摘 要：對(duì)于圓的計(jì)算題與證明題，要充分挖掘其幾何性質(zhì)，利用相似、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ)等方法求解，這樣可以將問(wèn)題簡(jiǎn)化，達(dá)到快速解題的目的.

關(guān)鍵詞：圓；直線；切線；面積；證明

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ??文章編號(hào)：1008-0333（2023）35-0029-03

中考中對(duì)圓的考查大多都是以圓與直線形（線段、射線、直線、三角形、四邊形、多邊形稱為直線形）圖形組合成復(fù)雜圖形為背景，以運(yùn)動(dòng)為載體，集代數(shù)與幾何知識(shí)于一體，滲透分類討論、轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想.常涉及垂徑定理、弦、弧，圓心角的關(guān)系、圓周角定理、切線性質(zhì)與判定、切線長(zhǎng)定理、勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，特殊四邊形性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)定義與特殊角的三角函數(shù)值等相關(guān)知識(shí).

下面結(jié)合中考真題，談?wù)勅绾卧趫A的計(jì)算題與證明題中分析條件、化繁為簡(jiǎn)、快速解題.

1 連半徑，證垂直

例1 （2020年銅仁市中考題）如圖1，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，連接AC，CE⊥AB于點(diǎn)E，D是直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠BCE=∠BCD.

（1）求證：CD是⊙O的切線;

（2）若AD=8，BECE=12，求CD的長(zhǎng).

分析 （1）如圖2，此問(wèn)屬于“連半徑，證垂直”，即連接OC，利用題設(shè)中的直角或垂直條件推導(dǎo)出半徑與直線垂直，得出∠OCD=90°即可，抓住△CBE與△ABC這對(duì)“共邊相似三角形”是關(guān)鍵.

（2）如圖2，設(shè)BC=k，AC=2k，抓住△DCB與△DAC這對(duì)“共邊相似三角形”，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

解 （1）如圖2，連接OC.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°.

∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，

又∠ECB+∠ABC=∠ABC+∠A=90°，∴∠A=∠ECB.

∵∠BCE=∠BCD，∴∠A=∠BCD.

∵OC=OA，∴∠A=∠ACO，∴∠ACO=∠BCD，

∴∠ACO+∠BCO=∠BCO+∠BCD=90°，

∴∠DCO=90°，∴CD是⊙O的切線.

（2）∵∠A=∠BCE，

∴tanA=BCAC=tan∠BCE=BECE=12，

設(shè)BC=k，則AC=2k.

∵∠D=∠D，∠A=∠BCD，∴△ACD～△CBD，

∴BCAC=CDAD=12，∴CD=12AD=12×8=4.

2 陰影部分面積

例2 （2020年黔西南州中考題）如圖3，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，D為AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為圓心作圓心角為90°的扇形DEF，點(diǎn)C恰在弧EF上，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)______.

分析 將下方的陰影部分旋轉(zhuǎn)到最上方，轉(zhuǎn)化為計(jì)算規(guī)則圖形弓形的面積.

解法1 如圖4，連接CD，作DG⊥AC于點(diǎn)G，DH⊥BC于點(diǎn)H.

∵CA=CB，∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，

∴CD平分∠BCA，∴DG=DH.

∵∠NDM=∠HDG=90°，

∴∠NDH=∠MDG，∴△DMG△DNH.

∵DC=1，AB=2，四邊形DGCH是正方形，DH=22，

∴扇形FDE的面積是90π×12360=π4，S DMCN=S DGCH=12，

∴陰影部分的面積是π4-12.

解法2 如圖4，∵∠EDF=∠CDB=90°，∴∠EDC=∠FDB=90°-∠CDF，

∴扇形EDC與扇形FDB面積相等.

∵DN=DM，DB=DC，∴△DCM△DBN，

∴陰影部分EMC與陰影部分FNB面積相等，

∴所求陰影部分面積為弓形CFB面積.

∴扇形DCB的面積是90π×12360=π4，S△BDC=12，

∴陰影部分的面積等于S弓形BFC=π4-12.

點(diǎn)評(píng) 求陰影部分面積常有以下方法：

①公式法：如果陰影部分是扇形、平行四邊形、圓等，直接用公式計(jì)算；

②和差法：將不規(guī)則陰影部分轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形求面積的和差，有時(shí)需要作輔助線進(jìn)行分割；

③等積轉(zhuǎn)化法：將圖形平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等轉(zhuǎn)化為公式法或和差法，注意利用平行線中的等底（同底）等高（同高）轉(zhuǎn)化；

④容斥原理法：陰影部分是兩個(gè)基本圖形互相重疊得到的，“組合圖形面積”=“兩個(gè)基本圖形面積之和”-“重疊圖形面積”.

3 線圓相切求半徑

例3 （2020年遵義市中考題）如圖5，拋物線y=ax2+94x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)C（0，3）與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B，M是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MP//y軸，交拋物線于點(diǎn)P.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得△QCO是等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo); 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）以M為圓心，MP為半徑作⊙M，當(dāng)⊙M與坐標(biāo)軸相切時(shí)，求出⊙M的半徑［1］.

分析 （1）把點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)C（0，3）代入y=ax2+94x+c，求出a與c的值即可得出拋物線的解析式；

（2）先假設(shè)存在△QCO為等邊三角形，再通過(guò)等邊三角形性質(zhì)進(jìn)行說(shuō)理；

（3）用變量表示出半徑PM的長(zhǎng)，再根據(jù)圓心M到x軸（圓心到直線距離）或y軸的距離等于PM（半徑）列方程求解.

解 （1） ∵拋物線y=ax2+94x+c經(jīng)過(guò)C（0，3），∴y=ax2+94x+3.

將A（-1，0）代人得a-94+3=0，解得a=-34，

∴該拋物線的解析式為y=-34x2+94x+3；

（2）如圖6，取CO中點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)E，N.若拋物線上存在點(diǎn)Q，使得△QCO是等邊三角形，則直線QD必然垂直平分CO，即E或N為所求.

若△CEO為等邊三角形，則ED=323>1=AO，故假設(shè)不成立.

若△CNO為等邊三角形，則DN=323，

∵yN=32=-34x2+94x+3，解得x=3+172或x=3-172（舍去），

∴DN=3+172≠332，故假設(shè)不成立.

綜上，拋物線上不存在點(diǎn)Q，使得△QCO為等邊三角形.

（3）令y=0，即-34x2+94x+3=0，解得x1=-1，x2=4，∴點(diǎn)B（4，0）.

設(shè)過(guò)B（4，0），C（0，3）兩點(diǎn)的直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+3，則4k+3=0，解得k=-34，∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=-34x+3.

設(shè)Mm，-34m+3，則點(diǎn)Pm，-34m2+94m+3，

∴MP=-34m+3--34m2+94m+3=34m2-3m.

如圖7，當(dāng)⊙M與x軸相切時(shí)，

若點(diǎn)M在點(diǎn)P的上方，則有34m2-3m=-34m+3，解得m=-1 或m=4（舍去），

∴⊙M的半徑為154.

如圖8，若點(diǎn)M在點(diǎn)P的下方，則有-34m2+3m=-34m+3， 解得m=1或m=4（舍去），

∴⊙M的半徑為94.

如圖9，當(dāng)⊙M與y軸相切時(shí)，若點(diǎn)P在點(diǎn)M的上方，則有-34m2+3m=m， 解得m=0（舍去）或m=83，

∴⊙M的半徑為83.

如圖10，若點(diǎn)P在點(diǎn)M的下方，則有34m2-3m=m，解得m=0（舍去）或m=163，

∴⊙M的半徑為163.

綜上所述， 當(dāng)⊙M與坐標(biāo)軸相切時(shí)，⊙M的半徑為154，或94，或83，或163.

對(duì)于圓這類綜合性較強(qiáng)的題目，多采用由因索果以及執(zhí)果索因相結(jié)合的方法進(jìn)行分析，以便達(dá)到條件與結(jié)論的有效溝通.同時(shí)又要善于挖掘題目中的隱含條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到基本圖形之中，再用相關(guān)的知識(shí)與方法進(jìn)行解決，這樣可以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、快速解題的效果.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 沈鈺斌.“線圓”相融成題，解析反思探究：以一道拋物線綜合題為例［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（35）：85-86.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-09-15

作者簡(jiǎn)介：劉琦（1995.8-），女，云南省昆明人，本科，中學(xué)二級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.