)點(diǎn)的位置判斷其軌跡．∠BOC的旋轉(zhuǎn)有兩個(gè)特殊位置,起始位置點(diǎn)B與點(diǎn)E重合,此時(shí)點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)I;結(jié)束位置點(diǎn)A與點(diǎn)E重合,此時(shí)點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)H．連結(jié)IH,發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G在線段IH上,從而初步判斷中點(diǎn)G經(jīng)過的路線為線段．

推理解決問題

圖6

2.3 考查學(xué)生的分類討論思想

作圖是形成直觀想象的一種重要方法,圖形特征越畫越深入,數(shù)量關(guān)系越畫越清楚,思路越畫越清晰,思考越畫越深入[4]．通過作圖,讓學(xué)生借助幾何直觀感悟圖形存在多種不同的情況,再從相似的圖形中辨析“不同的結(jié)構(gòu)”,提升學(xué)生的抽象能力．

例5(2022·紹興)如圖7,將一張以AB為邊的矩形紙片,先沿一條直線剪掉一個(gè)直角三角形,在剩下的紙片中,再沿一條直線剪掉一個(gè)直角三角形(剪掉的兩個(gè)直角三角形相似),剩下的是如圖7所示的四邊形紙片ABCD,其中∠A=90°,AB=9,BC=7,CD=6,AD=2,則剪掉的兩個(gè)直角三角形的斜邊長不可能是( )．

圖7

構(gòu)建直觀模型

建構(gòu)“相似直角三角形模型”,三角形是沿邊CD,BC剪開的,且∠C=90°,嘗試作圖,還原尚未剪開的“原圖”是解題關(guān)鍵．

推理解決問題

如圖8,△HCD∽△BGH,通過計(jì)算可得DH=10,BH=15.答案A正確．

圖8

2.4 考查學(xué)生的整體思想

借助幾何直觀認(rèn)識(shí)圖形,不能是盲人摸象,應(yīng)該建立在圖形總體特征的基礎(chǔ)上,這樣有利于更加深刻、全面地把握?qǐng)D形的特征,再通過抽象的代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行確認(rèn)．

例6(2022·寧波)將兩張全等的矩形紙片和另兩張全等的正方形紙片按如圖9的方式不重疊地放置在矩形ABCD內(nèi),其中矩形紙片和正方形紙片的周長相等,若知道圖中陰影部分的面積,則一定能求出( )．

圖9

A.正方形紙片的面積

B.四邊形EFGH的面積

C.△BEF的面積

D.△AEH的面積

建立形數(shù)聯(lián)系

已知條件只有圖形,沒有矩形和正方形的邊長,要判斷四邊形或三角形的面積,通性通法就是整體把握,設(shè)未知數(shù)判斷四邊形或三角形的面積的變化規(guī)律．

推理解決問題

2.5 考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想

“數(shù)缺形時(shí)少直覺,形少數(shù)時(shí)難入微.”數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)生借助幾何直觀,進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象能力的重要途徑．

例7(2022·常州)如 圖10,在四邊形ABCD中, ∠A=∠ABC=90°,DB平分∠ADC,若AD=1,CD=3,則sin∠ABD=．

圖10

建立形數(shù)聯(lián)系

已知AD=1,要求∠ABD的正弦值,就需要求BD的大?。?yàn)椤螦+∠ABC=180°,所以AD∥BC,又因?yàn)椤螦DB=∠BDC,所以∠DBC=∠BDC,DC=BC,添輔助線,過C點(diǎn)作CH⊥BD于H．

推理解決問題

例8(2022·宿遷) 如圖11,在正六邊形ABCDEF中,AB=6,點(diǎn)M在邊AF上,且AM=2．若經(jīng)過點(diǎn)M的直線l將正六邊形面積平分,則直線l被正六邊形所截的線段長是．

圖11

構(gòu)建直觀模型

建構(gòu)“正六邊形的中心模型”,因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)M的直線l將正六邊形面積平分,所以直線l經(jīng)過正六邊形的中心O．

推理解決問題

3 借助幾何直觀,培養(yǎng)抽象能力的“教—學(xué)—評(píng)”建議

“教—學(xué)—評(píng)”一致性的關(guān)鍵是要有清晰的目標(biāo).明確以培養(yǎng)幾何直觀為目標(biāo)的教學(xué)策略,能促進(jìn)學(xué)生從直觀到抽象的提升．

3.1 在“教”中培養(yǎng)抽象能力

教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)體現(xiàn)邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性,構(gòu)建研究數(shù)學(xué)對(duì)象的基本路徑[5]．初中是學(xué)生感性思維上升到理性思維的重要轉(zhuǎn)折階段,這個(gè)階段“教會(huì)”學(xué)生利用“眼觀”把握?qǐng)D形,體會(huì)利用圖形特征解題的優(yōu)勢;“教會(huì)”學(xué)生把生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,體會(huì)“建構(gòu)”直觀模型的必要性,使形象思維過渡到抽象思維;“教會(huì)”學(xué)生結(jié)合圖形進(jìn)行“推理”,體會(huì)認(rèn)識(shí)事物需要抽象的分析與論證的必要性．課前,教師要注重分析教學(xué)內(nèi)容,明確哪些素材是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀、抽象能力的基本知識(shí);課中,要制定培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀、抽象能力的策略,讓學(xué)生在掌握基本技能的同時(shí),積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),從中體驗(yàn)幾何直觀的優(yōu)越性;課后,要幫助學(xué)生梳理幾何直觀與抽象能力的聯(lián)系,打通幾何直觀與抽象能力的通道,在數(shù)學(xué)基本思想的引領(lǐng)下讓學(xué)生構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系．通過幾何直觀和抽象能力相互作用,形成數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則的方法與能力．

3.2 從“學(xué)”中提升抽象能力

數(shù)形結(jié)合活動(dòng)是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的有效途徑[2]．圖形除自身具體的特征外,還包括圖形的平移、旋轉(zhuǎn)與軸對(duì)稱等運(yùn)動(dòng)．學(xué)生“學(xué)會(huì)”在觀察圖形中發(fā)現(xiàn)問題,找到圖形的特殊之處;“學(xué)會(huì)”從結(jié)論逆推提出問題,掌握演繹推理的方法;“學(xué)會(huì)”分析圖形的基本特征找到解題方法,掌握邏輯推理的方法;“學(xué)會(huì)”數(shù)形結(jié)合,直觀與推理相結(jié)合解決問題．這個(gè)過程中要鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想、小心求證,鼓勵(lì)學(xué)生在課堂上互動(dòng)交流,從中“學(xué)會(huì)”從不同角度觀察圖形,“學(xué)會(huì)”從圖形的特征挖掘有效信息,“學(xué)會(huì)”分析問題,“學(xué)會(huì)”提出自己感到困惑的問題,在傾聽、思考與碰撞中提升抽象能力,思維由“零碎的認(rèn)識(shí)”過渡到“整體地把握”,提升了抽象思維．學(xué)生以幾何圖形為介質(zhì),“學(xué)會(huì)”分析與綜合、關(guān)系推理和質(zhì)疑,提升了批判性思維;“學(xué)會(huì)”借助幾何直觀進(jìn)行結(jié)構(gòu)化、數(shù)學(xué)化處理,提升問題解決能力;“學(xué)會(huì)”聯(lián)想遷移、類比化歸,搭建起從直觀到抽象的橋梁,提升了創(chuàng)造性思維;“學(xué)會(huì)”主動(dòng)反醒,優(yōu)化策略,提升了元認(rèn)知能力．學(xué)生在構(gòu)建問題的直觀模型中,找到解決問題的策略,形成數(shù)形結(jié)合的能力,把握了數(shù)學(xué)的本質(zhì),提高了抽象能力．

3.3 在“評(píng)”中考查抽象能力

評(píng)價(jià)學(xué)生包括口頭評(píng)價(jià)、書面評(píng)價(jià)和考試評(píng)價(jià)．口頭評(píng)價(jià)主要在“教”的環(huán)節(jié)實(shí)施,課堂評(píng)價(jià)是一種過程性評(píng)價(jià),評(píng)價(jià)學(xué)生是否利用幾何直觀準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)圖形、是否準(zhǔn)確把握?qǐng)D形的特征、是否重視細(xì)化抽象過程、是否明確抽象的策略、是否掌握抽象的方法．書面評(píng)價(jià)主要在“學(xué)”的環(huán)節(jié)實(shí)現(xiàn),評(píng)價(jià)學(xué)生是否準(zhǔn)確運(yùn)用圖形特征、是否嚴(yán)密論證圖形的結(jié)論、是否融匯貫通、是否增強(qiáng)了圖形思維的意識(shí)．抽象能力水平主要在“考”的環(huán)節(jié)來反饋,抽象能力雖然不能直接觀測,但抽象能力水平卻能通過“數(shù)量關(guān)系”和“空間形式”這兩個(gè)橫向維度,以及“歸納與釋義”“關(guān)聯(lián)與建構(gòu)”“拓展與普適”這三個(gè)縱向維度來測評(píng)．在抽象能力指標(biāo)體系的指導(dǎo)下,教師能夠制定更科學(xué)的策略,借助幾何直觀解決實(shí)際問題,讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的全過程,提升抽象思維的水平,引導(dǎo)學(xué)生從幾何直觀的角度對(duì)問題再認(rèn)識(shí)、再思考．

“教—學(xué)—評(píng)”一體化評(píng)價(jià)的目的不僅在于檢測教育教學(xué)效果,更重要的是發(fā)現(xiàn)教育教學(xué)過程中的問題,以及實(shí)施過程中的匹配度[6]．通過評(píng)價(jià)中發(fā)現(xiàn)的問題,教師能及時(shí)發(fā)現(xiàn)教學(xué)中存在的問題,更好地調(diào)整教學(xué)策略,培養(yǎng)學(xué)生實(shí)現(xiàn)從感性到理性、從直觀到抽象的跨越．

4 結(jié)語

幾何直觀是種意識(shí),也是種技能與能力,更是種思維方式[7]．以課標(biāo)為引領(lǐng),教師通過對(duì)中考試題的研究,有助于指導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀的思維方式把握問題的本質(zhì),明晰思維的路徑．雖然學(xué)生的幾何直觀有先天的差異,但是通過后天的科學(xué)指導(dǎo),學(xué)生的幾何直觀和其他關(guān)鍵能力將得到協(xié)同發(fā)展．