翟瑋昊，龔敏浩，林名潤，匡婷玉，文珊珊

（上海航天設(shè)備制造總廠有限公司，上海 200245）

0 引 言

當(dāng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠性分析時(shí)，概率可靠性模型［1］是應(yīng)用最早的，研究人員對(duì)其研究最多，也是當(dāng)今應(yīng)用最廣泛的模型。但是在實(shí)際工程領(lǐng)域，概率可靠性的方法在應(yīng)用中仍然有著很多困難，其中最為突出的是對(duì)可靠性問題進(jìn)行高效、高精度的計(jì)算。當(dāng)前，很多航天結(jié)構(gòu)對(duì)可靠性都有著很高的要求，在這種情況下，結(jié)構(gòu)的失效概率會(huì)很小。對(duì)于極小失效概率下的結(jié)構(gòu)來說，利用Monte Carlo法得到精確解需要十分龐大的計(jì)算量，在航天領(lǐng)域上是難以接受的。因此，使用代理模型的方法顯得尤為重要。

本文將拉丁超立方抽樣和基于EFF 學(xué)習(xí)機(jī)制的的Kriging代理模型相結(jié)合，利用得到的代理模型對(duì)算例進(jìn)行可靠性的計(jì)算［2］，并與直接利用Monte Carlo法計(jì)算得到的可靠性進(jìn)行對(duì)比分析。

1 主動(dòng)學(xué)習(xí)的Kriging 模型的可靠性分析方法

本文提出的主動(dòng)學(xué)習(xí)的Kriging 模型的可靠性分析方法將拉丁超立方抽樣（Latin hypercube sampling，LHS）和基于EFF學(xué)習(xí)機(jī)制的Kriging模型（AK-EFF）結(jié)合，再利用Monte Carlo 法進(jìn)行可靠性分析，LHSAK-EFF流程如圖1所示。

圖1 LHS-AK-EFF方法流程Fig.1 Flow chart of LHS-AK-EFF method

1.1 拉丁超立方抽樣

在構(gòu)建模型時(shí)，首先需要利用LHS 對(duì)樣本點(diǎn)抽樣。LHS 是一種隨機(jī)生成均勻樣本點(diǎn)的抽樣方法，其主要特點(diǎn)在于可以確保生成的樣本點(diǎn)分布在空間中的所有位置。LHS 方法對(duì)已經(jīng)抽樣得到的點(diǎn)具有記憶功能，可以確保不再抽到相同的樣本點(diǎn)，從而提高抽樣的效率。同時(shí)，它也可以對(duì)邊界處的樣本點(diǎn)進(jìn)行抽樣。因此，在抽樣次數(shù)很少的情況下，LHS 方法可以得到相對(duì)比較高的精度。

1.2 Kriging代理模型

Kriging 代理模型由兩部分組成［3］，第一部分為參數(shù)部分，這一部分是線性回歸的形式；第二部分為非參數(shù)部分，是通過隨機(jī)過程實(shí)現(xiàn)的。假設(shè)以x=[x1，x2，…，xn]T為代理模型的輸入變量，y(x)為代理模型的輸出響應(yīng)，那么Kriging代理模型可以表示為

式中：第一部分F(β，x)為參數(shù)部分，具體可以表示為fT(x)β的形式，這部分是多項(xiàng)式的回歸模型，f(x)=[f1(x)，f2(x)，…，fnf(x)]T是關(guān)于輸入變量x的基函數(shù)。正常情況下，f(x)為x的整數(shù)冪的形式，nf為基函數(shù)的數(shù)目，β為每個(gè)基函數(shù)需要求解的待定系數(shù)。在整個(gè)變量空間中，這一部分表示對(duì)整個(gè)全局模型的擬合，可以對(duì)整個(gè)待定模型做出近似估計(jì)，得到響應(yīng)的總體趨勢(shì)。第二部分z(x)為非參數(shù)部分，在整個(gè)空間中，這一部分用來表示模型的局部部分，對(duì)模型局部誤差進(jìn)行近似，即z(x)表示y(x)局部的變化。由于Kriging 代理模型和其他響應(yīng)面模型相比，多了一個(gè)非參數(shù)的z(x)部分，所以在擬合的過程中更加精確。在隨機(jī)過程中，z(x)服從均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)分布，這一部分的協(xié)方差的矩陣為

假 設(shè) 對(duì) 于ns組 設(shè) 計(jì) 樣 本X=[x1，x2，…，xns]T(xi∈Rndv) 而言，對(duì)應(yīng)函數(shù)的響應(yīng)值為Y=[y1，y2，…，yns]T(yi∈R)，在參數(shù)θk已知并取得特定值的時(shí)候，可以得到最大似然估計(jì)為

R是通過ns個(gè)設(shè)計(jì)樣本得到的相關(guān)函數(shù)組成的矩陣，具體為ns×ns的矩陣，即

可以發(fā)現(xiàn)對(duì)于Kriging模型而言，相關(guān)參數(shù)θk的值對(duì)于β和σ2的估計(jì)都有影響，所以進(jìn)行模型擬合前首先需要得到θk的值。一般情況下，θk的值是利用優(yōu)化的過程獲得的，即當(dāng)φ取得最大值時(shí)，得到的θk就是所需要的θk值。

式中：|R|代表R的行列式的值。

結(jié)合以上所描述的，在獲得設(shè)計(jì)樣本以及樣本對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值以后，首先通過對(duì)優(yōu)化問題進(jìn)行求解得出相關(guān)參數(shù)θk，然后對(duì)Kriging 模型求解，得到模型中的待定參數(shù)值，使得Kriging模型的整個(gè)擬合結(jié)束。在得到通過擬合后的Kriging代理模型后，可以利用得到的代理模型預(yù)測(cè)未知樣本點(diǎn)的響應(yīng)值，對(duì)于未知的樣本xnew，Kriging模型的最優(yōu)估計(jì)為

1.3 EFF主動(dòng)學(xué)習(xí)機(jī)制

為了使Kriging 代理模型擬合的精度變得更高，Bichon［4］在考慮Kriging 方差的基礎(chǔ)上，提出了一種基于主動(dòng)學(xué)習(xí)的Kriging 代理模型的可靠性分析方法。這種方法引進(jìn)了特定的學(xué)習(xí)機(jī)制，對(duì)已建立的模型提供的預(yù)測(cè)值和預(yù)測(cè)的方差進(jìn)行利用，確定對(duì)當(dāng)前模型的擬合精度影響最大的樣本點(diǎn)，然后將這一樣本點(diǎn)加入到之前設(shè)計(jì)方案中，使后面的擬合的精度進(jìn)一步提升。

式中：Φ(·)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累計(jì)密度函數(shù)；?(·)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)；a表示對(duì)y特定擬合能力的實(shí)現(xiàn)值。在進(jìn)行可靠性計(jì)算時(shí)，需要研究的是功能函數(shù)g(x)=0 的情況，因此在這里a=0，ε=2σy?(x)。

通過EFF 學(xué)習(xí)函數(shù)可以看出，對(duì)一個(gè)未知的樣本而言，如果Kriging 代理模型預(yù)測(cè)均值越接近a的同時(shí)其方差σ2y?(xn)也比較大，那么這個(gè)樣本的EFF學(xué)習(xí)函數(shù)值也會(huì)比較大。這些Kriging 方差比較大的樣本是不滿足可靠性分析的精度要求的，通過EFF 學(xué)習(xí)機(jī)制得到的樣本點(diǎn)是使得學(xué)習(xí)函數(shù)值最大的樣本。主動(dòng)學(xué)習(xí)過程停止的條件是：當(dāng)所取得的最大學(xué)習(xí)函數(shù)值滿足學(xué)習(xí)停止的條件，并且當(dāng)主動(dòng)學(xué)習(xí)過程停止時(shí)，就認(rèn)為此時(shí)的Kriging 模型為最優(yōu)模型。對(duì)于可靠性分析來說，使用EFF 學(xué)習(xí)機(jī)制可以使得樣本點(diǎn)的響應(yīng)更準(zhǔn)確，從而可以保證可靠性計(jì)算的精度。

對(duì)于選取的一系列備選點(diǎn)計(jì)算EFF（x），然后選取一個(gè)使得EFF（x）最大的樣本點(diǎn)作為新的樣本點(diǎn)，與原樣本點(diǎn)一起進(jìn)行新的Kriging 代理模型的構(gòu)建。當(dāng)滿足max（EFF（x））≤0.001的條件時(shí)，學(xué)習(xí)停止，可以得到擬合效果最好的Kriging代理模型。

通過這種EFF 學(xué)習(xí)機(jī)制得到的自適應(yīng)Kriging 代理模型進(jìn)行可靠性分析計(jì)算，能夠在保證計(jì)算精度的同時(shí)，提高計(jì)算效率。

2 算例驗(yàn)證

本節(jié)利用主動(dòng)學(xué)習(xí)的Kriging代理模型方法，結(jié)合EFF 學(xué)習(xí)機(jī)制對(duì)線性、非線性和高度非線性的算例進(jìn)行可靠性計(jì)算，并將得到的結(jié)果與Monte Carlo法進(jìn)行精度和抽樣次數(shù)的對(duì)比分析。

2.1 算例1

設(shè)某線性結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)為

式中：功能函數(shù)的基本變量x1、x2均服從正態(tài)分布，并且兩個(gè)變量之間相互獨(dú)立，其分布參數(shù)見表1。

表1 算例1中基本隨機(jī)變量的分布參數(shù)Tab.1 Distribution parameters of basic random variable in example 1

利用EFF 學(xué)習(xí)機(jī)制進(jìn)行主動(dòng)學(xué)習(xí)，先利用LHS抽樣選取10 個(gè)樣本點(diǎn)，學(xué)習(xí)函數(shù)值在7 個(gè)新增樣本點(diǎn)時(shí)，達(dá)到規(guī)定的停止準(zhǔn)則，這時(shí)失效概率為0.059 194。

算例1 利用EFF 學(xué)習(xí)機(jī)制進(jìn)行可靠性分析的圖形化顯示如圖2所示。

圖2 算例1中EFF學(xué)習(xí)機(jī)制的圖形化顯示Fig.2 Graphical display of EFF learning mechanism in example 1

將得到的失效概率和Monte-Carlo 法進(jìn)行比較，表2 為利用Monte-Carlo 法和LHS-AK-EFF 法計(jì)算得到的失效概率的對(duì)比。可以看到，LHS-AK-EFF 法在保證計(jì)算精度的同時(shí)，其計(jì)算效率比MC 法有非常大的提升。

表2 算例1 LHS-AK-EFF法和MC法的計(jì)算精度對(duì)比Tab.2 Comparison of calculation accuracy between LHS-AK-EFF and MC in example 1

2.2 算例2

設(shè)某結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)為

式中：功能函數(shù)的基本變量x1、x2均服從正態(tài)分布，并且兩個(gè)變量之間相互獨(dú)立，其分布參數(shù)見表3。

表3 算例2中基本隨機(jī)變量的分布參數(shù)Tab.3 Distribution parameters of basic random variable in example 2

利用EFF 學(xué)習(xí)機(jī)制進(jìn)行主動(dòng)學(xué)習(xí)，先利用LHS抽樣選取10 個(gè)樣本點(diǎn)，學(xué)習(xí)函數(shù)值在14 個(gè)新增樣本點(diǎn)時(shí)，達(dá)到規(guī)定的停止準(zhǔn)則，這時(shí)失效概率0.034 550。

算例2 利用EFF 學(xué)習(xí)機(jī)制進(jìn)行可靠性分析的圖形化顯示如圖3所示。

圖3 算例2中EFF學(xué)習(xí)機(jī)制的圖形化顯示Fig.3 Graphical display of EFF learning mechanism in example 2

將得到的失效概率和Monte-Carlo 法進(jìn)行比較，表4 為利用Monte-Carlo 法和LHS-AK-EFF 法計(jì)算得到的失效概率的對(duì)比。同樣可以看到，對(duì)于非線性問題，LHS-AK-EFF 法在保證計(jì)算精度的同時(shí)，計(jì)算效率比Monte-Carlo法有很大的提升。

表4 算例2 LHS-AK-EFF法和MC法的計(jì)算精度對(duì)比Tab.4 Comparison of calculation accuracy between LHS-AK-EFF and MC in example 2

2.3 算例3

設(shè)某高度非線性結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)［5］為

式中：功能函數(shù)的基本變量x1，x2均服從正態(tài)分布，并且兩個(gè)變量之間相互獨(dú)立，其分布參數(shù)見表5。

表5 算例3中基本隨機(jī)變量的分布參數(shù)Tab.5 Distribution parameters of basic random variable in example 3

利用EFF學(xué)習(xí)機(jī)制進(jìn)行主動(dòng)學(xué)習(xí)，先利用LHS抽樣選取10個(gè)樣本點(diǎn)，學(xué)習(xí)函數(shù)值在13個(gè)新增樣本點(diǎn)時(shí)，達(dá)到規(guī)定的停止準(zhǔn)則，這時(shí)失效概率為0.009 338。

算例3 利用EFF 學(xué)習(xí)機(jī)制進(jìn)行可靠性分析的圖形化顯示如圖4所示。

圖4 算例3中EFF學(xué)習(xí)機(jī)制的圖形化顯示Fig.4 Graphical display of EFF learning mechanism in example 3

將得到的失效概率和Monte-Carlo 法進(jìn)行比較，表6 為利用Monte-Carlo 法和LHS-AK-EFF 法計(jì)算得到的失效概率的對(duì)比?？梢钥吹?，對(duì)于高度非線性問題，LHS-AK-EFF 法計(jì)算效率比Monte-Carlo 法也有很大的提升。

表6 算例3LHS-AK-EFF和MC法的計(jì)算精度對(duì)比Tab.6 Comparison of calculation accuracy between LHS-AK-EFF and MC in example 3

3 結(jié)束語

本文提出了利用少量拉丁超立方抽樣的樣本點(diǎn)對(duì)Kriging 代理模型進(jìn)行擬合，并結(jié)合EFF 學(xué)習(xí)機(jī)制選出需要增加的樣本點(diǎn)，對(duì)初始Kriging代理模型進(jìn)行新的擬合，直到達(dá)到學(xué)習(xí)停止的條件，得到擬合后的Kriging 代理模型，然后利用Monte Carlo 法進(jìn)行可靠性計(jì)算。通過上述三個(gè)算例可以看出，本文所提方法適用于各類線性和非線性問題［5-15］，計(jì)算得到的失效概率與Monte Carlo 法得到的結(jié)果誤差在可接受的范圍，在滿足精度要求的前提下，極大地降低了計(jì)算時(shí)間。該方法可以應(yīng)用在航天領(lǐng)域的結(jié)構(gòu)可靠性計(jì)算中，極大地節(jié)約成本、提升效率。