摘 要：利用η-逼近法，定義了η-鞍點(diǎn)和η-Lagrange函數(shù)。研究了一類包含r-不變凸函數(shù)的非線性數(shù)學(xué)規(guī)劃問題的鞍點(diǎn)條件，得到了η-近似優(yōu)化問題下的η-鞍點(diǎn)最優(yōu)性準(zhǔn)則和原規(guī)劃的最優(yōu)解與η-近似優(yōu)化問題下的η-Lagrange鞍點(diǎn)的等價(jià)性，用新的方法推廣了相關(guān)鞍點(diǎn)結(jié)論。

關(guān)鍵詞：η逼近方法；η-鞍點(diǎn)；r-不變凸函數(shù)；η-Lagrange函數(shù)

中圖分類號(hào)：O221.6;O224

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

近年來，利用相關(guān)的向量?jī)?yōu)化問題設(shè)計(jì)新的方法來解決原有的多目標(biāo)數(shù)學(xué)規(guī)劃問題及其對(duì)偶問題受到了廣泛的關(guān)注。ANTCZAK［1，2］提出了一種改進(jìn)目標(biāo)函數(shù)的新方法，分別用于求解包含不變凸函數(shù)的可微多目標(biāo)優(yōu)化問題和非線性標(biāo)量數(shù)學(xué)規(guī)劃問題，通過對(duì)任意但固定的可行點(diǎn)x處修改給定數(shù)學(xué)規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)，從而構(gòu)造出η-近似優(yōu)化問題。進(jìn)一步建立了它與原非凸數(shù)學(xué)規(guī)劃問題的等價(jià)性。在文獻(xiàn) ［3-6］中基于對(duì)不同的目標(biāo)規(guī)劃問題中通過修改原規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)，構(gòu)造得到相關(guān)的η-近似優(yōu)化問題，建立其原規(guī)劃問題和η-近似優(yōu)化問題之間的等價(jià)性，得到相關(guān)的最優(yōu)性條件、對(duì)偶條件和鞍點(diǎn)。

在數(shù)學(xué)規(guī)劃問題中拉格朗日乘子及其拉格朗日函數(shù)的鞍點(diǎn)已經(jīng)被廣泛研究（如文獻(xiàn)［7-9］）。這一結(jié)果在最優(yōu)化理論和經(jīng)濟(jì)學(xué)中具有重要作用。同時(shí)，凸性的假設(shè)也是十分重要的，但其具有一定的局限性。為了放寬充分最優(yōu)性定理中的凸性假設(shè)，HANSON［10］推廣了凸函數(shù)即為不變凸函數(shù)。后來，ANTCZAK［11］引入了一類新的（非凸）可微函數(shù)，并將其稱為關(guān)于η的r-不變凸。 BHATIA［12］在多目標(biāo)規(guī)劃問題中討論了其最優(yōu)性和鞍點(diǎn)準(zhǔn)則。HO［13］在多目標(biāo)分式規(guī)劃問題中討論了r-不變凸函數(shù)的鞍點(diǎn)準(zhǔn)則。ANTCZAK［11，14］證明了包含r-不變凸函數(shù)的約束優(yōu)化問題的充分最優(yōu)性條件和Wolfe對(duì)偶性條件，給出了關(guān)于另一種類型的η-不變性的條件。

本文進(jìn)一步討論了文獻(xiàn)［2］中的方法，解決一類非線性數(shù)學(xué)規(guī)劃問題的r-不變凸函數(shù)關(guān)于η相同函數(shù)的問題。通過研究文獻(xiàn)［11］中提出的η-近似方法，在用該方法構(gòu)造的η-近似優(yōu)化問題中，引入了一個(gè)所謂η-鞍點(diǎn)的定義和的η-Lagrange函數(shù)的定義。進(jìn)一步證明了η-近似優(yōu)化問題中η-Lagrange函數(shù)的一個(gè)η-鞍點(diǎn)與原數(shù)學(xué)規(guī)劃問題的一個(gè)最優(yōu)解之間的等價(jià)性。

參考文獻(xiàn)：

ANTCZAK T. A new approach to multiobjective programming with a modified objective function［J］. Global Optimization， 2003， 27： 485-495.

［2］ ANTCZAK T. An η-approximation approach or nonlinear mathematical programming problems involving invex functions［J］. Num. Functional Anal. Optimization， 2004， 25（5amp;6）： 423-438.

［3］ ANTCZAK T. Saddle points criteria in nondifferentiable multiobjective programming with V-invex functions via an η-approximation method［J］. Computers and Mathematics with Applications， 2010， 60： 2689-2700.

［4］ ANTCZAK T. Saddle point criteria and duality results in multiobjective programming problems via an η-approximation method［J］. ANZIAMJ， 2005， 47： 155-172.

［5］ 閆春雷. 不變凸多目標(biāo)規(guī)劃對(duì)偶性的逼近方法［J］.青島大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2011， 24（3）： 1-6.

［6］ ANTCZAK T. Saddle points criteria via a second order η-approximation approach for nonlinear mathematical programming problems involving second order invex functions［J］. Kybernetika， 2011， 47（2）： 222-240.

［7］ 趙勇， 彭再云， 徐先兵， 等.半B-（p，r）-（預(yù)）不變凸函數(shù)與多目標(biāo)分式規(guī)劃問題的鞍點(diǎn)［J］. 重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2012， 29（1）： 18-26.

［8］ 楊玉紅. 非光滑半無限多目標(biāo)優(yōu)化問題的Lagrange鞍點(diǎn)準(zhǔn)則［J］. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)， 2018， 41（1）： 14-26.

［9］ 李鈺， 嚴(yán)建軍， 李江榮. 具有廣義凸性的一類半無限向量分式規(guī)劃的鞍點(diǎn)準(zhǔn)則［J］. 貴州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2015， 32（5）： 1-4.

［10］HANSON M A. On sufficiency of the Kuhn-Tucker conditions［J］. Math Anal Appl， 1981， 80： 545-550.

［11］ANTCZAK T. A new method of solving nonlinear mathematical programming problems involving r-invex functions［J］. Math Anal Appl， 2005， 311： 313-323.

［12］BHATIA G. Optimality and mixed saddle point criteria in multiobjective optimization［J］. J Math Anal Appl， 2008，342（1）：135-145.

［13］HO S C. Saddle point criteria in multiobjective fractional programming involving exponential invexity［J］. Bull Malays Math Sci Soc， 2018，41：1923-1934.

［14］ANTCZAK T. An η-approximation approach to duality in mathematical programming problems involving r-invex functions［J］. Math Anal Appl， 2006， 315： 555-567.

［15］CLARKE F H. Optimization and nonsmooth analysis［M］. New York： Wiley-Interscience， 1983.

（責(zé)任編輯：于慧梅）

η-saddle Point Condition for Non-differentiable r-invexity Functions

YUAN Jing， LI Xiangyou*， LIU Wenyan

（College of Mathematics and Computer Science，Yan’an University，Yan’an 716000，China）

Abstract：

This paper uses the η-approximation method to define the η-saddle point and η-Lagrange functions. The saddle point conditions of a class of nonlinear mathematical programming problems including r-invex functions are studied， and the η-saddle point optimality criterion under the η-approximation optimization problem and the optimal solution of the original program and the equivalence of the η-Lagrange saddle point under the η-approximation optimization problem are obtained， and the relevant saddle point conclusion is generalized by the new method.

Key words：

η-approximation method; η-saddle point; r-invariant convex function; η-Lagrange function