潘冬麗 何正文

(1.廣東省肇慶市第一中學(xué); 2.廣東省肇慶市百花中學(xué))

數(shù)學(xué)建模作為核心素養(yǎng)一項關(guān)鍵部分,在處理分析實際問題時往往可以做到事半功倍的效果.如果能把問題進(jìn)行模型化,數(shù)據(jù)就可以可視化,圖形就可以立體化.本文從幾個具體數(shù)學(xué)問題案例中揭示數(shù)學(xué)建模本質(zhì),進(jìn)而有效培養(yǎng)學(xué)生的建模思維.

六個核心素養(yǎng)中數(shù)學(xué)建模是最難的一環(huán).下面從模型的構(gòu)建、完善、還原方面進(jìn)行高中知識層面的實例分析.

一、建立模型構(gòu)造

高中數(shù)學(xué)建模構(gòu)建的核心就是幾何與代數(shù)的有機融合.突破數(shù)學(xué)代數(shù)結(jié)構(gòu)特征與幾何知識相關(guān),能夠從數(shù)學(xué)問題挖掘,構(gòu)建幾何模型去解決.

又由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcosC,

所以(2Rsin150°)2=(2Rsin10°)2+(2Rsin20°)2-2×4R2sin10°sin20°cos150°,

【例2】試證對于任意的正實數(shù)a,b,c,

【分析】觀察待證式子中的三個根式,容易發(fā)現(xiàn):

根據(jù)上述分析得到如圖所示的幾何圖形模型,

其中AB=c,AC=a,AD=b,

∠CAD=∠BAD=60°,

顯然,由余弦定理可知,

在△CDB中,CD+DB>CB是恒成立的,

例1,例2分別把三角函數(shù)問題、不等式問題轉(zhuǎn)化成對三角形邊和角的分析,通過數(shù)學(xué)建模,解決問題.

常見幾何模型有:

(1)|x-a|聯(lián)想到x到a的距離模型;

(2)(x-a)2+(y-b)2聯(lián)想到P(x,y)到A(a,b)之間距離的平方模型;

二、突破建模情境

常規(guī)問題很難解決時,我們通過在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型時,調(diào)整思維角度,敢于構(gòu)想新的問題意境,往往柳暗花明又一村.

由單位圓知識及函數(shù)圖象可得

【例4】若關(guān)于x的方程|x2-4x+3|-a=x至少有三個不相等的實數(shù)根,求a的取值范圍.

【分析】我們根據(jù)題目帶有絕對值,聯(lián)想距離模型,模型突破點在于把|x2-4x+3|=x+a,分解y=|x2-4x+3|,y=x+a,兩個函數(shù)圖象模型,如圖所示.

①當(dāng)a<-3時,由圖象可知,函數(shù)y=|x2-4x+3|與函數(shù)y=x+a的圖象無交點,不符合題意,舍去;

②當(dāng)a=-3時,由圖象可知,函數(shù)y=|x2-4x+3|與函數(shù)y=x+a的圖象只有一個交點,不符合題意,舍去;

③當(dāng)-3

④當(dāng)a=-1時,由圖可知,函數(shù)y=|x2-4x+3|與函數(shù)y=x+a的圖象有三個交點,符合題意.

三、回歸數(shù)學(xué)模型還原

數(shù)學(xué)模式講究數(shù)學(xué)問題的屬性遷移,在數(shù)學(xué)模型維度解決,回歸到認(rèn)知的問題.

【例5】假設(shè)你有一筆資金用于投資,現(xiàn)有三種投資方案供你選擇,這三種方案的回報如下:

方案一:每天回報40元.

方案二:第一天回報10元,以后每天比前一天多回報10元.

方案三:第一天回報0.4元,以后每天的回報比前一天翻一倍.

[問題] 請問你會選擇哪種投資方案?

解:設(shè)第x天所得回報是y元.

方案一:每天回報40元,

y=40(x∈N*),常函數(shù);

方案二:第一天回報10元,以后每天比前一天多回報10元,

y=10x(x∈N*),正比例函數(shù);

方案三:第一天回報0.4元,以后每天的回報比前一天翻一倍,

y=0.4×2x-1(x∈N*),指數(shù)型函數(shù).

通過實際例子讓學(xué)生利用所學(xué)的知識來分析具體的實際問題,并建模解決實際問題.讓學(xué)生明確數(shù)學(xué)知識在日常生活中學(xué)有所用的事實.

【例6】果農(nóng)用汽車運一批水果從甲地運至銷售商所在乙地.有兩條路線,果農(nóng)承擔(dān)運費.若準(zhǔn)時到,則果農(nóng)獲利20萬元;倘若提前送到會有獎勵,規(guī)定每能提前一天就獎勵1萬元;如果推遲罰款,每推遲一天罰1萬元.但是保證水果新鮮,汽車只能摘下兩天內(nèi)送到.已知下表內(nèi)的信息:

統(tǒng)計信息汽車 行駛路線 不堵車的情況下到達(dá)乙地所需時間(天)堵車的情況下到達(dá)乙地所需時間(天)堵車的概率運費(萬元)公路Ⅰ231101.6公路Ⅱ14120.8

假設(shè)你是果農(nóng),你會選擇哪個方案?

解:設(shè)汽車走公路Ⅰ時,果農(nóng)獲得的毛利潤為ξ,

(1)如果不堵車,

利潤ξ=20-1.6=18.4(萬元);

(2)如果堵車,

利潤ξ=20-1.6-1=17.4(萬元).

ξ的分布列為

ξ18.417.4P910110

設(shè)汽車走公路Ⅱ時果農(nóng)獲得的毛利潤為η.

(1)如果不堵車,

利潤η=20-0.8+1=20.2(萬元);

(2)如果堵車,

利潤η=20-0.8-2=17.2(萬元).

利潤η的分布列為

η20.217.2P1212

故選擇公路Ⅱ運送水果有可能讓果農(nóng)獲得的毛利潤更多.

本題選材于還原離散型隨機變量均值問題模型,背景鮮活真實,具有與生活、生產(chǎn)密切相關(guān)的參考價值.考查利用數(shù)據(jù)建模應(yīng)用能力.根據(jù)表中的數(shù)據(jù),毛利潤即銷售商支付給果農(nóng)的費用減去運費,再利用均值公式分別得出走公路Ⅰ和公路Ⅱ獲得毛利潤的均值,由上計算得E(ξ)