摘 要：拋物線中的動(dòng)點(diǎn)問題，尤其是與存在性有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題，是中考的一個(gè)難點(diǎn).文章以2016年貴州省安順市的一道中考題為例，借助網(wǎng)絡(luò)畫板，從試驗(yàn)探究、思路分析、一題多解的角度來進(jìn)行深度探究.

關(guān)鍵詞：拋物線；動(dòng)點(diǎn)；平行四邊形；存在性；探究

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2023）35-0092-03

拋物線中平行四邊形的存在性問題，是中考的一個(gè)難點(diǎn)，也是熱點(diǎn)，常常以壓軸題的形式出現(xiàn).如何突破這一類試題呢？筆者以2016年安順市一道中考題為例進(jìn)行探究.

1 試題呈現(xiàn)

拋物線經(jīng)過A（-1，0），B（5，0），C0，-52三點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式.

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）若M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使A，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在， 請(qǐng)說明理由［1］.

2思路分析

第（1）（2）問略.第（3）問：①如圖1所示，AC為對(duì)角線時(shí)，取AC中點(diǎn)O′，連接M4O′，交拋物線于點(diǎn)N4；如圖2所示，若AC為邊，平移AC得到另外三種情況.過四邊形頂點(diǎn)作橫平堅(jiān)直線 （平行于坐標(biāo)軸）構(gòu)造全等三角形解決問題.

②設(shè)M（x，0），分別以AC，AM，AN為對(duì)角線，分三種情況根據(jù)平行四邊形兩組相對(duì)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)之和相等，縱坐標(biāo)之和也相等，表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)，代入拋物線解析式求解即可.

③如圖3所示，從路徑（軌跡）角度分析.假設(shè)以A，C，M，N為頂點(diǎn)的平行四邊形存在. 在x軸上任取一動(dòng)點(diǎn)M，把M看作定點(diǎn)，然后分別以AM，AC，CM為對(duì)角線作出三個(gè)平行四邊形，設(shè)第四個(gè)頂點(diǎn)分別為N1，N2，N3.若拖動(dòng)動(dòng)點(diǎn)M可以發(fā)現(xiàn)，動(dòng)點(diǎn)N1，N2，N3運(yùn)動(dòng)的路徑均為與x軸平行的直線.易得N1，N3到x軸的距離等于OC=52， 到x軸的距離為52的直線有兩條.易知，點(diǎn)N1的路徑為直線y=52，點(diǎn)N2，N3的路徑為直線y=-52.所以求點(diǎn)N的坐標(biāo)就可以轉(zhuǎn)化為由拋物線的解析式與點(diǎn)N的路徑解析式組成的方程組的解的問題.

3 一題多解

解 （1）y=12x2-2x-52.（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)是2，-32.過程略.

（3）解法1 ?存在點(diǎn)N，使A，C，M，N四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形.

①當(dāng)AC為邊時(shí)，如圖2所示，若點(diǎn)N在x軸下方.

又對(duì)稱軸為直線x=2，C0，-52，所以點(diǎn)N14，-52.當(dāng)點(diǎn)N在x軸上方時(shí)，過點(diǎn)N2作N2D⊥x軸于點(diǎn)D.

∵AC=M2N2，∠CAO=∠N2M2D，∠COA=∠N2DM2，

∴△AOC△M2DN2，∴N2D=OC=52，即N2點(diǎn)的縱坐標(biāo)為52.

∴12x2-2x-52=52，解得x=2+14或x=2-14，

∴N22+14，52，N32-14，52.

②如圖1所示，當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，由四邊形AM4CN4為平行四邊形，知CN4∥AM4， 所以點(diǎn)N4的縱坐標(biāo)為-52，∴N44，-52.

綜上所述， 符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為4，-52或2+14，52或2-14，52.

解法2 設(shè)M（x，0），NxN，yN.

①若AC為對(duì)角線，則有-1+0=x+xN，0-52=0+yN，即xN=-1-x，yN=-52.

將N-1-x，-52代入拋物線表達(dá)式，得12（-1-x）2-2（-1-x）-52=-52，

解得x=-1或-5，即xN=0或xN=4，

所以N0，-52（與C重合， 舍去）或N4，-52.

②若AN為對(duì)角線，則有-1+xN=x+0，0+yN=0-52，即xN=x+1，yN=-52.，

將Nx+1，-52代入拋物線表達(dá)式，即12（x+1）2-2（x+1）-52=-52，

解得x=-1或3，即xN=0或xN=4，

所以N0，-52（與C重合， 舍去）或N4，-52.

③若AM為對(duì)角線， 則有-1+x=xN+0，0+0=yN-52，即xN=x-1，yN=52.

將Nx-1，52代入拋物線表達(dá)式，即12（x-1）2-2（x-1）-52=52，

解得x1=3+14或x2=3-14， 即xN=2+14或xN=2-14，

所以N2+14，52或N2-14，52.

綜上所述， 符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為4，-52或2+14，52或2-14，52.

解法3 如圖4所示，在x軸上任取一點(diǎn)M，連接CM，分別過點(diǎn)A，C，M作CM，AM，AC的平行線，得平行四邊形ACMN1，四邊形CMAN2，四邊形ACN3M，分別過N1，N2，N3作x軸的垂線，垂足分別為F，G，E.過點(diǎn)M作MH⊥N2N3于點(diǎn)H.易證明N1F=N2G=N3E=OC=52.

所以N1運(yùn)動(dòng)的路徑為直線y=52，N2，N3運(yùn)動(dòng)的路徑為直線y=-52.

因?yàn)镹1，N2，N3在拋物線y=12x2-2x-52上，所以N的坐標(biāo)滿足y=52，y=12x2-2x-52或y=-52，y=12x2-2x-52，

解得x1=2+14，y1=52，x2=2-14，y2=52，x3=0，y3=-52（舍去），x4=4，y3=-52.

綜上所述， 符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為4，-52，2+14，52或2-14，52.

解法4 如圖3所示，因?yàn)锳（-1，0），C0，-52，所以A，C兩點(diǎn)間的水平距離為1，堅(jiān)直距離為52.

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），將點(diǎn)M按C→A方向平移， 得到點(diǎn)N1m-1，52，將點(diǎn)C按M→A方向平移， 得到點(diǎn)N2-m-1，-52，將點(diǎn)M按A→C方向平移， 得到點(diǎn)N3m+1，-52.

將點(diǎn)N1m-1，52，N2-m-1，-52，N3m+1，-52分別代代入拋物線的解析式y(tǒng)=12x2-2x-52得

①12（m-1）2-2（m-1）-52=52，解得m=3-14或m=14+3，

∴N12+14，52或N12-14，52.

②12（-m-1）2-2（-m-1）-52=-52，解得m=-1或m=-5，

∴N20，-52（與C重合， 舍去）或N24，-52.

③12（m+1）2-2（m+1）-52=-52，解得m=-1或m=3，

∴N30，-52（與C重合， 舍去）或N34，-52.

綜上所述， 符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為4，-52，2+14，52或2-14，52.

對(duì)于平行四邊形的存在性問題中已知兩個(gè)定點(diǎn)，先虛擬一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，圍成一個(gè)三角形， 過三角形的每一個(gè)頂點(diǎn)畫對(duì)邊的平行線，三條直線兩兩相交，就可以確定平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn).按照虛擬的第三個(gè)點(diǎn)，第四個(gè)頂點(diǎn)存在三種情況.但是第四個(gè)點(diǎn)到底有幾個(gè)，要具體問題具體分析.

已知兩個(gè)定點(diǎn)、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的情況下，可以選擇定點(diǎn)中的一個(gè)為起始點(diǎn)（如A），分別以AX（X為其他三個(gè)頂點(diǎn)）為對(duì)角線進(jìn)行討論.若有動(dòng)點(diǎn)在直線上，則設(shè)這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，用已知兩個(gè)定點(diǎn)和直線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)“平行四邊形兩組相對(duì)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)之和相等，縱坐標(biāo)之和也相等” 表示出第四個(gè)頂點(diǎn).把第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)代入滿足的函數(shù)解析式，解方程即可. 如果是三個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的問題，則不需要構(gòu)造兩個(gè)方程來解決，通過平移即可解決.這種方法不需要畫圖，不漏解，最后需檢驗(yàn)是否滿足題意.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 董紅鳳.有效解決函數(shù)中動(dòng)點(diǎn)型綜合題教學(xué)探究［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，2016（01）：25-30.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-09-15

作者簡(jiǎn)介：劉利果（1981.10-），女，河北省邢臺(tái)人，本科，中小學(xué)高級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.