甘娥忠，劉 焱，王海榮，王承光

（四川航天系統(tǒng)工程研究所，四川 成都 610100）

0 引 言

隨著裝備復(fù)雜程度日益增加，用戶對(duì)通用質(zhì)量特性要求也逐漸增多，各種指標(biāo)之間存在不協(xié)調(diào)的情況時(shí)有發(fā)生。保障資源指標(biāo)也面臨相同問題，在進(jìn)行保障資源指標(biāo)論證時(shí)，指標(biāo)制定過多、過少、過高或過低都會(huì)導(dǎo)致裝備戰(zhàn)斗力的喪失或保障資源的浪費(fèi)。為了保證整個(gè)研制過程及保障過程按優(yōu)化方向發(fā)展，需在裝備論證階段對(duì)保障資源指標(biāo)進(jìn)行擇優(yōu)和權(quán)衡。

雖然指標(biāo)論證對(duì)綜合權(quán)衡具有重要需求，但由于數(shù)據(jù)缺失及權(quán)衡方法的局限性，導(dǎo)致綜合權(quán)衡得出的指標(biāo)難以有效影響指標(biāo)論證，造成目前裝備的保障資源指標(biāo)論證基本上依靠參考同類型產(chǎn)品的局面。

2009 年GJB 1909A［1］提出了用綜合權(quán)衡的方法確定保障資源指標(biāo)，給出了飛機(jī)、艦船等裝備的備件利用率和備件滿足率的定義及計(jì)算公式，其中備件利用率可以從經(jīng)濟(jì)效率的角度來衡量備件是否“物盡其用”，而備件滿足率則可以從軍事效益角度來衡量備件供應(yīng)是否到位，進(jìn)而評(píng)價(jià)戰(zhàn)備完好性，備件利用率和備件滿足率這一對(duì)參數(shù)有效地支撐了相關(guān)裝備的指標(biāo)論證。但針對(duì)備件滿足率與備件利用率的相互制約特性，如何采取綜合權(quán)衡的方法確定出科學(xué)合理的結(jié)果，成為工程實(shí)踐的難題。

2015 年，應(yīng)新雅等［2］結(jié)合隨艦備件配置問題，建立了備件利用率的概率模型，揭示了備件利用率的內(nèi)涵和實(shí)際工程意義，在此基礎(chǔ)上，建立以系統(tǒng)備件滿足率為約束、備件利用率為優(yōu)化目標(biāo)的配置方案優(yōu)化模型；2016 年，李華等［3］針對(duì)保障概率這個(gè)目標(biāo)優(yōu)化問題，提出將備件利用率也作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，提出了備件利用率的評(píng)估方法；2022 年，王俊龍等［4］建立了通用件的備件滿足率和備件利用率評(píng)估模型，通過算例分析了常用備件評(píng)估指標(biāo)備件滿足率和備件利用率之間的關(guān)系。上述幾篇文章對(duì)備件利用率和備件滿足率均開展了理論分析，但對(duì)綜合權(quán)衡問題都是淺嘗輒止，未介紹具體方法。如何確定合理的指標(biāo)，既保證裝備維修的需要又滿足經(jīng)濟(jì)性原則，是本文研究的主要目標(biāo)。

本文以現(xiàn)場(chǎng)可更換單元（line replaceable unit，LRU）的備件需求量預(yù)測(cè)模型為基礎(chǔ)，通過理論分析和推導(dǎo)，提出典型條件下的備件滿足率和備件利用率權(quán)衡模型，為基于備件需求量預(yù)測(cè)的指標(biāo)權(quán)衡模型提供了一套快速簡(jiǎn)單且實(shí)用的理論方法。

1 模型假設(shè)

為了明確問題，特限定模型的適用范圍，做出如下假設(shè)：① 考慮LRU種類單一的系統(tǒng)；② 考慮初始備件配置；③ LRU 分類為關(guān)鍵件、重要件及一般件；④ LRU 失效立即進(jìn)行備件更換；⑤ 備件失效概率服從特定分布；⑥ 不考慮備件更換的時(shí)間及等待時(shí)間；⑦ 不考慮備件的失效和退化；⑧ 不考慮備件空間的約束。

2 備件利用率與備件滿足率

在實(shí)際備件配置過程中，根據(jù)備件需求和配置情況的組合，備件可以劃分為4 種類型，包括：需求且已配置（記為TP）、無需求而配置（記為FP）、需求而未配置（記為FN）及無需求且未配置（記為TN）。令TP、FP、FN、TN分別代表這4 種類型備件對(duì)應(yīng)的個(gè)數(shù)，顯然TP+FP=配置的備件數(shù)量，TP+FN=需求的備件數(shù)量［2］。分類結(jié)果可以借用機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域的混淆矩陣方式進(jìn)行呈現(xiàn)，見表1。

表1 備件分類混淆矩陣Tab.1 Spare parts classification confusion matrix

參考GJB 1909A—2009《裝備可靠性維修性保障性要求論證》，備件利用率（標(biāo)記為P）的定義為“實(shí)際用到的備件數(shù)量和配置的備件數(shù)量之比”，即

備件滿足率（標(biāo)記為R）的定義為“能提供的備件數(shù)量和需要的備件數(shù)量之比”，得出

考慮備件需求量和備件配置量是兩個(gè)互不相關(guān)的離散型隨機(jī)變量，可以將備件需求量標(biāo)記為隨機(jī)變量i，備件配置量標(biāo)記為隨機(jī)變量j，有i，j∈N。根據(jù)式（1）和（2）可知，P和R是和備件需求量i及備件配置量j相關(guān)的隨機(jī)函數(shù)。我們定義Pij為備件需求量為i、備件配置量為j時(shí)的備件利用率，同理Rij為備件需求量為i、備件配置量為j時(shí)的備件滿足率，結(jié)合表1提供的混淆矩陣進(jìn)行分析，可得分段函數(shù)［5］

可以看出Pij≤1、Rij≤1，且當(dāng)i=j時(shí)Pij=Rij=1。為了方便矩陣計(jì)算，根據(jù)式（3）和（4），備件利用率與備件滿足率的隨機(jī)函數(shù)可以用高階混淆矩陣的方式來表示，見表2和表3。

表2 備件利用率的高階混淆矩陣PTab.2 High-order confusion matrix P of spare parts utilization rate

表3 備件滿足率的高階混淆矩陣RTab.3 High-order confusion matrix R of spare parts satisfaction rate

3 備件需求量預(yù)測(cè)

備件需求量是一個(gè)隨機(jī)變量，且與裝備的任務(wù)時(shí)間、使用強(qiáng)度、使用環(huán)境、裝備中同種類型可更換單元數(shù)量等因素有密切關(guān)系，因此備件需求量預(yù)測(cè)的研究成果也異常豐富。

綜合來看，備件需求量的預(yù)測(cè)理論大致可以分為3 類［6］：第一類是以時(shí)間序列為基礎(chǔ)進(jìn)行的預(yù)測(cè)，主要用到的方法包括指數(shù)平滑法、馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)模型［7］等；第二類是以機(jī)器學(xué)習(xí)理論為基礎(chǔ)進(jìn)行的預(yù)測(cè)，包括大量的支持向量機(jī)回歸預(yù)測(cè)［8］、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［9］等人工智能算法；第三類則是以可靠度為基礎(chǔ)進(jìn)行預(yù)測(cè)，當(dāng)制定推薦配置備件清單（recommended spare parts list，RSPL）或歷史保障數(shù)據(jù)不足時(shí)，常常會(huì)用到該方法。

為了便于理解，本文以第三種方法為例，假設(shè)失效的單元都可以即時(shí)更換，此時(shí)，備件需求量即等于任務(wù)時(shí)間內(nèi)失效單元個(gè)數(shù)，而可更換單元的失效可以借助泊松分布來計(jì)算［10］。更一般地，假設(shè)裝備中有某同種類型單元N個(gè)，且各單元服從指數(shù)分布，失效率均為λ，時(shí)間間隔為t，根據(jù)平均失效率的定義，可知

式中：ΔN表示時(shí)間t內(nèi)的失效個(gè)數(shù)的期望，帶入泊松分布公式可以計(jì)算出在t時(shí)間內(nèi)發(fā)生k次失效的概率為

4 綜合權(quán)衡方法

按照LRU 對(duì)整個(gè)裝備功能的影響程度，LRU 可以分為關(guān)鍵件、重要件和一般件3種。關(guān)鍵性越高，表明其對(duì)裝備系統(tǒng)的影響越大，該類LRU對(duì)備件的需求也越大。因此，關(guān)鍵件，通常考慮其軍事效益，需要將備件滿足率指標(biāo)作為硬性指標(biāo)；一般件，其失效不會(huì)對(duì)人員安全和裝備任務(wù)的執(zhí)行產(chǎn)生很大影響，為了考慮其經(jīng)濟(jì)效益，需要將備件利用率指標(biāo)作為主要參考指標(biāo)；重要件，則需要綜合權(quán)衡效果和經(jīng)濟(jì)兩種因素，既保證裝備維修的需要，又滿足經(jīng)濟(jì)性原則［11］，這也是綜合權(quán)衡的主要研究對(duì)象。

利用式（6）或其他預(yù)測(cè)模型，可以得到LRU 備件需求量的概率分布p(k)，再結(jié)合備件利用率和備件滿足率的高階混合矩陣P和R，可以算出備件配置量為j條件下的備件利用率期望Pj與備件滿足率期望Rj分別為

式中：K為t時(shí)間內(nèi)單元失效個(gè)數(shù)的極大值。

Pj和Rj是關(guān)于備件配置量j的隨機(jī)向量。為了直觀地顯示備件利用率與備件滿足率的制約關(guān)系，可以引入機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域的“P-R曲線”［12］的概念，利用不同備件配置量條件下的Pj和Rj進(jìn)行描點(diǎn)，以備件滿足率R為橫坐標(biāo)、備件利用率P為縱坐標(biāo)作圖，即得到了備件利用率-備件滿足率曲線，簡(jiǎn)稱“P-R曲線”，“P-R曲線”的一般示意圖如圖1 所示。由圖1 可知，“P-R曲線”為單調(diào)減函數(shù)，且在極限條件下，當(dāng)備件滿足率為0 時(shí)，備件利用率為1；當(dāng)備件滿足率為1 時(shí)，備件利用率為0。

圖1 “P-R曲線”示意圖Fig.1 Diagram of “P-R curve”

對(duì)于關(guān)鍵件和一般件的指標(biāo)權(quán)衡，處理非常簡(jiǎn)單，直接利用“P-R曲線”的單調(diào)性，只需考慮在最小滿足備件滿足率或備件利用率的情況下，即可確定出對(duì)應(yīng)最大的備件利用率和備件滿足率。

本文針對(duì)重要件，借鑒機(jī)器學(xué)習(xí)方法中的性能度量理論［13-14］，選出3種綜合度量方法，對(duì)備件利用率和備件滿足率的指標(biāo)進(jìn)行綜合權(quán)衡，確定最合適的保障資源指標(biāo)。

4.1 “平衡點(diǎn)”法

“平衡點(diǎn)”（break-even point，BEP）顧名思義是“備件利用率=備件滿足率”時(shí)的取值，可以進(jìn)行備件利用率和備件滿足率同等重要條件下的初步權(quán)衡，根據(jù)圖1，可以通過插值的方法很直觀地計(jì)算出實(shí)際案例中的BEP，具體示意圖如圖2所示。

圖2 BEP及最優(yōu)指標(biāo)示意圖Fig.2 Diagram of BEP and the optimal indicators

考慮到在平衡點(diǎn)處備件配置量可能不為整數(shù)，從實(shí)際出發(fā)，可以將平衡點(diǎn)處備件配置量相鄰的備件配置量作為備選方案，再根據(jù)備件利用率和備件滿足率的重視程度，選擇左偏或右偏。

另外，“平衡點(diǎn)”法主要目的不是用來做指標(biāo)的綜合權(quán)衡，而是用來對(duì)不同裝備之間的可保障性水平進(jìn)行比較，BEP越大說明裝備的可保障性越好。

4.2 F1度量

和平衡點(diǎn)法的感性判斷不同，F(xiàn)1度量借用調(diào)和平均的概念，對(duì)“P-R曲線”上的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行量化度量，F(xiàn)1度量計(jì)算式為

根據(jù)F1函數(shù)可以計(jì)算出F1最大值，此時(shí)的j則為最佳的備件配置量，而Pj和Rj即為最合適的備件利用率和備件滿足率指標(biāo)，F(xiàn)1度量提供了兩個(gè)及兩個(gè)以上矛盾參數(shù)同等重要條件下的度量方法。

4.3 Fβ度量

Fβ度量［15］是F1度量的一般形式。對(duì)于備件利用率和備件滿足率有明顯的偏好，但又達(dá)不到關(guān)鍵件或一般件的程度時(shí)，可以通過Fβ度量進(jìn)行權(quán)衡，計(jì)算式為

隨著對(duì)兩個(gè)指標(biāo)的重視程度更加細(xì)化，可以形成高階代價(jià)矩陣［14］，對(duì)不同指標(biāo)下的代價(jià)進(jìn)行期望計(jì)算，得到更精確的衡量結(jié)果，本文對(duì)此不做詳細(xì)演算。

4.4 適用情形

上述各種方法提供了綜合權(quán)衡的工程化思路，不同方法適用的情形根據(jù)備件的重視程度各不相同，因此得到適用情形分類表見表4。

表4 不同權(quán)衡方法適用情形分類表Tab.4 Classification of different trade-off methods applicable to cases

5 案例分析

5.1 模型求解

假設(shè)某論證案例［10］：某雷達(dá)裝備具有同型可更換單元5個(gè)，可更換單元的失效率λ為10-4次/h，在2年保障時(shí)間內(nèi)，每年累計(jì)工作時(shí)間5 000 h，若可更換單元的部分失效不會(huì)導(dǎo)致裝備性能的完全消失，如何確定該型可更換單元保障資源指標(biāo)。

考慮到該可更換單元的部分失效僅會(huì)導(dǎo)致裝備性能的部分下降，則該可更換單元可以認(rèn)定為重要件。假設(shè)保障期內(nèi)備件的失效和退化忽略不計(jì)，考慮到可更換單元的壽命分布服從指數(shù)分布，在壽命周期內(nèi)的失效率為常數(shù)，可更換單元在單位時(shí)間內(nèi)失效的個(gè)數(shù)服從泊松分布，可以算出規(guī)定時(shí)間內(nèi)可更換單元的失效概率為

式中：N=5 表示裝備中同型可更換單元的個(gè)數(shù)；λ=10-4次/h 表示可更換單元的失效率；t=2×5 000 h表示裝備使用時(shí)間；k表示可更換單元失效個(gè)數(shù)。代入式（11）計(jì)算可得該型可更換單元的失效概率分布，見表5。

表5 可更換單元失效個(gè)數(shù)與失效概率的對(duì)應(yīng)關(guān)系Tab.5 Correspondence between the number of LRU failures and the failure probability

考慮到失效個(gè)數(shù)大于等于12 時(shí)，失效概率很小，為了便于計(jì)算，僅考慮前11 個(gè)失效數(shù)據(jù)，將表5 中的數(shù)據(jù)代入式（7）和（8），Pj與Rj結(jié)果如表6所示。

表6 備件利用率期望Pj與備件滿足率期望RjTab.6 Spare parts utilization expectations Pj and spare parts satisfaction rate expectations Rj

備件利用率期望Pj與備件滿足率期望Rj與備件配置量的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖3所示。

從圖3可知，備件配置量增加時(shí)，備件滿足率會(huì)逐漸提高，備件利用率將會(huì)逐漸下降，符合我們的預(yù)期。當(dāng)增加備件配置量時(shí)，所有備件都將配置充足，肯定會(huì)有多余的備件剩下，這樣備件利用率就會(huì)下降；但若只配置最有把握的備件，難免會(huì)漏掉不少需求的備件，備件滿足率則會(huì)降低。

圖3 備件利用率及備件滿足率與備件配置量的對(duì)應(yīng)關(guān)系Fig.3 Correspondence between spare parts utilization rate and spare parts satisfaction rate and spare parts configuration quantity

假設(shè)該案例中備件滿足率和備件利用率重要性相同，可以采用F1度量的方式進(jìn)行權(quán)衡計(jì)算，將表5中的結(jié)果代入式（9），繪出對(duì)應(yīng)的F1曲線圖并找到對(duì)應(yīng)的F1最大值，如圖4所示。

圖4 F1度量及最大值示意圖Fig.4 Diagram of F1 measure and maximums F1

通過F1度量可以計(jì)算出，當(dāng)備件配置量為5時(shí)，F(xiàn)1取得最大值，此時(shí)備件利用率為0.819，備件滿足率為0.886，據(jù)此可以確定出保障資源指標(biāo)。

5.2 參數(shù)分析

裝備的保障資源指標(biāo)和同型可更換單元的個(gè)數(shù)N、可更換單元的失效率λ、裝備使用時(shí)間t及備件滿足率對(duì)備件利用率的相對(duì)重要性β都有密切的關(guān)系。為了分析出不同參數(shù)對(duì)保障資源指標(biāo)的影響，對(duì)不同參數(shù)條件下的保障資源指標(biāo)進(jìn)行比較。

案例中假設(shè)備件滿足率和備件利用率重要性相同，若假設(shè)有三型裝備備件滿足率對(duì)備件利用率的相對(duì)重要性β分別取0.5、1.0 和2.0，繪出他們對(duì)應(yīng)的Fβ曲線圖及找到對(duì)應(yīng)的Fβ最大值，如圖5所示。

圖5 Fβ最大值與β關(guān)系圖Fig.5 Correspondence between maximumsFβandβ

從圖5 可以看出，在一定范圍內(nèi)隨著備件滿足率重要性β值的增加，相對(duì)應(yīng)的Fβ最大值也逐漸在右移，即最佳備件配置量增加，說明備件滿足率指標(biāo)重要性的增加會(huì)導(dǎo)致備件配置量的增加。另外，備件滿足率指標(biāo)重要性越高，其前段上升得越緩、后段下降得也越緩；備件利用率指標(biāo)重要性越高，其前段上升得越急、后段下降得也越急，說明備件利用率比備件滿足率對(duì)備件配置量表現(xiàn)更敏感。

另外假設(shè)有三型裝備，同型可更換單元的個(gè)數(shù)為分別為6、8 和10，繪出三型裝備的“P-R曲線”及對(duì)應(yīng)的BEP，如圖6所示。

由圖6 可以看出，當(dāng)同型可更換單元的個(gè)數(shù)N逐漸增多時(shí)，該型裝備對(duì)應(yīng)的BEP 會(huì)逐漸減小，表明裝備的備件利用率及滿足率兩個(gè)指標(biāo)都在同步減小，說明裝備的可保障性在降低，不利于裝備的保障。根據(jù)式（11），可更換單元的失效率λ及裝備使用時(shí)間t的增加也會(huì)令裝備的可保障性下降，該結(jié)論為提高裝備保障性設(shè)計(jì)水平提供了參考。

圖6 BEP與同型可更換單元的個(gè)數(shù)N的關(guān)系Fig.6 Correspondence between BEP and number of the same type LRU

6 結(jié)束語

本文針對(duì)保障資源指標(biāo)綜合權(quán)衡問題進(jìn)行了研究，提出了一種便于工程實(shí)施的保障資源指標(biāo)論證方法，具有可遷移性強(qiáng)的特點(diǎn)，為裝備的保障資源指標(biāo)確定及備件的精確保障提供了理論依據(jù)。后續(xù)將結(jié)合多型LRU的問題，開展系統(tǒng)保障資源指標(biāo)的論證工作，以應(yīng)對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的論證需求；結(jié)合系統(tǒng)保障資源指標(biāo)的論證，開展保障資源設(shè)計(jì)技術(shù)研究。