張 巧 劉佛蓮 王 喆 孔德宏 (云南師范大學(xué) 650500)

GeoGebra軟件(下稱GGB)融合了代數(shù)與幾何的優(yōu)勢,實(shí)現(xiàn)曲線和方程實(shí)時(shí)交互,是探究解析幾何問題的利器．本文從一道解析幾何教材習(xí)題出發(fā),借助GGB進(jìn)行數(shù)學(xué)探究,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題”四個(gè)階段,將圓方程進(jìn)行推廣,歸納得到橢圓、雙曲線的第三定義,中心弦性質(zhì)等結(jié)論．本次探究活動(dòng)既能有效提升學(xué)生“四能”,又與新課標(biāo)“數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中,鼓勵(lì)學(xué)生使用信息技術(shù)”這一理念相契合．

1 提出問題

人教A版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊“2.4圓的方程”有一道課后習(xí)題:已知圓的一條直徑的端點(diǎn)分別是A(x1,y1),B(x2,y2),求證:此圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0[1]．

引導(dǎo)學(xué)生觀察題目和方程形式,可聯(lián)想到兩向量的數(shù)量積,由此打開思路,通過“圓的直徑所對圓周角為直角”和“兩向量垂直的充要條件”證明得到,此處不作詳細(xì)分析．

對于數(shù)學(xué)習(xí)題的教學(xué),教師不能讓學(xué)生思維停留在題目表層,而應(yīng)適當(dāng)引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生思考,鼓勵(lì)學(xué)生積極提出數(shù)學(xué)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)探究．基于學(xué)生提出的問題,本文對如下幾個(gè)典型問題展開探究:

問題1已知A(x1,y1),B(x2,y2),點(diǎn)P(x,y)滿足(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=c(c≠0),則點(diǎn)P的軌跡是什么?

問題2已知A(x1,y1),B(x2,y2),點(diǎn)P(x,y)滿足(x-x1)(x-x2)-(y-y1)(y-y2)=0,則點(diǎn)P的軌跡是什么?進(jìn)一步推廣:若點(diǎn)P(x,y)滿足(x-x1)(x-x2)-(y-y1)(y-y2)=c(c≠0),則點(diǎn)P的軌跡又是什么?

問題3已知A(x1,y1),B(x2,y2),點(diǎn)P(x,y)滿足a(x-x1)(x-x2)+b(y-y1)(y-y2)=0,則點(diǎn)P的軌跡是什么?進(jìn)一步推廣:若點(diǎn)P(x,y)滿足a(x-x1)(x-x2)+b(y-y1)(y-y2)=c(c≠0),則點(diǎn)P的軌跡又會(huì)是什么?

除以上問題外,學(xué)生還提出:交換A,B兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)后,軌跡又是什么?……

2 問題解決

·問題1的探究

猜想由(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=c(c≠0)得x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y+x1x2+y1y2-c=0,符合圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0形式,猜想軌跡還是圓．

借助GGB展開探究:任意作出A,B兩點(diǎn),創(chuàng)建滑動(dòng)條c,輸入(x-x(A))(x-x(B))+(y-y(A))(y-y(B))=c,拖動(dòng)滑動(dòng)條c,觀察軌跡．觀察到:當(dāng)c=0時(shí),軌跡是以AB為直徑的圓;當(dāng)c>0時(shí),是直徑比AB大的圓;當(dāng)c<0時(shí),是直徑比AB小的圓,但當(dāng)c一直小到某個(gè)值時(shí),軌跡消失(圖1)．

圖1

·問題2的探究

猜想將方程展開會(huì)得到x2-y2的形式,與雙曲線的方程相似,故猜想軌跡為雙曲線．

借助GGB展開探究:任意作出A,B兩點(diǎn),創(chuàng)建滑動(dòng)條c,輸入(x-x(A))(x-x(B))-(y-y(A))(y-y(B))=c,改變c的值,觀察到:當(dāng)c=0時(shí),軌跡是以AB為實(shí)軸的等軸雙曲線;當(dāng)c>0時(shí),是實(shí)軸長比AB大的等軸雙曲線;當(dāng)c<0時(shí),是實(shí)軸長比AB小的等軸雙曲線,但當(dāng)c一直小到某個(gè)值時(shí),雙曲線兩支改變方向(圖2)．

圖2

·問題3的探究

猜想將方程左邊展開可得到ax2+by2的形式,它既與圓的方程相似又與橢圓方程相似,故猜想軌跡是圓或橢圓．

借助GGB展開探究:任意作出A,B兩點(diǎn),創(chuàng)建滑動(dòng)條a,b,c,輸入a(x-x(A))(x-x(B))+b(y-y(A))(y-y(B))=c(a≠0,b≠0),分別改變a,b,c的值來觀察軌跡變化情況．觀察到當(dāng)c=0,若a,b異號,則軌跡是以AB為實(shí)軸的雙曲線,結(jié)論與探究2相符;若a,b同號,則軌跡是橢圓;特別地,a=b時(shí)軌跡是圓,結(jié)論與探究1相符(圖3)．

圖3

當(dāng)a,b異號時(shí),軌跡是等軸雙曲線.此時(shí),當(dāng)c>0時(shí),雙曲線實(shí)軸長小于AB,但當(dāng)c達(dá)到某個(gè)值時(shí),雙曲線兩支改變方向;當(dāng)c<0時(shí),雙曲線實(shí)軸長大于AB．

當(dāng)a,b同號且00時(shí),橢圓長軸大于AB;當(dāng)c<0時(shí),橢圓長軸小于AB;當(dāng)a

當(dāng)a,b同號且a>b>0時(shí),軌跡是橢圓.此時(shí),當(dāng)c>0時(shí),橢圓短軸大于AB;當(dāng)c<0時(shí),橢圓短軸小于AB;當(dāng)0>a>b時(shí),將上述結(jié)論的短軸變長軸(圖4)．

圖4

3 進(jìn)一步探究

探究再進(jìn)一步,教師可引導(dǎo)學(xué)生在此基礎(chǔ)上探究斜率之和、差、商為常數(shù)時(shí)點(diǎn)的軌跡．

此外,學(xué)生還可以提出更多問題:(1)(x-y1)(x-y2)+(y-x1)(y-x2)=0(交換點(diǎn)A的橫、縱坐標(biāo),點(diǎn)B的橫、縱坐標(biāo));(2)(x-y1)(x-x2)+(y-x1)(y-y2)=0(只交換點(diǎn)A的橫、縱坐標(biāo));(3)(x+x1)(x+x2)+(y+y1)(y+y2)=0(括號內(nèi)減變加);(4)(x-x1)(y-y1)-(x-x2)(y-y2)=0(交換前后一個(gè)因式且加變減)……

相應(yīng)結(jié)論:(1)軌跡為圓,且與未交換之前所得的圓關(guān)于直線y=x對稱;(2)軌跡為圓,且與未交換之前所得的圓有公共點(diǎn)B;(3)軌跡為圓,且與未交換之前所得的圓關(guān)于原點(diǎn)對稱;(4)軌跡是直線,過直線AB的中點(diǎn),且與直線AB斜率之和為0(圖5)．

圖5

4 應(yīng)用

“以問題促探究”是培養(yǎng)學(xué)生鉆研數(shù)學(xué)問題的重要途徑,多問幾個(gè)為什么能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神,提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣．近幾年的高考試題中,有一些試題是由課本例習(xí)題演變而來的．例如:

5 結(jié)論

(1)橢圓和雙曲線的第三定義.橢圓:平面上任意一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的斜率之積為負(fù)常數(shù)(除-1外)的點(diǎn)的軌跡是橢圓(除兩定點(diǎn))．其中兩定點(diǎn)是橢圓長軸上的兩個(gè)端點(diǎn),并且滿足橢圓方程．雙曲線:平面上任意一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的斜率之積為正常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線(除兩定點(diǎn))．其中兩定點(diǎn)是雙曲線實(shí)軸上的兩個(gè)端點(diǎn),并且滿足雙曲線方程．

6 啟示

(1)以問題促探究,培養(yǎng)學(xué)生問題提出能力.問題是深化學(xué)生對知識的理解、培養(yǎng)學(xué)生的問題提出能力和創(chuàng)新能力的重要武器．引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題,猜測合理的數(shù)學(xué)結(jié)論,

提出解決問題的思路和方案,通過自主探索、合作研究、論證數(shù)學(xué)結(jié)論的過程,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[2]．

(2)教師要注重“用”教材教,而不是“教”教材.新時(shí)代的教師應(yīng)該是教育教學(xué)的研究者和反思的實(shí)踐者,要注重研究教材和教材配套資源的開發(fā)與利用．例如,教師應(yīng)該敢于改編教材習(xí)題,引導(dǎo)學(xué)生變換題設(shè)條件、變換題目結(jié)論或增減題中的條件等,多角度、多層次進(jìn)行探究,使其在“變”中比較,在“變”中感悟不變的規(guī)律,提升思維的創(chuàng)造性[3]．

(3)信息技術(shù)輔助教學(xué),提升直觀想象素養(yǎng).GGB能建立“抽象形式”與“可視內(nèi)容”之間的直接聯(lián)系,實(shí)現(xiàn)“思維可視化”．基于GGB進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng),鼓勵(lì)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)、觀察、猜想、交流、歸納、驗(yàn)證進(jìn)行數(shù)學(xué)探究,揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[4]．