摘 要：中職數(shù)學(xué)融合數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和思維進(jìn)階意義非凡，可以為中職學(xué)生提供綜合、深入的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn).借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生親身參與到數(shù)學(xué)問(wèn)題的探索和解決過(guò)程中，助力教師培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和科學(xué)精神.除此之外，教師在數(shù)學(xué)課堂中融入思維進(jìn)階的訓(xùn)練，不僅可以幫助學(xué)生提升抽象思維、邏輯思維和創(chuàng)新思維能力，還可以拓展學(xué)生的思維邊界，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維模式和實(shí)踐探究能力.

關(guān)鍵詞：中職數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；思維進(jìn)階

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2023）35-0071-03

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指教師在課堂中融入數(shù)學(xué)相關(guān)的實(shí)踐探究活動(dòng)，讓學(xué)生在實(shí)踐中理解數(shù)學(xué)知識(shí)，在應(yīng)用中感知數(shù)學(xué)知識(shí)，不僅可以激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和探索欲望，同時(shí)，學(xué)生還可以通過(guò)思維進(jìn)階的訓(xùn)練，培養(yǎng)并建立起批判性和創(chuàng)造性思維，提高學(xué)生的自主探究能力.此外，中職數(shù)學(xué)融合數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和思維進(jìn)階，還有助于培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作和溝通能力，思維進(jìn)階的訓(xùn)練促使學(xué)生學(xué)會(huì)清晰地表達(dá)自己的想法，并與他人進(jìn)行有效的溝通和交流［1］.因此，教師可以在中職數(shù)學(xué)課堂中探索數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的具體應(yīng)用，以期學(xué)生數(shù)學(xué)思維的進(jìn)階發(fā)展.

1 一一列舉實(shí)驗(yàn)，感悟數(shù)列思維

一一列舉實(shí)驗(yàn)的意義在于它提供了一種系統(tǒng)化的方法來(lái)觀察和理解事物的特性、規(guī)律以及相互關(guān)系，借助逐個(gè)列舉實(shí)驗(yàn)，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生更全面地了解和分析問(wèn)題，揭示出隱藏在現(xiàn)象背后的本質(zhì)機(jī)制，排除偶然性和主觀性的干擾，盡量確保實(shí)驗(yàn)結(jié)果的可靠性和準(zhǔn)確性.教師將列舉法的實(shí)驗(yàn)原理應(yīng)用于數(shù)列規(guī)律的探索上，還可以幫助學(xué)生培養(yǎng)系統(tǒng)性思維和創(chuàng)新創(chuàng)造能力，發(fā)現(xiàn)隱藏在問(wèn)題背后的模式和規(guī)則，從而更好地理解問(wèn)題的本質(zhì)，提高學(xué)生推理和分析的綜合能力.

教師在介紹了基本的等差、等比數(shù)列概念后，可引入斐波那契數(shù)列，為學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展提供良好的實(shí)驗(yàn)契機(jī).首先，教師給學(xué)生介紹斐波那契數(shù)列：它是一個(gè)非常有趣且重要的數(shù)列，它的定義是從第三項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)的和，也就是說(shuō)，斐波那契數(shù)列的前幾項(xiàng)是1，1，2，3，5，8，13，21，……接著，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考，并借助列舉法，一一寫出前幾項(xiàng)的值.然后，再組織學(xué)生交流斐波那契數(shù)列的特點(diǎn)，有學(xué)生回答：“我通過(guò)列舉法發(fā)現(xiàn)，斐波那契數(shù)列的每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)的和，這意味著每一項(xiàng)都是由前兩項(xiàng)相加得到的，另外，斐波那契數(shù)列的前兩項(xiàng)是1，1，這是這個(gè)數(shù)列的起始點(diǎn).從第三項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)的和，所以數(shù)列逐漸增長(zhǎng)得很快，每一項(xiàng)都比前一項(xiàng)大.”還有學(xué)生回答：“我用一一列舉的實(shí)驗(yàn)方法，發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列還有一個(gè)特點(diǎn)是，隨著項(xiàng)數(shù)的增加，相鄰兩項(xiàng)的比值逐漸接近黃金分割比例0.618.”在一番交流后，教師可以再次讓學(xué)生嘗試計(jì)算，并觀察斐波那契數(shù)列的更多項(xiàng)，體會(huì)數(shù)列的規(guī)律.有學(xué)生可能會(huì)發(fā)現(xiàn)，斐波那契數(shù)列中的每一項(xiàng)都可以通過(guò)前兩項(xiàng)相加得到，這可以用一個(gè)遞推公式來(lái)表示：F（n）=F（n-1）+F（n-2），其中F（n）表示第n項(xiàng).接著，教師可以給學(xué)生一些練習(xí)題，讓他們通過(guò)計(jì)算斐波那契數(shù)列的特定項(xiàng)或應(yīng)用斐波那契數(shù)列解決問(wèn)題，進(jìn)一步鞏固他們對(duì)斐波那契數(shù)列的理解和應(yīng)用能力.

通過(guò)以上實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，學(xué)生不僅能夠在實(shí)踐中感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用，理解數(shù)列思維的重要性，還可以培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的探索欲望.在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，學(xué)生既可以進(jìn)行團(tuán)隊(duì)合作，共同探索問(wèn)題、討論解決方案，又可以培養(yǎng)合作和溝通能力.與此同時(shí)，豐富的思維進(jìn)階的訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)清晰地表達(dá)自己想法的能力，使學(xué)生能夠與他人進(jìn)行有效的溝通和交流，提高自主探究能力.因此，教師在中職數(shù)學(xué)課堂中融入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，鍛煉學(xué)生的思維習(xí)慣，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展具有重要意義.

2 古典概型實(shí)驗(yàn)，提升統(tǒng)計(jì)思維

古典概型是一種簡(jiǎn)單而經(jīng)典的概率模型，通過(guò)它，學(xué)生可以了解事件發(fā)生的可能性以及事件之間的關(guān)系.教師借助古典概型實(shí)驗(yàn)，可以培養(yǎng)學(xué)生對(duì)概率和統(tǒng)計(jì)的直覺(jué)，提高學(xué)生對(duì)隨機(jī)事件的預(yù)測(cè)和決策能力.此外，古典概型還為學(xué)生學(xué)習(xí)提供了一種思維框架，可以應(yīng)用于各種實(shí)際問(wèn)題，包括生活中的抽樣、投資決策等.古典概型實(shí)驗(yàn)可以幫助我們建立和驗(yàn)證理論模型，了解因果關(guān)系，量化和測(cè)量現(xiàn)象［2］.因此，教師可以在課堂中引入古典概型，不僅可以拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)，還能夠提升學(xué)生的問(wèn)題解決能力和決策水平.

教師可以借助多媒體課件，為學(xué)生梳理古典概型的基礎(chǔ)知識(shí).教師結(jié)合投影儀上的課件為學(xué)生介紹古典概型的原理和應(yīng)用，引導(dǎo)其深入理解.例如，教師可以介紹說(shuō)：“古典概型是概率論的基礎(chǔ)，它主要用于描述實(shí)驗(yàn)中可能的結(jié)果和它們發(fā)生的概率.在古典概型中，假設(shè)實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果都是可能發(fā)生的，這樣就可以通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)和比例計(jì)算概率.”接著，教師帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)刻古典概型實(shí)驗(yàn)，以拋硬幣為例，組織學(xué)生多次拋擲并記錄硬幣的正反情況，學(xué)生在一番實(shí)驗(yàn)后，能夠發(fā)現(xiàn)硬幣的結(jié)果只有兩種可能.這時(shí)，教師解釋說(shuō)：“以投擲硬幣為例，同學(xué)們知道硬幣有兩個(gè)可能的結(jié)果，正面或反面，而在古典概型中，假設(shè)這兩種結(jié)果發(fā)生的概率是相等的，即各為12.因此，如果同學(xué)們進(jìn)行了多次投擲硬幣的實(shí)驗(yàn)，那么就可以通過(guò)計(jì)算正面朝上的次數(shù)與總次數(shù)的比例來(lái)估計(jì)正面朝上的概率.”在實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，教師讓學(xué)生之間相互分享，以學(xué)生的認(rèn)知談?wù)剬?duì)統(tǒng)計(jì)與概率的理解.有學(xué)生分享：“統(tǒng)計(jì)與概率是研究事件發(fā)生規(guī)律和可能性的學(xué)科，通過(guò)統(tǒng)計(jì)可以收集和分析數(shù)據(jù)，從而得出結(jié)論，而概率則是描述事件發(fā)生可能性的數(shù)值，可以用來(lái)預(yù)測(cè)和計(jì)算事件發(fā)生的概率.”還有學(xué)生分享：“在古典概型中，假設(shè)所有可能結(jié)果的發(fā)生概率是等可能的，這樣就可以通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)和比例來(lái)計(jì)算概率，這也就是古典概型的意義.”為了提升學(xué)生對(duì)古典概型實(shí)驗(yàn)的認(rèn)知，幫助學(xué)生完成思維認(rèn)知的跨越，教師可以再介紹古典概型的應(yīng)用領(lǐng)域和范圍，豐富學(xué)生的見(jiàn)聞，教師補(bǔ)充說(shuō)：“古典概型在許多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.比如在生物統(tǒng)計(jì)中，可以利用古典概型來(lái)計(jì)算基因型的概率；在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，可以用古典概型來(lái)分析市場(chǎng)供求關(guān)系；在物理學(xué)中，可以用古典概型來(lái)描述粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).”

通過(guò)學(xué)習(xí)古典概型的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，學(xué)生可以觀察和測(cè)量不同變量之間的關(guān)系，驗(yàn)證并修正有關(guān)概率的理論假設(shè).教師借助控制變量的操作，可以確定特定因素對(duì)結(jié)果的影響，這不僅有利于學(xué)生在概率實(shí)驗(yàn)中獲得可靠的數(shù)據(jù)，還有利于學(xué)生對(duì)結(jié)果進(jìn)行定量描述，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行客觀的比較和評(píng)估，更好地理解和解釋概率中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象.因此，教師應(yīng)注重在課堂實(shí)驗(yàn)中借助古典概型的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，為學(xué)生提供一種系統(tǒng)、可靠和可重復(fù)的方法，促進(jìn)學(xué)生統(tǒng)計(jì)與概率思維的進(jìn)階發(fā)展.

3 函數(shù)建模實(shí)驗(yàn)，應(yīng)用幾何思維

在中職數(shù)學(xué)課堂中，函數(shù)建模實(shí)驗(yàn)是一種可以將數(shù)學(xué)與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的幾何思維能力的重要教學(xué)方法.函數(shù)建模實(shí)驗(yàn)可以讓學(xué)生在實(shí)踐中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，通過(guò)建立模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念和原理的理解.并且，幾何概念在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用場(chǎng)景，教師培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)模型實(shí)驗(yàn)?zāi)芰?，有利于學(xué)生深入研究函數(shù)線性關(guān)系對(duì)幾何實(shí)體的積極影響，從而鼓勵(lì)學(xué)生的思維意識(shí)進(jìn)階走向應(yīng)用模塊.

例如，在學(xué)習(xí)函數(shù)的過(guò)程中，教師可以設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)，并劃分學(xué)習(xí)合作小組，讓學(xué)生通過(guò)測(cè)量不同高度的水柱所對(duì)應(yīng)的水壓建立函數(shù)模型，學(xué)生可以使用壓力計(jì)等工具進(jìn)行測(cè)量，并記錄下不同高度所對(duì)應(yīng)的壓力值.有學(xué)生小組匯報(bào)了結(jié)果，并記錄下不同高度所對(duì)應(yīng)的壓力值，當(dāng)高度為10 cm、20 cm、30 cm、40 cm、50 cm時(shí)，壓力分別為98 Pa、196 Pa、294 Pa、392 Pa、490 Pa，該小組成員匯報(bào)：“我們小組測(cè)量了不同高度水柱所對(duì)應(yīng)的壓力值，通過(guò)觀察數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)高度和水壓之間存在一定的關(guān)系，我們將高度作為自變量х，水壓作為因變量у，可以嘗試建立一個(gè)函數(shù)模型來(lái)描述它們之間的關(guān)系.”其他學(xué)生附和回答：“是的，我們可以使用線性函數(shù)來(lái)擬合這些數(shù)據(jù)，根據(jù)我們的測(cè)量結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)每增加10 cm的高度，水壓增加98 Pa.所以，我們可以設(shè)定函數(shù)模型為y=kx+b，其中k為斜率，b為截距.”此時(shí)，教師結(jié)合學(xué)生小組的數(shù)據(jù)，可以建議學(xué)生選?。?0，98）和（20，196）這兩個(gè)點(diǎn)，然后根據(jù)斜率公式，斜率k=y2-y1x2-x1=196-9820-10=9.8，即斜率k=9.8，隨之再確定截距b，可以選?。?0，98），代入函數(shù)模型，9.8×10+b=98，解方程得到b=0，這樣就得到了函數(shù)模型為y=9.8x，這個(gè)模型可以描述不同高度水柱所對(duì)應(yīng)的水壓之間的關(guān)系.為了進(jìn)一步驗(yàn)證這個(gè)模型的準(zhǔn)確性，教師可以讓學(xué)生選擇另外一個(gè)高度，比如30 cm，然后代入函數(shù)模型計(jì)算水壓，y=9.8×30=294 Pa，對(duì)比學(xué)生測(cè)量得到的結(jié)果是294 Pa，完全相同.在最后的報(bào)告中，學(xué)生們匯總了他們的觀察結(jié)果和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并給出了最終的函數(shù)模型

P=9.8 h，其中9.8是一個(gè)近似的常數(shù)，表示重力加速度.學(xué)生還進(jìn)一步討論了這個(gè)模型的應(yīng)用，例如，可以用來(lái)計(jì)算不同高度水柱所產(chǎn)生的壓力，或者預(yù)測(cè)水柱高度對(duì)應(yīng)的壓力值等.

通過(guò)這個(gè)函數(shù)建模實(shí)驗(yàn)，學(xué)生不僅可以直觀地感受到高度和水壓之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，還可以借助觀察圖表和分析數(shù)據(jù)，理解函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn).同時(shí)，也可以培養(yǎng)學(xué)生的幾何思維.學(xué)生根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，建立幾何模型，得出與事實(shí)相符的科學(xué)結(jié)論，從而解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.因此，在中職數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師可以積極探索函數(shù)建模實(shí)驗(yàn)的具體應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生對(duì)函數(shù)模型的求知欲，幫助其在課堂中鏈接生活，以函數(shù)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ推票?，打開(kāi)學(xué)生實(shí)驗(yàn)思維走向?qū)嶋H應(yīng)用的一扇窗［3］，助力其思維進(jìn)階.

綜上所述，教師在中職數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，融入思維進(jìn)階模塊，為學(xué)生提供了更加具有綜合性、深刻性和實(shí)踐性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，不僅可以在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力，還可以改善學(xué)生的慣性思維方式，鼓勵(lì)其多角度解決問(wèn)題.同時(shí)，還可以提升學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作能力，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思維的進(jìn)階，將印象機(jī)械的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化成靈活的思維方式，從而為學(xué)生未來(lái)的學(xué)習(xí)與個(gè)人職業(yè)規(guī)劃發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

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［2］ 郭耀祖.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用［J］.現(xiàn)代職業(yè)教育，2022（11）：121-123.

［3］ 周自紅.將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入中職課堂教學(xué)的研究［J］.知識(shí)文庫(kù)，2016（20）：161-162.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-09-15

作者簡(jiǎn)介：任吉峰（1981.8-），男，江蘇省南通人，本科，講師，從事中職數(shù)學(xué)教學(xué)研究.