孫 凱 (江蘇省蘇州市陽山實驗初級中學校 215151)

陳 鋒 (江蘇省無錫市太湖格致中學 214125)

《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》指出,數(shù)學課程要培養(yǎng)的學生核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為三個方面:會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界[1].從數(shù)學內(nèi)部看,三句話分別對應數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模等方面,觀察、思考和表達的對象都是現(xiàn)實世界.從現(xiàn)實世界看,“三會”包括將現(xiàn)實世界引入到數(shù)學內(nèi)部,用數(shù)學語言抽象、推理、建模,從而解決問題的過程,從宏觀上看,這本身就是一種數(shù)學建模和數(shù)學表達的過程.因此,數(shù)學建模是培養(yǎng)初中生數(shù)學表達能力的有效路徑之一.

1 數(shù)學建模與數(shù)學表達的關系

數(shù)學表達是指用數(shù)學的語言表達數(shù)學思維的過程,以數(shù)學的方式表征和求解問題[2].呂傳漢教授提倡通過“教思考、教體驗、教表達”(簡稱“三教”)[3]培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng),其中“教表達”是指學生學會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界.學生用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界,實質(zhì)上就是學生運用所學數(shù)學知識構建數(shù)學模型應用于外部世界,用數(shù)學模型刻畫現(xiàn)實世界中研究對象的關系與規(guī)律[4],從而解決問題.事實上,數(shù)學語言的本質(zhì)就是數(shù)學模型,在用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界的過程中必然經(jīng)歷將現(xiàn)實世界引入數(shù)學內(nèi)部,即數(shù)學化的過程,而數(shù)學化的過程必然要用專業(yè)的數(shù)學符號系統(tǒng)表達和闡釋現(xiàn)實事物的本質(zhì)、關系和規(guī)律[5].從這個角度看,數(shù)學建模與數(shù)學表達有著互相交融、彼此促進的關系.

數(shù)學建模是指將現(xiàn)實世界中的實際問題轉化為數(shù)學問題并用數(shù)學的知識解決問題[6].數(shù)學建模能力是指利用形式化的數(shù)學模型去表達現(xiàn)實問題中的關系結構,通過對數(shù)學模型的求解和檢驗,解決現(xiàn)實問題的能力.數(shù)學表達可以看作用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界的簡稱,是指運用數(shù)學語言表示思考對象和解決問題的過程,闡明自己的觀點和意見[7].數(shù)學表達能力是指使用數(shù)學語言的能力,包括口頭表達能力或書面表達的能力[8].2017年版高中數(shù)學課程標準指出,數(shù)學建?；顒邮且环N過程,分為現(xiàn)實問題的數(shù)學抽象、數(shù)學表達、建構模型求解問題三個階段[9].基于以上含義的理解,我們可以看出,數(shù)學表達始終伴隨著數(shù)學建?；顒?從現(xiàn)實世界到數(shù)學內(nèi)部的數(shù)學化表達,建立數(shù)學模型求解獲得數(shù)學結果,再到將數(shù)學結果反數(shù)學化來闡釋現(xiàn)實世界,本質(zhì)上都屬于數(shù)學表達范疇.因此,可以說數(shù)學建模能力是數(shù)學表達能力的重要組成部分,在數(shù)學建模活動中培養(yǎng)初中生數(shù)學表達能力是切實可行的.

2 數(shù)學建模教學設計

2.1 選題說明

蘇科版初中數(shù)學教材注重選擇與學生的生活現(xiàn)實緊密聯(lián)系的學習素材,設置了大量的現(xiàn)實生活背景.“一元一次方程”章節(jié)是初中階段第一個相對獨立完整的代數(shù)型模型,包括從現(xiàn)實情境中獲得一元一次方程模型,探索模型求解的方法,以及用一元一次方程模型解決實際問題,使學生體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的有效模型.學生完整經(jīng)歷引入模型、建立模型、求解模型、驗證模型的數(shù)學建模過程,體會數(shù)學模型的應用價值.

基于以上分析,蘇科版數(shù)學七年級上冊“4.3用一元一次方程解決問題(1)”為初中生首次提供了相對完整的數(shù)學建?；顒?學生經(jīng)歷的數(shù)學表達和數(shù)學建?；顒舆^程,對后續(xù)實際問題類的分析和求解影響深遠.因此,筆者從數(shù)學建模和數(shù)學表達的視角談談“用一元一次方程解決問題(1)”的教學設計與思考.

2.2 教學分析

2.2.1內(nèi)容簡析

教材提供了四部分內(nèi)容:數(shù)學實驗室(月歷情境);問題1(桌子用料問題);方法總結(一般步驟);練習題(4道題).以月歷為情境,設置一些問題,驅使學生探索月歷中的數(shù)量關系,體會用字母表示未知的數(shù)的必要性和優(yōu)越性,為用代數(shù)式表達數(shù)量關系、列出方程奠定基礎.問題1取材于現(xiàn)實生活,重點在于引導學生建立一元一次方程模型.方法總結是對實際問題求解過程的梳理和歸納,使學生理解和掌握建立數(shù)學模型求解實際問題的一般步驟.

2.2.2教學目標

能通過建立一元一次方程模型解決簡單的實際問題,包括列方程、解方程,并能根據(jù)實際問題的意義檢驗結果,提高分析和解決問題的能力;經(jīng)歷“實際問題—建立模型—求解模型—驗證解釋”的建模過程,培養(yǎng)數(shù)學表達能力.

2.3 教學過程

2.3.1關聯(lián)情境,感受數(shù)學表達的延續(xù)性

代數(shù)式模型是方程模型的認知基礎,代數(shù)式的學習經(jīng)驗和學習水平直接關系到方程學習的質(zhì)量.教學引入環(huán)節(jié)設計得好不好,其中一個關鍵要素是是否體現(xiàn)學生知道什么、還可以知道什么,即是否符合學生的最近發(fā)展區(qū),為新知識的生成、生長做好鋪墊.

問題1小明和小麗在玩火柴棒搭“小魚”的游戲,要求用火柴棒按以下方式(圖1)搭“小魚”.

圖1 搭“小魚”游戲

(1)搭n條“小魚”需要多少根火柴棒?

(2)用602根火柴棒能搭多少條“小魚”?

教學分析在本課前,“搭‘小魚’”問題情境已經(jīng)在教材上出現(xiàn)過兩次,每一次出現(xiàn)都肩負著不同的使命.在代數(shù)式章節(jié)的“章頭圖”中使學生感受字母表示數(shù)的優(yōu)越性,在“3.3代數(shù)式的值”處,使學生獲得函數(shù)的感性認識,感悟模型思想.在本課教學引入環(huán)節(jié),再現(xiàn)“搭‘小魚’”問題情境,有利于激發(fā)學生的學習興趣,喚醒建立代數(shù)式模型的經(jīng)驗,通過建立代數(shù)式模型,進一步建立一元一次方程模型.兩個問題的設置遵循了知識的生長規(guī)律,由淺入深、從無到有,體現(xiàn)了代數(shù)式到方程模型的生長過程,有利于學生體會代數(shù)式與方程的內(nèi)在聯(lián)系.

2.3.2解決問題,感悟數(shù)學表達的完整性

“用一元一次方程解決問題”中的“解決問題”是指解決現(xiàn)實世界的實際問題.將實際問題轉入數(shù)學內(nèi)部,用數(shù)學的知識、思想和方法建立模型并解決的過程就是數(shù)學建模.在此過程中既要關注數(shù)學建?；顒舆^程的完整性,也要關注每個活動環(huán)節(jié)學生數(shù)學表達的簡潔性、條理性、規(guī)范性等.

問題2一張桌子有一張桌面和四條桌腿,做一張桌面需用木料0.03 m3,做一條桌腿需用木料0.002 m3.用3.8 m3木材可做多少張這樣的桌子?(不計木材加工時的損耗)

教學分析在該問題的教學中,教師應從兩個維度考量教學過程:一是數(shù)學建模維度,引導學生經(jīng)歷“實際問題—數(shù)學問題—數(shù)學模型—數(shù)學模型的解—實際問題解答”的建?；顒舆^程,使學生初步了解數(shù)學建模的一般流程;二是數(shù)學表達維度,引導學生經(jīng)歷“審題、設未知數(shù)(數(shù)學化表達)—找等量關系、列方程(列方程表達)—解方程(求解)—檢驗(驗證)—作答(解釋)”的數(shù)學表達過程.圖2呈現(xiàn)了數(shù)學建模循環(huán)模型背景下的數(shù)學表達流程.

圖2 數(shù)學建模背景下數(shù)學表達流程

2.3.3歸納過程,重視數(shù)學表達的規(guī)范性

數(shù)學表達包括口頭表達和書面表達.在數(shù)學表達活動中,應引導學生用恰當?shù)臄?shù)學語言闡釋數(shù)學理解,從而發(fā)展學生關于數(shù)學表達的專業(yè)性語言體系[10].這就要求教師關注學生口頭表達和書面表達的簡潔性、規(guī)范性,幫助學生說得準確、清晰、有條理,寫得簡潔、規(guī)范、有邏輯.

問題3(1)“桌子加工”問題中有哪些數(shù)量關系?請用合適的數(shù)學語言表達出來.

(2)根據(jù)相等的數(shù)量關系,建立恰當?shù)臄?shù)學模型求解問題.

教學分析通過問題(1)驅動學生審題、理解題意,簡化問題情境,梳理并表達出以下數(shù)量關系:一條桌腿用料×4=一張桌子的桌腿用料;一張桌面用料+一張桌腿用料=一張桌子用料;所有桌面用料+所有桌腿用料=總用料,為3.8 m3;一張桌子的用料×桌子張數(shù)=總用料,為3.8 m3.然后用字母表示適當?shù)奈粗獢?shù),并用含有字母的代數(shù)式表達其他相關的量,根據(jù)數(shù)量之間的相等關系建立一元一次方程模型,然后求解方程模型,檢驗并寫出問題的答案.在表達數(shù)量關系時,應關注學生的表達方式,適時引導學生體悟文字語言、符號語言、圖形語言三種表達方式的特征.

問題(2)充分預設了學生建立數(shù)學模型的多樣性,比如有學生會建立算術模型直接求解,也有學生選用不同的等量關系建立不同的方程模型等,但最終教師應引導學生認識到方程模型的優(yōu)越性.

在這個環(huán)節(jié),教師要示范用一元一次方程解決問題的規(guī)范性解答,引導學生學會清晰、有條理、規(guī)范地表達問題求解的過程及結論.這里的教學重點是引導學生將實際問題進行數(shù)學化表達,分析和理解問題中的數(shù)量關系,并用代數(shù)式或方程表達,從而建立方程模型.在問題解決后,教師引導學生總結歸納用方程解決問題的一般步驟:審題、設未知、找等量、列方程、解方程、檢驗、作答.

2.3.4深度思考,理解數(shù)學表達的結構性

一般而言,數(shù)學模型本身是一種穩(wěn)定的數(shù)學結構.從整體上看,整個章節(jié)提供的72個實際問題情境都指向一元一次方程模型的建構.從局部上看,每個問題情境中的數(shù)量關系的結構類型卻不盡相同,但進一步梳理可以發(fā)現(xiàn)兩種基本的結構模型．引導學生抽象出實際問題中數(shù)量關系的結構模型,是一種高階思維參與的探究活動,有利于實現(xiàn)深度學習.

問題4“搭‘小魚’”和“桌子加工”兩個問題中的數(shù)量關系有什么共同的特征?

教學分析“搭‘小魚’”和“桌子加工”問題中的數(shù)量關系分別為:“魚尾”根數(shù)(2根)+“魚身”根數(shù)=總根數(shù);桌面用料+桌腿用料=總用料.兩種數(shù)量關系可以概括為“a+b=c”型結構模型.其中一個“魚身”根數(shù)ד小魚”條數(shù)=“魚身”總根數(shù)、一張桌面用料×桌子數(shù)量=桌面總用料、一張桌腿用料×桌子數(shù)量=桌腿總用料.這些數(shù)量關系可以概括為“ab=c”型結構模型.教學中應引導學生討論交流,提煉并表達出以上結構模型,從而實現(xiàn)深度探究、深度學習.正是基于結構模型的教學需要,本節(jié)課教學舍棄了教材提供的“月歷”問題情境.

3 培養(yǎng)數(shù)學表達能力的思考

3.1 注重示范規(guī)范化表達

規(guī)范化表達是指用數(shù)學語言清晰、有條理、規(guī)范地表達對問題的數(shù)學思考、求解過程以及結果的合理解釋.在數(shù)學教學中,我們經(jīng)常遇到學生表達不規(guī)范的現(xiàn)象,這種現(xiàn)象在解題作答時表現(xiàn)得尤為突出,廣大一線教師對此頗為煩惱.事實上,這種現(xiàn)象表明學生數(shù)學表達的規(guī)范性有待加強.這就要求教師在數(shù)學課堂教學中,應幫助學生認識到規(guī)范表達的重要性,有意識引導學生規(guī)范化表達,讓他們逐步養(yǎng)成規(guī)范表達的習慣.比如,在列一元一次方程求解問題時,教師先給出規(guī)范的表達過程,做好示范,隨后在練習中關注學生表達的規(guī)范性,發(fā)現(xiàn)問題及時提醒并糾正,反復訓練,提高學生規(guī)范化表達的能力.

3.2 重視引導多元化表達

多元化表達是指使用不同的數(shù)學語言進行有效表達.數(shù)學表達的關鍵是對數(shù)學語言的掌握與使用能力.數(shù)學語言的形式是多樣的,數(shù)學的語言一般可以概括為文字語言、符號語言和圖形語言三類.提高學生數(shù)學語言的使用能力,一定程度上可以看成是提高學生三類語言互譯的能力.比如,在分析與表達“桌子加工”問題中的數(shù)量關系時,可以引導學生使用文字語言、符號語言、圖表語言進行表達(圖3),以此提高學生多元化表達能力.

圖3 多元化表達的板書

3.3 經(jīng)歷數(shù)學化表達過程

數(shù)學化表達多用于數(shù)學建?；顒舆^程,是數(shù)學建模的關鍵環(huán)節(jié).從數(shù)學建模過程看,數(shù)學化表達分為兩個階段:橫向數(shù)學化表達和縱向數(shù)學化表達.從實際問題中抽象和建立數(shù)學模型屬于橫向數(shù)學化表達,在數(shù)學內(nèi)部探究數(shù)學模型的認識和求解屬于縱向數(shù)學化表達.在本節(jié)課中,運用數(shù)學語言從實際問題中建立一元一次方程屬于橫向數(shù)學化表達,求解一元一次方程獲得數(shù)學結果屬于縱向數(shù)學化表達.在此活動過程中要注重對學生數(shù)學化表達能力的培養(yǎng),事實上,這也是培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力的關鍵.

3.4 關注結構化表達進階

結構化表達是指將實際問題中數(shù)量關系的結構進行模型化表達,從而深刻理解問題的結構化特征.在對問題解決的反思中,進一步提煉問題中蘊涵數(shù)量關系的結構,有利于培養(yǎng)學生的結構化表達能力.研究發(fā)現(xiàn),教材很多題目中的數(shù)量關系都包括“a+b=c”“ab=c”這兩個最基本的結構,稍復雜的數(shù)量關系可以看作是這兩個基本結構的復合結構[11].指向實際問題解決的建模教學應關注結構化模型的進階,從大單元視角對不同實際問題中的數(shù)量關系進行結構化統(tǒng)整,從而形成簡約、統(tǒng)一、優(yōu)美的結構模型,以此提高學生的結構化表達能力.