張 江 偉

(四川大學(xué)電氣工程學(xué)院 四川 成都 610065)

0 引 言

由于無(wú)人機(jī)具有成本低、降低人員傷亡和易于操作等特點(diǎn)[1],近年來(lái)受到越來(lái)越多的關(guān)注,無(wú)論是在軍事領(lǐng)域還是民用領(lǐng)域都有其廣泛的用途。在軍事領(lǐng)域,無(wú)人機(jī)可以用來(lái)進(jìn)行戰(zhàn)前的監(jiān)視、偵察、預(yù)警和干擾敵方通信系統(tǒng)等任務(wù);在民用領(lǐng)域,可用于地質(zhì)勘探、農(nóng)藥噴灑和觀測(cè)天氣等任務(wù)[2-3]。但是對(duì)于一些特定的任務(wù)和復(fù)雜的環(huán)境,單個(gè)無(wú)人機(jī)可能無(wú)法勝任[4]。因此多無(wú)人機(jī)編隊(duì)協(xié)同飛行引起了學(xué)者們廣泛的研究興趣。相比單無(wú)人機(jī),多無(wú)人機(jī)編隊(duì)有更高的生存率、更大的執(zhí)行任務(wù)效率、更好的適應(yīng)環(huán)境能力和更少的時(shí)間消耗[5]。但是,當(dāng)環(huán)境變化或者任務(wù)改變時(shí),就需要變換隊(duì)形,即編隊(duì)重構(gòu),所以研究一種安全有效的編隊(duì)重構(gòu)最優(yōu)控制方法是很重要的[6-7]。

多無(wú)人機(jī)編隊(duì)重構(gòu)問(wèn)題,可以被描述為給定一組有初始位置的無(wú)人機(jī)、期望的位置和一系列約束,找到每個(gè)無(wú)人機(jī)的最優(yōu)控制輸入使得多無(wú)人機(jī)從初始位置到達(dá)期望位置,并且滿足所有約束[8]。目前國(guó)內(nèi)外對(duì)于多無(wú)人機(jī)編隊(duì)重構(gòu)問(wèn)題已經(jīng)有了很多研究成果。文獻(xiàn)[9]首先提出了編隊(duì)重構(gòu)的問(wèn)題。文獻(xiàn)[10]提出了一種結(jié)合控制參數(shù)化與時(shí)間離散化(CPTD)和遺傳算法(GA)的混合算法,并通過(guò)改進(jìn)遺傳算子來(lái)尋優(yōu),有效地解決了編隊(duì)重構(gòu)最優(yōu)時(shí)間控制問(wèn)題,但是這種混合算法只表明了在二維空間的有效性。文獻(xiàn)[11]把多無(wú)人戰(zhàn)斗機(jī)編隊(duì)重構(gòu)看作一個(gè)復(fù)雜的全局最優(yōu)控制問(wèn)題,提出了一種變異策略改進(jìn)粒子群算法的方法。文獻(xiàn)[12]對(duì)多無(wú)人機(jī)編隊(duì)重構(gòu)介紹了一種離散的控制器,該控制器結(jié)合了CPTD方法和鴿啟發(fā)式(PIO)最優(yōu)方法,目的是為無(wú)人機(jī)找到最優(yōu)的控制輸入。文獻(xiàn)[13]采用了混合粒子群算法和遺傳算法相結(jié)合的方法,利用了粒子群算法和遺傳算法的優(yōu)勢(shì)實(shí)現(xiàn)了對(duì)多無(wú)人機(jī)編隊(duì)重構(gòu)過(guò)程中參數(shù)最優(yōu)問(wèn)題的求解。文獻(xiàn)[14]分析了無(wú)人機(jī)編隊(duì)重構(gòu)任務(wù)耦合、避免碰撞和動(dòng)態(tài)拓?fù)涞奶攸c(diǎn),提出基于模型預(yù)測(cè)控制方法對(duì)編隊(duì)重構(gòu)這一受約束優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[15]基于差分進(jìn)化(Differential Evolution,DE)算法,提出了一種新穎的滾動(dòng)時(shí)域控制(Receding Horizon Control,RHC)的控制方法,通過(guò)在一系列滾動(dòng)時(shí)域上將無(wú)人機(jī)編隊(duì)重構(gòu)全局最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多個(gè)局部在線最優(yōu)問(wèn)題。文獻(xiàn)[16]對(duì)無(wú)人機(jī)編隊(duì)重構(gòu)防碰撞進(jìn)行了分析,采用一種分布式模型預(yù)測(cè)控制(Distributed Model Predictive Control,DMPC)算法,將編隊(duì)重構(gòu)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在線滾動(dòng)優(yōu)化問(wèn)題,又采用了改進(jìn)的微分進(jìn)化方法對(duì)結(jié)合碰撞約束建立的重構(gòu)代價(jià)函數(shù)進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[17]提出了一種分布式魯棒反饋控制方法用于編隊(duì)和重構(gòu)控制。文獻(xiàn)[18]設(shè)計(jì)了一種反推PID(backstepping PID)控制器,對(duì)編隊(duì)重組問(wèn)題中的非線性和耦合性有很好的保證。文獻(xiàn)[19]提出了一種快速搜索隨機(jī)樹(shù)的方法來(lái)解決無(wú)人機(jī)編隊(duì)重構(gòu)問(wèn)題,采用多余節(jié)點(diǎn)去除和過(guò)度航跡修正等方法提高了規(guī)劃航跡的可跟蹤性。

目前現(xiàn)有解決多無(wú)人機(jī)編隊(duì)重構(gòu)問(wèn)題的方法或多或少有些不足。本文以多無(wú)人機(jī)編隊(duì)重構(gòu)問(wèn)題為研究對(duì)象,基于領(lǐng)航-跟隨策略提出一種改進(jìn)粒子群算法和控制參數(shù)化的方法。首先在三維空間建立了無(wú)人機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型,同時(shí)考慮了編隊(duì)重構(gòu)的終端狀態(tài)約束、無(wú)人機(jī)之間的防碰撞約束、通信距離約束、控制輸入約束,并將完成編隊(duì)重構(gòu)的時(shí)間作為優(yōu)化目標(biāo)。本文方法主要是為了獲得更好的控制輸入,更加精確地滿足編隊(duì)重構(gòu)后的隊(duì)形,其中改進(jìn)的粒子群算法是用來(lái)得到一個(gè)較好的控制輸入,此時(shí)重構(gòu)后的隊(duì)形與期望隊(duì)形有點(diǎn)差距,之后利用控制參數(shù)化方法把改進(jìn)粒子群算法得到的控制輸入作為初始控制輸入,此時(shí)能得到一個(gè)更優(yōu)的控制輸入,重構(gòu)后的隊(duì)形與期望一致。

1 問(wèn)題提出

1.1 無(wú)人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型

假設(shè)在編隊(duì)中有N架無(wú)人機(jī),并且無(wú)人機(jī)在無(wú)側(cè)滑的情況下飛行,發(fā)動(dòng)機(jī)推力沿飛行速度方向,三維質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型下的無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)方程為:

式中:i=1,2,…,N;xi、yi、zi表示無(wú)人機(jī)的位置坐標(biāo);vi為無(wú)人機(jī)的飛行速度;γi、χi為無(wú)人機(jī)的俯仰角和航向角;g為重力加速度;Ti、ni、φi分別表示無(wú)人機(jī)的推力、負(fù)載因數(shù)和滾轉(zhuǎn)角;Wi、Di為無(wú)人機(jī)的重力和阻力。

對(duì)于任意一架無(wú)人機(jī)假設(shè)它的狀態(tài)變量為xi(t)=[vi(t),γi(t),χi(t),xi(t),yi(t),zi(t)],控制變量為ui(t)=[Ti(t),ni(t),φi(t)],用狀態(tài)空間模型可表示為:

xi=x0

(3)

N架編隊(duì)重構(gòu)的無(wú)人機(jī),假設(shè)x=[x1,x2,…,xN],u=[u1,u2,…,uN],f=[f1,f2,…,fN]。

1.2 無(wú)人機(jī)編隊(duì)重構(gòu)目標(biāo)函數(shù)和梯度

假設(shè)無(wú)人機(jī)編隊(duì)重構(gòu)的初始時(shí)間為t0=0,終端時(shí)間t=T,T不是一個(gè)給定的值而是需要優(yōu)化的參數(shù)。所以對(duì)給定的式(2)和式(3),本文考慮了一個(gè)最優(yōu)時(shí)間編隊(duì)重構(gòu)控制問(wèn)題。目標(biāo)函數(shù)可以表示為:

控制輸入u(t)和終端時(shí)間T有如下約束:

umin≤u(t)≤umax?t∈[0,T],T>0

(6)

自由終端約束為:

[xi(T)-xl(T)-xi,m]2+[yi(T)-yl(T)-

yi,m]2+[zi(T)-zl(T)-zi,m]2=0

?i≠mi∈{1,2,…,N}

(7)

式中:m表示選取第m架無(wú)人機(jī)作為領(lǐng)航機(jī)(中心飛機(jī)),m∈{1,2,…,N};[xi,m,yi,m,zi,m]為終端時(shí)刻T第i架無(wú)人機(jī)相對(duì)于中心無(wú)人機(jī)的期望坐標(biāo);自由終端約束是為了保證達(dá)到期望的重構(gòu)隊(duì)形。

定義任意兩個(gè)無(wú)人機(jī)之間的距離為:

di,j(xi(t),xj(t))=

?i≠ji,j∈{1,2,…,N}

(8)

為了防止編隊(duì)中的無(wú)人機(jī)發(fā)生碰撞,任意兩架無(wú)人機(jī)之間的距離必須大于安全防撞距離Dsafe,即:

di,j(xi(t),xj(t))≥Dsafe

?t∈[0,T],?i≠ji,j∈{1,2,…,N}

(9)

為了能實(shí)現(xiàn)無(wú)人機(jī)之間的實(shí)時(shí)通信,任意兩架無(wú)人機(jī)之間的距離必須小于通信保障距離Dcomm,即:

di,j(xi(t),xj(t))≤Dcomm

?t∈[0,T],?i≠ji,j∈{1,2,…,N}

(10)

由上所述,多無(wú)人機(jī)編隊(duì)重構(gòu)最優(yōu)時(shí)間控制問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可以描述為:在式(2)和式(3)下,滿足式(6)、式(7)、式(9)和式(10),尋找一個(gè)連續(xù)的控制輸入u(t)和終端時(shí)間T使得式(5)成立?？蓪⒕庩?duì)重構(gòu)最優(yōu)時(shí)間控制問(wèn)題表示成如下數(shù)學(xué)問(wèn)題:

2 編隊(duì)重構(gòu)最優(yōu)時(shí)間控制問(wèn)題的求解

這一節(jié)將介紹基于改進(jìn)粒子群算法和控制參數(shù)化方法求解多無(wú)人機(jī)編隊(duì)重構(gòu)最優(yōu)時(shí)間控制問(wèn)題。首先對(duì)粒子群算法做出改進(jìn),通過(guò)改進(jìn)后的粒子群算法找到一個(gè)較好的編隊(duì)重構(gòu)控制輸入,然后將其作為控制參數(shù)化方法的初始控制輸入。下面分別詳細(xì)地介紹控制參數(shù)化方法、改進(jìn)粒子群算法。

2.1 控制參數(shù)化方法

(1) Time Scaling方法。由于終端時(shí)間T是未知的,為了簡(jiǎn)化問(wèn)題,在這里采用了一種Time Scaling方法將時(shí)域從[0,T]變換到了[0,1]。變換方法如下:

(12)

所以狀態(tài)空間模型可變換到如下:

(2) 控制參數(shù)化。在時(shí)域[0,1]上,將控制變量等分為p段,控制輸入函數(shù)ui,j(s)(表示ui(s)的第j個(gè)輸入,j=1,2,3)可以近似為一個(gè)分段常量函數(shù):

式中:sk=k/p,k=0,1,…,p。并且:

控制參數(shù)化的過(guò)程可由圖1表示。

圖1 控制參數(shù)化

(3) 連續(xù)狀態(tài)不等式約束的轉(zhuǎn)化。在編隊(duì)重組中的連續(xù)狀態(tài)不等式約束,由于它們包含無(wú)窮多個(gè)約束條件,所以很難處理。采用一種約束專錄結(jié)合局部光滑技術(shù)可以很好地處理這些約束[19-20]。首先,可以將連續(xù)狀態(tài)不等式約束等價(jià)為:

(16)

連續(xù)狀態(tài)不等式約束li(x(s))有同樣的等價(jià)形式,這里用gi(x(s))為例。然而,式中的min{gi(x(s)),0}是一個(gè)不光滑的函數(shù),因此不可微,所以對(duì)于每一個(gè)連續(xù)狀態(tài)不等式約束都用光滑函數(shù)Li,ε(gi(x(s)))來(lái)近似,即:

(17)

式中:ε>0是一個(gè)可調(diào)常數(shù)。設(shè):

(18)

經(jīng)過(guò)上面的處理約束雖然可微了,但是對(duì)于式(18)中的約束規(guī)范(constraint qualifications)不能滿足,因此引入下面的近似:

gi,ε,η(x(s))=-η+gi,ε(x(s))≤0

(19)

式中:η>0。

問(wèn)題中的約束都轉(zhuǎn)化成了標(biāo)準(zhǔn)的形式,將轉(zhuǎn)化后的問(wèn)題記為Pε,η,現(xiàn)在給出一種基于梯度的算法來(lái)解Pε,η。

第三步:若第二步滿足跳轉(zhuǎn)至第五步,否則轉(zhuǎn)至第四步。

第四步:設(shè)η=η/2,轉(zhuǎn)至第一步。

第五步:設(shè)ε=ε/10,η=η/10,轉(zhuǎn)至第一步。

當(dāng)ε≤εmin時(shí),算法終止。

下面給出目標(biāo)函數(shù)和約束的梯度計(jì)算公式。

定理1目標(biāo)函數(shù)梯度公式:

式中:λ0是下列協(xié)態(tài)方程的解。

λ0(1)=0

(23)

定理2重構(gòu)隊(duì)形終端等式約束梯度公式:

式中:λi是下列協(xié)態(tài)方程的解。

定理3目標(biāo)函數(shù)梯度公式:

(29)

式中:λi是下列協(xié)態(tài)方程的解。

(30)

上述定理的證明類似文獻(xiàn)[20]中的定理5.2.1,在這里略去了定理的證明。綜合而言,編隊(duì)重構(gòu)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了一個(gè)最優(yōu)參數(shù)選擇問(wèn)題,并且還是一個(gè)非線性規(guī)劃問(wèn)題,因此根據(jù)定理1、定理2和定理3可以采用如序列二次規(guī)劃(SQP)逼近的方法來(lái)解。

2.2 改進(jìn)粒子群算法

(32)

粒子通過(guò)不斷地更新位置和速度以及反復(fù)迭代,直到滿足求解要求或者達(dá)到最大迭代次數(shù)。

(2) 改進(jìn)粒子群算法。在粒子群算法中,慣性權(quán)重系數(shù)w對(duì)求解性能有很大影響,w取值過(guò)大時(shí),算法的全局搜索能力比較強(qiáng),可以有效跳出局部解;w取值過(guò)小時(shí),局部搜索能力較強(qiáng),算法的求解精度較高,易于陷入局部最優(yōu)。經(jīng)典粒子群算法慣性權(quán)重是一個(gè)常值,無(wú)法滿足前期全局搜索和后期的局部搜索的動(dòng)態(tài)要求[21]。因此,本文采用了一種慣性權(quán)重可變化的改進(jìn)粒子群算法。

(34)

式中:wmax、wmin分別為慣性權(quán)重的最大值和最小值;kmax為最大迭代次數(shù);λ1、λ2分別為算法前期后期所占的比例,0≤λ1<λ2≤1。

在用粒子群算法求解編隊(duì)重構(gòu)最優(yōu)時(shí)間控制問(wèn)題時(shí),采用的是罰函數(shù)法來(lái)處理約束。

2.3 改進(jìn)粒子群算法和控制參數(shù)化求解過(guò)程

通過(guò)上面的描述,基于粒子群算法和控制參數(shù)化方法的多無(wú)人機(jī)編隊(duì)重構(gòu)問(wèn)題可以分為兩個(gè)階段:改進(jìn)粒子群算法求解階段和控制參數(shù)化方法求解階段。圖2給出了求解流程。

圖2 求解算法流程

上面的求解過(guò)程中,改進(jìn)粒子群算法求解階段是為了給控制參數(shù)化方法求解階段提供一個(gè)好的起始點(diǎn)。因?yàn)楦倪M(jìn)粒子群算法求出來(lái)的控制輸入不能精確地滿足重構(gòu)后的隊(duì)形要求,且控制參數(shù)化方法是一種對(duì)初值敏感的方法,所以將它們結(jié)合起來(lái)可以很好地避免它們的不足。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

本文在MATLAB 2016b中進(jìn)行仿真,計(jì)算機(jī)的配置為:Intel酷睿i7- 9750H處理器,主頻2.60 GHz,內(nèi)存16 GB,64位Windows 10操作系統(tǒng)。本文的仿真實(shí)驗(yàn)完成了與經(jīng)典粒子群算法和改進(jìn)粒子群算法的對(duì)比分析,驗(yàn)證了本文方法的有效性。

仿真中的參數(shù)設(shè)置如下:N=5,表示有五架無(wú)人機(jī)參與編隊(duì)重構(gòu);安全距離Dsafe=10 m,通信距離D{comm}=200 m;控制參數(shù)化等分的段數(shù)p=10;選取的粒子數(shù)n=50;迭代的最大次數(shù)kmax=200;學(xué)習(xí)因子c1=c2=2.01;λ1=0.1、λ2=0.3。假設(shè)期望的重構(gòu)隊(duì)形為V字形。

圖3、圖4和圖5分別為經(jīng)典粒子群算法、改進(jìn)粒子群算法、基于粒子群算法和控制參數(shù)化方法的多無(wú)人機(jī)編隊(duì)重構(gòu)過(guò)程的三維軌跡,其中:“o”表示無(wú)人機(jī)的起始位置;“*”表示終端位置?？梢钥吹奖疚姆椒芎芎玫赝瓿芍貥?gòu)隊(duì)形,改進(jìn)粒子群算法次之,經(jīng)典粒子群算法不能完成期望隊(duì)形重構(gòu)。從三種方法完成編隊(duì)重構(gòu)的時(shí)間來(lái)看,本文方法更有效率,其中經(jīng)典粒子群算法3.754 s,改進(jìn)粒子群算法4.756 s,基于改進(jìn)粒子群算法和控制參數(shù)化方法3.577 7 s。

圖3 經(jīng)典粒子群算法編隊(duì)重構(gòu)軌跡

圖4 改進(jìn)粒子群算法編隊(duì)重構(gòu)軌跡

圖5 基于粒子群算法和控制參數(shù)化方法的編隊(duì)重構(gòu)軌跡

圖6、圖7和圖8分別是經(jīng)典粒子群算法、改進(jìn)粒子群算法、基于粒子群算法和控制參數(shù)化方法的水平軌跡?？梢钥闯霰疚姆椒ㄔ谒椒较蚰芎芎玫赝瓿蒝字形重構(gòu),而且在垂直方向能保證所有無(wú)人機(jī)在同一平面;相比較而言,改進(jìn)粒子群算法基本完成V字形和大部分無(wú)人機(jī)在同一平面;然而經(jīng)典粒子群算法在隊(duì)形和保證無(wú)人機(jī)在同一平面上都無(wú)法滿足。

(a) XY平面軌跡 (b) Z軸方向軌跡圖6 經(jīng)典粒子群算法水平軌跡

(a) XY平面軌跡 (b) Z軸方向軌跡圖7 改進(jìn)粒子群算法水平軌跡

(a) XY平面軌跡 (b) Z軸方向軌跡圖8 基于粒子群算法和控制參數(shù)化方法水平軌跡

圖9、圖10和圖11分別是三種方法的多無(wú)人機(jī)編隊(duì)重構(gòu)過(guò)程中任意兩個(gè)無(wú)人機(jī)之間的距離?？梢钥闯?三種方法都能很好地滿足約束,可以實(shí)現(xiàn)避免碰撞和保障通信。

圖9 經(jīng)典粒子群算法的任意兩個(gè)無(wú)人機(jī)之間的距離

圖10 改進(jìn)粒子群算法的任意兩個(gè)無(wú)人機(jī)之間的距離

圖11 基于粒子群算法和控制參數(shù)化方法的 任意兩個(gè)無(wú)人機(jī)之間的距離

4 結(jié) 語(yǔ)

本文針對(duì)多無(wú)人機(jī)編隊(duì)重構(gòu)最優(yōu)控制問(wèn)題,給出無(wú)人機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型,考慮了無(wú)人機(jī)防碰撞約束和保證通信約束,提出一種基于粒子群算法和控制參數(shù)化的方法。通過(guò)對(duì)經(jīng)典粒子群算法中的慣性權(quán)重動(dòng)態(tài)的變化,改變粒子群算法前期和后期的搜索能力,提高求解的精度。利用控制參數(shù)化方法對(duì)難以處理的連續(xù)狀態(tài)不等式約束進(jìn)行轉(zhuǎn)化,其中用到了約束轉(zhuǎn)錄結(jié)合局部光滑技術(shù),使得連續(xù)狀態(tài)不等式約束成為易于處理的標(biāo)準(zhǔn)約束形式。本文方法將改進(jìn)粒子群算法求得的最優(yōu)解作為控制參數(shù)化方法的初始值,從而避免了粒子群算法無(wú)法精確完成編隊(duì)重構(gòu)和控制參數(shù)化方法對(duì)初值敏感的缺點(diǎn)。仿真結(jié)果表明:本文方法能夠很好地解決編隊(duì)重構(gòu)最優(yōu)時(shí)間控制問(wèn)題,與其他編隊(duì)重構(gòu)算法相比,該算法具有較高的求解精度和效率。