羅 鵬 孫 亮 程偉華 陳懷軍 羅海燕

（1 中國(guó)科學(xué)院合肥物質(zhì)科學(xué)研究院，安徽光學(xué)精密機(jī)械研究所，合肥 230031）

（2 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)，合肥 230026）

（3 中國(guó)科學(xué)院通用光學(xué)定標(biāo)與表征技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥 230031）

文 摘 XM23膠廣泛應(yīng)用于航天光學(xué)遙感器，用于粘接光學(xué)透鏡與金屬結(jié)構(gòu)件，可以起到減振作用。目前對(duì)XM23 膠的力學(xué)性能的研究都是基于線彈性理論，但XM23 膠是一種高聚合物，表現(xiàn)出非線性特征，無(wú)法使用線彈性材料的楊氏模量和泊松比進(jìn)行準(zhǔn)確地表征。本文首先通過(guò)XM23膠的單軸拉伸試驗(yàn)測(cè)試出該膠的應(yīng)力應(yīng)變數(shù)據(jù)，基于超彈性理論，嘗試運(yùn)用3 種超彈性本構(gòu)模型進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合。分析發(fā)現(xiàn)，Mooney-Rivlin 3 參數(shù)本構(gòu)模型最適于表征XM23膠的力學(xué)性能，其本構(gòu)模型材料參數(shù)C10為-0.205 9 MPa、C01為0.688 8 MPa、C11為0.055 7 MPa。利用此本構(gòu)模型使用有限元軟件模擬了該膠的單軸拉伸試驗(yàn)，仿真得到應(yīng)力應(yīng)變數(shù)據(jù)在誤差范圍內(nèi)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)一致。XM23膠的超彈性本構(gòu)模型構(gòu)建為XM23膠的膠接結(jié)構(gòu)有限元建模提供了理論和數(shù)據(jù)支撐。

0 引言

XM23 膠是一種室溫硫化聚硫密封劑，對(duì)金屬、玻璃等具有良好的粘接性能，耐濕熱和淡水浸泡，無(wú)毒、不易燃燒，能夠防止沖擊損傷和機(jī)械松動(dòng)，起到減振、阻尼、防腐和阻燃等作用。

XM23 膠已廣泛地應(yīng)用于航天光學(xué)遙感器，例如用于粘接光學(xué)透鏡與金屬結(jié)構(gòu)件，形成柔性安裝結(jié)構(gòu)，既有利于保證透鏡的面形精度，又可以在航天器的發(fā)射階段起到減振作用。為定量評(píng)估XM23 膠的減振能力，需要充分掌握其力學(xué)性能，運(yùn)用適當(dāng)?shù)睦碚撃Ｐ瓦M(jìn)行建模和仿真分析。高超［1］通過(guò)試驗(yàn)測(cè)定了XM23 膠的楊氏模量，該試驗(yàn)將XM23 膠作為彈性材料來(lái)處理，僅適用于小變形下的近似處理。在有限元仿真分析時(shí)，使用彈性理論中的楊氏模量和泊松比兩個(gè)參數(shù)，不能很好地定義XM23 膠的力學(xué)性能。XM23 膠作為一種橡膠，屬于聚合物材料，其存在彈性勢(shì)能函數(shù)，在卸載時(shí)應(yīng)變能夠自動(dòng)恢復(fù)，應(yīng)力和應(yīng)變不再是線性對(duì)應(yīng)的關(guān)系，而是以彈性勢(shì)能函數(shù)的形式一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，所以XM23膠屬于一種超彈性材料［2］。本文嘗試基于超彈性理論，采用超彈性本構(gòu)模型描述XM23膠的力學(xué)性能。

1 超彈性基本理論

根據(jù)超彈性理論的不同可以將橡膠的超彈性本構(gòu)模型分為兩種：基于統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)理論的統(tǒng)計(jì)模型和基于連續(xù)介質(zhì)理論的系統(tǒng)模型。前者的超彈性理論模型有高斯統(tǒng)計(jì)和非高斯統(tǒng)計(jì)兩種；后者的模型主要有多項(xiàng)式和Ogden 形式的模型［3］。XM23膠的變形可以視為超彈性材料的均勻變形，且XM23膠具備各項(xiàng)同性的性質(zhì)，故選取基于連續(xù)介質(zhì)理論的超彈性本構(gòu)模型來(lái)表征XM23膠的力學(xué)性能。

以連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論［4］為基礎(chǔ)的方法中，用變形張量的三個(gè)不變量來(lái)表征應(yīng)變能密度函數(shù)W。應(yīng)變能密度函數(shù)可以分為偏差項(xiàng)和體積項(xiàng)兩部分，其多項(xiàng)式形式為：

式中，i、j、N、k為多項(xiàng)式中的項(xiàng)數(shù)，可取1，2，3，…；Cij、Dk為材料參數(shù)；I1、I2、I3為三個(gè)主方向的變形張量不變量。

把一個(gè)質(zhì)點(diǎn)鄰域的變形后坐標(biāo)x看成變形前坐標(biāo)X的函數(shù)，則變形梯度F如下式（2），它反映了該質(zhì)點(diǎn)鄰域的變形和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

變形梯度能表征剛體轉(zhuǎn)動(dòng)和純變形，將變形梯度分解為先變形后轉(zhuǎn)動(dòng)，可以得到左Cauchy-Green變形張量B：

式中，λ1、λ2、λ3為三個(gè)主方向的伸長(zhǎng)比。

依據(jù)變形張量不變量與左Cauchy-Green 變形張量的關(guān)系，可以推導(dǎo)出三個(gè)主方向變形張量不變量與三個(gè)主伸長(zhǎng)比的關(guān)系表達(dá)式，如下式：

因?yàn)橄鹉z是不可壓縮材料，故體積項(xiàng)為0，即：

則根據(jù)式（1）應(yīng)變能密度函數(shù)為：

對(duì)于均勻的應(yīng)變，應(yīng)力、應(yīng)變和應(yīng)變能密度函數(shù)之間有如下關(guān)系：

式中，t1、t2、t3為三個(gè)主方向的真實(shí)應(yīng)力，其值受到變形后尺寸的影響。

三個(gè)主方向的真實(shí)應(yīng)力ti、伸長(zhǎng)比λi及工程應(yīng)變?chǔ)舏存在如下關(guān)系：

式中，ti、σi、λi中的i為項(xiàng)數(shù)，取值為1，2，3。

2 單軸拉伸試驗(yàn)

單軸拉伸試驗(yàn)具有試驗(yàn)方法簡(jiǎn)單、價(jià)格低廉和效率高等優(yōu)點(diǎn)，在工程上和科研中被廣泛采用，用來(lái)測(cè)量材料的力學(xué)性能。本文通過(guò)單軸拉伸試驗(yàn)來(lái)獲取XM23膠超彈性模型的材料參數(shù)［5］。

2.1 原材料

XM-23 膠由北京航空材料研究院研制，由4 個(gè)組分按一定比例混合而成：具體包括基膏（聚硫橡膠）、F-44增黏劑、28號(hào)硫化劑和促進(jìn)劑D。

2.2 XM23膠試樣制備

XM23 膠試樣的成分占比和含量如表1所示，制作試樣，尺寸如圖1所示，固化時(shí)間為3 d［6］。

圖1 XM23膠試樣尺寸Fig.1 Size of XM23 glue sample

表1 XM23膠的組分含量Tab.1 Component content of XM23 glue

2.3 試驗(yàn)過(guò)程

采用INSTRON6800系列多功能電子萬(wàn)能材料力學(xué)性能實(shí)驗(yàn)機(jī)進(jìn)行，試驗(yàn)規(guī)范依據(jù)GB/T 528—2009 硫化橡膠或熱塑性橡膠 拉伸應(yīng)力應(yīng)變性能的測(cè)定［7］，裝夾方式如圖2所示，試驗(yàn)拉伸速率為10 mm/min，直到試樣被拉斷為止，每隔0.1 s采集一次數(shù)據(jù)，獲取試樣一端面的載荷和位移數(shù)據(jù)，進(jìn)一步計(jì)算拉伸應(yīng)力和拉伸應(yīng)變的關(guān)系，得到的數(shù)據(jù)如圖3所示。

圖2 XM23膠的裝夾方式Fig.2 Fixing method of XM23 adhesive

圖3 試驗(yàn)數(shù)據(jù)及3種不同超彈性本構(gòu)模型擬合曲線Fig.3 Experimental data and fitting curves of three different hyperelastic constitutive models

3 單軸拉伸條件下三種超彈性本構(gòu)模型參數(shù)的確定

3.1 單軸拉伸條件下的基本關(guān)系

假定單軸拉伸試驗(yàn)的拉伸方向?yàn)榉较?，由于該試驗(yàn)中試樣只有一個(gè)拉伸方向，所以λ2=λ3，而對(duì)于中等程度伸長(zhǎng)率，令λ1=λ，代入式（5），得：

將式（10）代入式（4），得：

單軸拉伸三個(gè)主方向的工程應(yīng)力為：σ1=σ，σ2=σ3= 0，工程應(yīng)變?yōu)棣?=ε，又由式（8），有t1=σ1λ1，t2=t3= 0，代入式（7）中，得：

將式（9）代入式（12），得：

基于連續(xù)介質(zhì)理論超彈性本構(gòu)模型有多種，如Neo-Hooken 超彈性本構(gòu)模型［8］、Mooney-Rivlin 3 參數(shù)超彈性本構(gòu)模型［9-10］和Yeoh 三階超彈性本構(gòu)模型［11］，利用式（13），推導(dǎo)出3 種超彈性本構(gòu)模型的應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系式，利用XM23膠的單軸拉伸試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，計(jì)算出其材料參數(shù)及擬合的和方差。

3.2 Neo-Hooken超彈性本構(gòu)模型

若設(shè)在j≠0 時(shí)，所有Cij= 0，根據(jù)式（6）得到多項(xiàng)式模型［8］，其應(yīng)變能表達(dá)式如下：

當(dāng)N=1 時(shí)，根據(jù)式（14）可得到Neo-Hooken 超彈性本構(gòu)模型，其應(yīng)變能表達(dá)式如下：

式中，C10=，μ為初始剪切模量。

將式（15）對(duì)I1、I2求偏導(dǎo)數(shù)，得：

把式（16）代入式（13）中，得：

3.3 Mooney-Rivlin 3參數(shù)超彈性本構(gòu)模型

當(dāng)N=2 時(shí)，根據(jù)式（6）得到Mooney-Rivlin 3 參數(shù)超彈性本構(gòu)模型［9-10］，其應(yīng)變能表達(dá)式如下：

將式（18）對(duì)I1和I2求偏導(dǎo)數(shù)，得：

把式（4）、式（9）和式（19）代入式（13）中，得：

3.4 Yeoh超彈性本構(gòu)模型

當(dāng)N=3 時(shí)，根據(jù)式（14）可得到Y(jié)eoh 超彈性本構(gòu)模型［11］，其應(yīng)變能表達(dá)式如下：

將式（21）對(duì)I1、I2求偏導(dǎo)數(shù)，得：

把式（4）、式（9）和式（22）中代入（13）中，得：

4 結(jié)果與討論

根據(jù)上述對(duì)單軸拉伸條件下應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系的分析，應(yīng)用3種超彈性本構(gòu)模型的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式，使用Matlab軟件對(duì)單軸拉伸試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，求解出這3種超彈性本構(gòu)模型的材料參數(shù)和擬合的和方差，如表2所示，Matlab軟件中的擬合曲線如圖3所示。

表2 3種超彈性本構(gòu)模型的材料參數(shù)和擬合的和方差Tab.2 Material parameters and fitting sum variances of the three hyperelastic constitutive models

比較這3 種模型擬合和方差發(fā)現(xiàn)，Neo-Hooken模型的和方差較大，Yeoh 三階模型和方差較小，Mooney-Rivlin 3 參數(shù)模型的和方差接近于零，故使用Mooney-Rivlin 3 參數(shù)超彈性本構(gòu)模型表征XM23膠的力學(xué)性能。此外，在小應(yīng)變下（0～0.1%），XM23膠的應(yīng)力-應(yīng)變呈線性關(guān)系（圖3），斜率約為2.51，即XM23 膠的楊氏模量約為2.51 MPa，這與高超［1］測(cè)得的XM23膠的楊氏模量在誤差范圍內(nèi)一致。

5 有限元模型驗(yàn)證

基于以上試驗(yàn)和擬合，可知利用Mooney-Rivlin 3 參數(shù)超彈性本構(gòu)模型來(lái)表征XM23 膠的力學(xué)性能，使用Ansys有限元軟件模擬單軸拉伸試驗(yàn)，單軸拉伸試驗(yàn)試樣如圖1所示，由于試驗(yàn)試樣兩端為夾持部分，對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，在模擬時(shí)忽略，得到的有限元仿真模型如圖4所示。

圖4 有限元仿真模型Fig.4 Finite element simulation model

試樣采用3D 四面體進(jìn)行網(wǎng)格劃分，單元尺寸為0.5 mm。試樣的材料屬性定義為Mooney-Rivlin 3參數(shù)超彈性本構(gòu)模型，其參數(shù)為：C10=-0.205 9 MPa、C01=0.688 8 MPa、C11=0.055 7 MPa。在試樣一端固定約束，在試樣的另一端施加位移，位移速率為單軸拉伸試驗(yàn)的速率，其值為10 mm/min。施加時(shí)間為210 s。其仿真得到的應(yīng)力云圖和應(yīng)變?cè)茍D如圖5所示，應(yīng)力和應(yīng)變分布比較均勻。

圖5 應(yīng)力和應(yīng)變?cè)茍DFig.5 Stress andstrain nephogram

得到施加位移一端面的拉伸力和拉伸位移，將拉伸力除以試樣初始的橫截面積，將拉伸位移除以初始試樣的長(zhǎng)度，得到拉伸應(yīng)力和應(yīng)變，利用Mooney-Rivlin3參數(shù)模型進(jìn)行擬合，得到的擬合曲線如圖3所示，其材料參數(shù)及誤差如表3所示，三個(gè)材料參數(shù)的誤差均小于工程應(yīng)用中的10%誤差數(shù)值，利用試驗(yàn)的應(yīng)力和應(yīng)變數(shù)值作為基準(zhǔn)，計(jì)算仿真數(shù)據(jù)擬合和試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合的應(yīng)力誤差，將不同應(yīng)變下的應(yīng)力誤差繪制成曲線，如圖6所示。單軸拉伸試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)幾乎落在Ansys 仿真的應(yīng)力-應(yīng)變曲線附近，驗(yàn)證了XM23膠超彈性本構(gòu)模型的正確性。

表3 使用試驗(yàn)數(shù)據(jù)合和仿真數(shù)據(jù)擬合的材料參數(shù)Tab.3 Material parameters fitted with test data and simulation data

圖6 應(yīng)力誤差曲線Fig.6 Stress error curves

6 結(jié)論

（1）應(yīng)用超彈性本構(gòu)模型能夠更準(zhǔn)確地表達(dá)XM23 膠的力學(xué)性能，XM23 膠的應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系在小應(yīng)變下呈線性關(guān)系，其楊氏模量為2.51 MPa；在大應(yīng)變下，呈非線性關(guān)系。

（2）通過(guò)對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)Mooney-Rivlin 3 參數(shù)模型擬合的和方差最接近于零，故選用Mooney-Rivlin 3參數(shù)超彈性本構(gòu)模型來(lái)表證XM23膠的力學(xué)性能。

（3）使用Mooney-Rivlin 3 參數(shù)超彈性本構(gòu)模型來(lái)表征XM23 膠的力學(xué)性能，其材料參數(shù)為：C10=-0.205 9 MPa、C01=0.688 8 MPa、C11=0.055 7 MPa。

（4）將得到的XM23膠的超彈性本構(gòu)模型參數(shù)在ansys軟件中進(jìn)行單軸拉伸試驗(yàn)仿真，得到的應(yīng)力-應(yīng)變曲線能夠與單軸拉伸試驗(yàn)的應(yīng)力應(yīng)變數(shù)據(jù)吻合，驗(yàn)證了XM23膠超彈性本構(gòu)模型的正確性。

XM23 膠的力學(xué)行為復(fù)雜，用Mooney-Rivlin 3 參數(shù)模型能夠準(zhǔn)確表達(dá)XM23 膠的力學(xué)性能，為XM23膠的膠接結(jié)構(gòu)力學(xué)分析提供了理論和數(shù)據(jù)支撐，可以運(yùn)用于相關(guān)部組件的建模和力學(xué)分析。